基于尺度變換的時間尺度及尺度估計實現方法?

張 亮 陳 輝 李檳檳 周必雷 陳 浩

（1.空軍預警學院預警技術系 武漢 430019）（2.中國人民解放軍94326部隊 濟南 250000）

1 引言

尺度變換（Scale Transform，ST）是一種特殊的梅林變換［1］（Mellin Transform，MT），相比傅里葉變換（Fourier Transform，FT）理論研究及在眾多領域中廣泛應用，ST的研究應用相對不足［2］。嚴格意義上，ST 是MT 復變量實部取0.5 時的特殊情況，其重要的性質為尺度不變性（Scale-invariant），即原始信號與尺度信號ST 包絡相同、相位不同，而FT 不具備該特性，實際上FT 為時移不變（Shift-invariant）。文獻［1］最早通過分析尺度算子特征值、特征函數得到ST 表示式，以此為基礎，進一步提出尺度卷積、尺度相關、平均尺度與帶寬、尺度能量密度、短時尺度變換、瞬時尺度、尺度不確定理論、聯合尺度表示等概念，從理論上構成了完善的尺度分布。圍繞ST 數值計算問題，文獻［3］提出一種高效的快速尺度變換（Fast Scale Transform，FST）計算方法，通過對原始信號插值重采樣，可利用快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform，FFT）實現，該方法能夠確保ST 執行效率，但在處理指數采樣方法及對待零點的問題上不盡完善，影響了計算精度。相同思路，文獻［4］對文獻［3］所提方法進行了深入改進，并將FST 計算復雜度控制在可接受范圍內。針對上述方法需要對原始信號重采樣問題，文獻［5］提出一種離散尺度變換（Discrete Scale Transform，DST）計算方法，并拓展至二維尺度變換（Two-dimensional Scale Transform，2D-ST），但該方法計算復雜度較高。現有ST 應用研究主要集中于圖像處理［6］、語音信號識別［7］、尺度濾波［8］、尺度不變系統設計［9］、超聲波溫度補償［10］等領域，另外，ST在計算寬帶雷達模糊函數、速度估計克拉美羅界及信號時頻分布方面還存在明顯優勢。結合ST 的尺度不變性、FT 時移不變特性，文獻［11～12］進一步提出傅里葉梅林變換、分數階梅林變換等衍生形式。相比國外對ST 理論及應用的深入研究，國內研究更側重于工具的應用［13］，如尺度不變特征提取、圖像加密等。

本文首先對尺度變換及快速算法進行了簡要介紹；其次，引入時間尺度（Time-scaling，TS）、尺度估計（Scale-estimation，SE）概念；然后，針對一維、二維信號TS、SE 實現方法問題，利用快速尺度變換給出了問題解決方案；最后，基于數字圖像、人為構造二維線性調頻（Linear Frequency Modulation，LFM）信號，對所提方法可行性進行了驗證。

2 尺度變換及快速算法

2.1 尺度變換

尺度變換（ST）屬于一種特殊的梅林變換［1］，表示式為

式中：S{·} 為ST 表示符號，t為時間，c為尺度，Df(c)為信號f(t)的ST，γ(c,t)為ST 特征函數，具體為相位求導易得其瞬時頻率為c/t。γ( )c,t滿足完備性和正交性，即：

式（1）可知，ST 可理解為信號f(t) 在一組不同尺度基函數γ*(c),t下的表示系數。式（2）帶入式（1），得到ST簡化形式為

ST 是一種可逆變換，逆尺度變換（Inverse Scale Transform，IST）為

式中：S-1{·} 為IST表示符號，簡化形式為

將ST 拓展至二維，得到信號f(t1,t2)的二維尺度變換（Two-dimensional Scale Transform，2D-ST）為

式中：Df(c1,c2)為信號f(t1,t2)的2D-ST，γ(c1,t1,c2,t2)為2D-ST特征函數，c1、c2為二維尺度，t1、t2為二維時間。二維尺度逆變換（Two-dimensional Inverse Scale Transform，2D-IST）表示式為

2.2 快速算法

令t=eu，帶入式（5），得到：

IST 可利用快速傅里葉逆變換（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）實現，得到快速逆尺度變換（Inverse Fast Scale Transform，IFST），數值計算過程與FST 相反，先計算Df(c)的IFFT，再進行對數采樣。同理，將式（8）、（9）分別表示為

2D-ST、2D-IST同樣可利用二維快速傅里葉變換（2D-FFT）和二維快速傅里葉逆變換（2D-IFFT）快速實現，得到二維快速尺度變換（2D-FST）和二維快速尺度逆變換（2D-IFST），計算思路與FST、IFST一致，不做詳述。

