跨座式單軌智能編組固定時間協同控制研究

劉朝濤,劉浩鳴,杜子學,鄔浩鑫 ,侯忠偉

(1. 重慶交通大學 機電與車輛工程學院,重慶 400074; 2. 重慶交通大學 交通運輸學院,重慶 400074)

0 引 言

隨著城市化進程加速,中小城市交通擁堵現象日益凸顯,亟需大力發展建設成本低的除地鐵制式之外的新型城市軌道交通系統。跨座式單軌交通相較地鐵交通具有成本低、噪音低、轉彎半徑小等優點,是中小城市軌道交通建設的重要選擇。重慶軌道交通二、三號線是我國目前唯一成功運營的中大運量跨座式單軌交通線路。重慶單軌運營實踐發現,現行跨座式單軌列車是以固定時間間隔和固定物理聯掛的多編組方式運行,而實際每天早中晚客流分布波動較大,造成了很大的運力浪費和車輛資源(車輛配置數多)浪費,存在運營投入大的問題。尤其是新冠疫情嚴重時,八編組列車竟然出現每車僅有3～4位乘客的情況。亟需開展跨座式單軌智能編組相關理論、方法和技術研究來適應客流波動大的場景需求,同時解決軌道交通投入大和運營成本高的問題。

圍繞跨座式單軌智能編組協同控制問題,基于分布式協同控制的思想,借鑒分布式控制方法在智能網聯道路車輛以及高鐵列車、多智能體協同控制中的相關成果[1-4],結合跨座式單軌的運行特點以及滑模變結構控制的強魯棒性、響應快速實時性好的特點,建立跨座式單軌智能編組(straddle monorail intelligent marshalling, SMIM)動力學模型,構建了分布式固定時間滑模協同控制架構;提出了SMIM分布式固定時間滑模協同控制(DFTSMC)方法,應用了分布式固定時間滑模估計器(DFTSME),為SMIM隊列中每個編組車輛分別設計了分布式固定時間積分滑模控制器(DFTISMC),并通過數值仿真驗證了所提出的控制方法的有效性。

1 跨座式單軌智能編組動力學模型

跨座式單軌智能編組動力學模型是協同控制方法研究的基礎。本研究基于質點模型的指導思想和列車牽引動力學理論,進行了SMIM運行受力分析。SMIM單車行駛時受3個力作用,分別是牽引/制動力、基本運行阻力和額外運行阻力,它們之間的關系可以用式(1)來描述:

ma=u-f1(v,t)-f2(p,v,t)

(1)

式中:m為SMIM單車的質量;a為加速度;u為牽引/制動力;f1(v,t)為基本運行阻力;f2(p,v,t)為附加運行阻力;v為速度;p為位置。

基本運行阻力f1(v,t)一般由如下形式,見式(2)的戴維斯[5]方程描述:

f1(v,t)=α+βv+γv2

(2)

式中:α、β、γ均為經驗系數,在這里不做過多的討論,假定是已知的;f2(p,v,t)作為附加運行阻力,包括曲線阻力,坡道阻力,隧道阻力以及其他一些因素導致的阻力。通常按經驗公式計算,在這里假定是已知的。

取如下狀態變量:

(3)

綜合式(1)～式(3),可以得到如下方程:

(4)

式(4)是SMIM單車的動力學模型,對于SMIM編組,假設編組是由n個單車組成(n∈R且為正整數),那么可以有方程為:

(5)

式中:i為SMIM編組里的第i輛車,i∈(1,2,3,…,n);xi1為第i輛車的位置;xi2為第i輛車的速度;mi為第i輛車的質量;fi2(xi1,xi2,t)為第i輛車的附加運行阻力。

2 跨座式單軌智能編組分布式固定時間滑模協同控制

分布式控制方式具有高擴展性、高靈活性等優點,分布式控制是近幾年國內外研究的熱點之一。V.ANDRIEU等[6]最早提出了固定時間穩定的概念,A.POLYAKOV[7]后來提出了固定時間Lyapunov穩定理論,為后續的固定時間控制算法的設計奠定了基礎。