3 時間尺度與尺度估計

3.1 時間尺度

所謂時間尺度（TS），即信號x(t)到y(t)的映射過程，可表示為

式中：TSα[]· 為一維TS 表示符號，α?R+為尺度因子，是為保持TS前后信號能量相同，即：

式（14）可知，對信號進行TS 會導致時域擴張（0<α<1）或收縮（0<α<1），根據傅里葉變換尺度特性可知：

式中：X(f)、Y(f)分別為x(t)、y(t)的傅里葉變換。可以看出，對信號進行TS 還會導致頻譜收縮（0<α<1）或擴展（0<α<1）。將TS 概念拓展至二維，得到二維信號TS表示式為

式中：x(t1,t2)為TS前信號，y(t1,t2)為TS后信號，α1、α2為二維尺度因子，α1?R+、α2?R+，TSα1,α2[·]為二維TS表示符號。x(t1,t2)、y(t1,t2)同樣滿足：

易知：

式中：X(f1,f2)、Y(f1,f2)分別為x(t1,t2)、y(t1,t2)的二維傅里葉變換，f1、f2為二維頻率。對二維信號進行TS 還會導致信號在不同維度上的時頻擴張或收縮。理論上，TS 概念可推廣至更高維度，基本思路相同，不做詳述。

3.2 尺度估計

所謂尺度估計（SE），即x(t)、y(t)均已知時對尺度因子的估計。為估計尺度因子，需計算y(t)與x(t)的尺度互相關函數：

式中：?為尺度互相關符號，*為共軛轉置。Φyx(α)最大值對應的尺度因子即為尺度因子估計，可表示為

式中：為尺度因子估計值。式（20）～（21）可理解為以x(t)為模板信號，對y(t)尺度因子的搜索過程。同樣，將SE概念拓展至二維，二維信號y(t1,t2)與x(t1,t2)的尺度互相關函數為

Φxy(α1,α2)最大值對應的尺度因子即為二維尺度因子估計，可表示為

式中：、為二維尺度因子估計值。SE 概念同樣可推廣至高維，不做詳述。

3.3 實現方法

對連續信號TS，最為直接方法是對原始信號插值抽取，例如尺度因子為0.5，信號長度會增加1倍，可通過2 倍插值實現，當尺度因子取0.51 時，則需要進行100 倍的插值，再進行51 倍的抽取，這種方法顯然不可接受。為解決一維信號TS 快速實現問題，引用ST 尺度不變性［2］。設信號y(t)=TSα[x(t)]，則：

式中：Dx(c)、Dy(c)分別為x(t)、y(t)的ST。當x(t)、α已知時，y(t)可表示為：

利用上式可得x(t)的時間尺度y(t)。為估計尺度因子需計算y(t)與x(t)的尺度互相關函數Φyx(α)，Φyx(α)同樣可以利用ST實現［11］，即：

對于二維信號，設y(t1,t2)=TSα1,α2[x(t1,t2)]，容易得到：

利用式（27）即可得到二維信號x(t1,t2)的時間尺度y(t1,t2)，同理，y(t1,t2)與x(t1,t2)尺度互相關函數可進一步表示為

結合式（23）可得y(t1,t2)二維尺度估計。

4 仿真與結果分析

4.1 時間尺度實現方法可行性

本節對基于尺度變換的二維TS 實現方法可行性進行驗證，使用的二維信號為艦船圖像，原始圖像及二維快速尺度變換結果如圖1 所示。設尺度因子分別為0.8、1.5，根據3.3 節方法對原始圖像進行TS，結果如圖2 所示，利用尺度變換可實現二維TS，其快速算法確保了執行效率。

圖2 時間尺度處理結果

4.2 尺度估計實現方法可行性

本節對基于尺度變換的二維SE 實現方法可行性進行驗證。設模板信號為二維LFM 信號，時寬分別為25μs、20μs，帶寬均為5MHz，采樣頻率20MHz，待估計尺度因子分別為1.5 和0.8，模板信號與待估計尺度信號如圖3 所示，計算兩者二維尺度互相關函數，結果如圖4 所示，最大峰值對應尺度因子分別為1.5和0.8，與真實尺度因子一致。

圖3 二維線性調頻信號

圖4 二維尺度因子估計結果

5 結語

本文對尺度變換及快速算法進行了介紹，同時針對一維及二維信號時間尺度、尺度估計實現方法問題，利用快速尺度變換給出了問題解決方案。仿真部分利用數字圖像、人為構造信號對基于尺度變換的時間尺度、尺度估計實現方法可行性進行驗證。尺度變換是鏈接時間與尺度的紐帶，對時間尺度、尺度估計實現方法的應用及尺度變換快速算法的改進是下步工作的重點。