2.1 分布式固定時間滑膜協同控制架構

SMIM整個行駛過程包括出站、加速、惰性、減速、進站,在行駛全過程中,需要達到的控制目標是:

1)領航車輛:能夠在短時間內準確的跟蹤控制中心、云平臺或預設的速度-距離曲線。

2)編組內非領航車輛:能夠在短時間內準確的跟蹤領航車輛速度并保持一致,保持期望的車間間距dei。

為達到以上的目標,我們設計了SMIM分布式固定時間滑模協同控制架構(圖1),設計了位置和速度雙閉環控制提高了系統的可控性。

圖1 分布式固定時間滑模協同控制架構

每個編組之間可以無線通訊(通訊可以采取5G、Wifi或者其他組合方式等)來實時交換彼此的信息,受限于車間間距以及路況,我們采取鄰接通訊的方式,如圖1可見,每個編組可以和其前后相鄰的編組通訊交換彼此信息。

對于領航車輛,控制中心、云平臺或預設的速度-距離曲線指令送達給DFTISMC 1,其直接控制領航車輛,通過選取適當的控制器參數,領航車輛可以獨立于初始狀態在固定時間內(根據調整控制參數來控制固定時間的大小)準確跟蹤控制中心、云平臺或預設的速度-距離曲線下發的指令,極大地提高了工程實用性,減少了跟蹤時間,提高了運行效率。

對于編組內非領航車輛,首先由DFTSME估計出領航車輛的速度和位置狀態,再將指令發送給DFTISMC 2,通過選取適當的估計器參數和控制器參數,編組內非領航車輛可以獨立于初始狀態的估計出領航車輛的速度狀態和位置狀態,并在固定時間內(根據調整控制參數來控制固定時間的大小)準確跟蹤領航車輛的速度且保持編組之間期望的車間間距dei,提高了工程實用性。

2.2 分布式固定時間滑模估計器設計

為方便估計器和后面控制器的設計,先給出如下定義:

定義1假設非線系統式(5) 為全局漸近穩定, 若存在有限收斂時間Ts(x0),對于所有的t≥Ts滿足x(t)=0恒成立,則系統式(5)為全局有限時間穩定[8]。

定義2若系統式(5)為全局有限時間穩定,同時收斂時間存在確定上界且上界值與系統狀態變量無關,則稱系統式(5)為全局固定時間穩定[7]。

由前面控制架構可以得知,SMIM非領航車輛需要先對領航車輛的速度狀態進行估計,再將估計指令發送給DFTISMC 2進而控制車輛。

為了方便DFTSME的設計,我們利用代數圖論來描述車輛間的通訊拓撲關系。

在由N個SMIM組成的編隊系統中,如果第j個編隊成員Oj可以接收到第i個編隊成員Oi的信息,第i個編隊成員Oi也可以接收到第j個編隊成員Oj的信息,由SMIM組成的圖G為無向圖,圖G中就有一條邊從Oj指向Oi(也可以說有一條邊從Oi指向Oj),記為(Oj,Oi)∈φ?(Oi,Oj)∈φ,在編組中,領航車輛只能接收第2個編組的信息,編組中的尾車只能接收前車的信息,其余編組車輛皆可以接收前車和后車的信息,故圖G的加權鄰接矩陣為:

(6)

圖G的入度矩陣D=diag(d1,…,dN),對角元素為:

(7)

那么圖G對應的拉普拉斯矩陣:

L=D-A

(8)

圖G對應的領航鄰接矩陣B：

B=diag(b1,b2,…,bN)

(9)

當第i個編隊成員Zi可以接收到領航者的信號時,bi=1,否則bi=0。

定義矩陣Q：

Q=L+B

(10)

另外,為了方便給出DFTSME,我們做出以下符合SMIM運行實況的假設:

根據文獻[9]中的DFTSME,并結合SMIM的通訊拓撲結構,DFTSME可設計如下:

(11)

(12)

先給出以下引理:

引理2[11]如果ξ1,ξ2,…,ξN≥0,那么有下述結論成立:

(13)

(14)

(15)

定理1中位置估計的證明和速度估計的證明過程類似,在此僅對位置估計器進行證明。

(16)

將式(16)增廣并引入克羅克內積后可得:

(17)

其中:YN=[1]N,I3是三階單位矩陣。

由引理1可知Q?I3是正定的。選取Lyapunov函數為:

皖河流域下游屬平原圩區，地勢低平，水系復雜，河床落差小、彎道多，水流緩慢，泄洪能力差，多澇災有必然性。皖河流域下游千畝以上重點圩口104個，總面積880.69 km2，耕地5.33萬公頃，其中萬公頃以上圩口22個。建國以來60余年間，就發生過較大洪澇災害17次，平均不到3年一次，與上游洪水出現保持高度一致。澇災嚴重的是皖河中下游支流及武昌湖周邊圩區。

(18)

為了簡化表達,令δ=(Q?I3)ep,則有:

(19)

根據定理2可得:

(20)

證畢。

2.3 分布式固定時間積分滑模控制器設計

由前面控制架構可以得知,SMIM領航車輛得到云平臺、控制中心或預設速度-曲線指令后由DFTISMC 1控制車輛;非領航車輛由DFTSME給DFTISMC 2發送指令進而控制非領航車輛。

2.3.1 固定時間積分滑模控制器1的設計

為了方便DFTISMC 1的設計,先給出如下引理。

引理3如果存在一個連續徑向無界函數V：Rn→R+∪{0}滿足:

V*(x)≤k3Vz(x)-k4Vg(x)

(21)

式中:k3,k4>0,z>1,0

(22)

對于領航SMIM車輛,給出如下定義:

(23)

式中:e1p為領航SMIM車輛位置誤差;p1為領航車輛位置;pr為領航車輛位置指令;e1v為領航車輛速度誤差;v1為領航車輛速度;vr為領航車輛速度指令。為了收斂的快速性和平滑性,采用如下的積分滑模面:

(24)

對式(24)求導可得:

(25)

當系統到達滑模面時,有:

(26)

則可以得到:

(27)

領航車輛固定時間積分滑模控制器設計為:

(28)

2.3.2 固定時間積分滑模控制器2的設計

為了方便DFTISMC 2的設計,先給出如下定義,對于編組內的非領航SMIM車輛:

(29)

式中:eip為編組內非領航SMIM車輛位置誤差;pi和pi-1分別為編組內第i輛和第i-1輛SMIM車輛位置;eiv是第i輛SMIM車輛估計速度和領航車輛速度的誤差。為了收斂的快速性和平滑性,采用如下的積分滑模面:

(30)

對式(30)其求導得到:

(31)

非領航車輛固定時間積分滑模控制器設計為:

(32)

定理2對于系統式(5)的SMIM領航車輛,當選用滑模面式(24)及控制器式(28)時,系統為全局穩定且滿足SMIM領航車輛位置誤差e1p和速度誤差e1v于固定時間TP收斂至零, 其中TP滿足下面不等式:

TP≤T1+T2

(33)

即領航車輛在固定時間TP內跟蹤到位置指令和速度指令。

對于系統式(5)的SMIM非領航車輛,當選用滑模面式(30)及控制器式(32)時,系統為全局穩定且滿足車輛位置誤差eip和速度誤差eiv于固定時間TC收斂至零, 即在TC時間內,編組非領航車輛的速度跟蹤上領航車輛的速度并且保持理想的車間間距dei,其中TC滿足下面不等式:

TC≤T0+T1+T2

(34)

定理2中兩個控制器的證明過程類似,在此僅證明控制器1。

證明:選取以下Lyapunov函數:

V2=|e1p|

(35)

(36)

根據引理3可以知道滑模運動階段的收斂時間T1滿足:

(37)

另外,再選取以下Lyapunov函數:

V3=|s1|

(38)

(39)

根據引理3可以知道趨近階段的收斂時間T2滿足:

(40)

證畢。

因此可以得出結論, 通過適當地選擇參數, 可以使SMIM領航車輛的狀態在固定時間TP內跟蹤上控制中心、云平臺或預設的速度-距離曲線。對于SMIM中非領航車輛,根據2.2節結論,DFTSME在T0內估計出領航車輛的位置和速度,再根據本節結論,可以得知編組中非領航車輛在TC時間內跟蹤上預期的速度-距離曲線,在此不再贅述。

3 仿真實驗

為了驗證SMIM分布式固定時間滑模協同控制方法,本研究仿真對象為車輛質量作了比例縮小的跨座式單軌智能四編組車輛。縮小質量是為了節約仿真時間,但不影響控制算法有效性驗證的結果。有效性驗證中是將文獻[13]有限時間滑模控制算法作為對比分析的對象。

SMIM單車主要仿真參數設置是:

1)領航車輛:m1=1 200 kg, 初始位置為30 m,初始速度為-15 m/s;控制器參數:γ1=0.3,z1=19,n1=17,δ1=0.3,r1=3,q1=5,γ2=10,z2=3,n2=1,β2=10,g2=5,q2=7。

2)第1輛跟隨車:m2=1 300 kg,初始位置為70 m,初始速度為-10 m/s,與前車理想跟車間距40 m;控制器參數:γ1=0.25,z1=19,n1=17,δ1=0.25,r1=3,q1=5,γ2=5,z2=3,n2=1,β2=5,g2=5,q2=7。

3)由于篇幅限制,第3和第4輛跟隨車輛主要仿真參數不再贅述。

DFTSME參數設置如下:

編組中每輛車的基本運行阻力f1和附加運行阻力f2均假定為經驗常數。

圖2分別為SMIM在加速-巡航行駛時控制算法控制SMIM車輛和有限時間控制器控制SMIM車輛的位置和速度的追蹤圖,其中由于速度的目標速度指令是相同的,分開表示更能清楚的做出對比,4輛車的速度追蹤分別如圖2。4輛SMIM車均是不同的質量,不同的初始位置和速度,可以看出,領航車輛用筆者所設計算法時,在11.5 s時位置和速度均跟蹤到指令曲線,而有限時間控制器在17.0 s時位置和速度才跟蹤上指令曲線;第1輛跟隨車用筆者所設計算法時,在13.0 s時既速度跟蹤到領航車輛速度,位置上也和領航車輛保持了設定的間距,而有限時間控制器在26.0 s時才達到同樣的要求;第2輛跟隨車用筆者所設計算法時,在12.0 s時既速度跟蹤到領航車輛速度,位置上也和第1輛跟隨車保持了設定的間距,而有限時間控制器在18.0 s時才達到同樣的要求;第3輛跟隨車用筆者所設計算法時,在14.0 s時既速度跟蹤到領航車輛速度,位置上也和第2輛跟隨車保持了設定的間距,而有限時間控制器在28.0 s時才達到同樣的要求。可以看出筆者所設計布式固定時間協同控制算法能使編組內領航車輛在較短時間內跟蹤到指令曲線;編組內非領航車輛在較短時間內跟蹤上領航車輛的速度并且和前車保持設定的間距。

圖2 跨座式單軌智能編組控制算法對比

4 結 語

系統性的提出了跨座式單軌智能編組分布式固定時間滑模協同控制方法,該方法包括了領航車輛的固定時間積分滑模控制器、非領航車輛的固定時間滑模估計器以及固定時間積分滑模控制器;同時,對分布式固定時間滑模控制算法的有效性進行了仿真分析,數值仿真結果顯示該控制算法可以使跨座式單軌智能編組中的車輛分別在11.5、13.0、12.0、14.0 s跟蹤上目標的速度-距離曲線,而基于有限時間控制器分別在17、26、18、28 s跟蹤上目標的速度-距離曲線,仿真結果表明分布式固定時間滑模協同控制算法有效且能減少跟蹤時間。提出的分布式固定時間滑模協同控制方法對跨座式單軌智能編組協同控制具有理論和應用參考價值。