五模點陣環狀結構對碰撞沖擊彈性波的調控試驗研究?

韓邦熠 張振華

（海軍工程大學艦船與海洋學院 武漢 430033）

1 引言

近些年，各國潛艇發生的碰撞事故屢見不鮮，如何防護潛艇受到的碰撞沖擊作用成為重要的研究課題。當前，碰撞沖擊作用的防護多是基于能量耗散理論，常規材料已逐漸無法滿足需求。五模材料是一種新興的超材料，通過對五模材料胞元的結構設計，可以引導彈性波的能量沿預定方向傳播，這或許可以為沖擊彈性波的調控提供新的解決方法。

五模材料由Milton 和Cherkaev［1］于1995 年首次提出，其彈性剛度矩陣的6 個特征值僅有一個不為零，是一種具有“流體”性質的超材料。理想情況下五模材料的剪切模量為零，但出于實際使用需要，會保留一定的抗剪強度，但其體積模量B 應遠大于剪切模量G。Norris［2］在彈性波坐標變換［3］理論基礎上提出了五模材料聲學隱身斗篷設想，該斗篷可以使目標物體在聲場中“消失”。Scandrett［4～5］等驗證了使用分層五模材料構建聲學斗篷的可行性，為聲隱身斗篷的實現提供了可能。LI［6］等基于六邊形的雙錐結構單元設計了球形五模隱身斗篷，研究發現材料各向異性越強，調控性能越好。Layman［7］等提出了一種由傾斜蜂窩晶格組成的二維五模結構，將五模材料從三維結構簡化為二維結構，極大地降低了制作難度。CHEN［8］等設計了一種由單相固體材料制成的二維五模聲學斗篷，用數值方法驗證了聲波繞射效果，但由于弱剪切模量引起的共振導致了該斗篷僅在部分頻率范圍內有隱身效果。當前，針對五模材料的研究主要集中于聲學領域，在沖擊防護領域的研究尚處于起步階段，相關文獻較少，且多是基于力學性能和地震波防護方面的研究［9～12］。

為探索五模點陣環狀結構對沖擊彈性波的調控作用，設計制作了3 個五模點陣環狀結構試驗模型。通過沖擊試驗和仿真，分析了迎沖面和背沖面應變峰值大小及應力分布情況。通過胞元頻散曲線讀取群速度，分析了胞元對沖擊彈性波的調控機理，相關結論可以為五模點陣環狀結構的優化設計提供一定的理論支撐。

2 五模點陣環狀結構沖擊試驗

2.1 試驗模型設計與制作

波的傳播與材料密度和體積模量兩個參數有關，根據坐標變換理論，通過合理的排布材料的密度和體積模量可以實現應力波的彎曲控制，其約束條件可以表示為［13］

式中，S、P 為一般的對稱矩陣；A 為變換矩陣；ko、ρo和k、ρ分別為坐標變換前后的體積模量和密度。對于二維圓柱形結構的坐標映射關系可以表示為

式中，R、θ和R'、θ'分別表示原空間和變換空間的半徑、角度；R1、R2分別表示隱身結構的內外半徑。將式（2）代入式（1）可得：

式中，kR為圓環徑向體積模量；kθ為圓環切向體積模量。在坐標變換基礎上，設計制作了3 個五模點陣環狀結構試驗模型，圓環外半徑R1均為95mm，內半徑R2均為45mm，高均為10mm。模型一、三胞元壁厚t1=0.75mm，模型二胞元壁厚t2=0.65mm。每個模型均由13 層胞元組成，每層含50 個胞元。基材PC的彈性模量為2000MPa，密度為1200kg/m3，泊松比為0.4。3 個試驗模型結構參數如圖1 及表1 所示。

表1 結構及胞元尺寸表

圖1 試驗模型結構示意圖

2.2 試驗工況

在試驗模型內環的頂部（迎沖面）、側部及底部（背沖面）分別設置測點，在測點處沿環向粘貼應變片。利用螺栓將支座連同試驗模型一起固定于鐵架上，將一重50 g的鋼柱分別置于試驗模型正上方20 cm、30 cm、40 cm 高度處，對應工況1、2、3，使鋼柱由靜止自由落體恰好可以擊中試驗模型的外環頂點，試驗裝置如圖2所示。

圖2 試驗裝置圖

2.3 試驗結果及分析

經過多次重復試驗排除偶然誤差后，選取3 個測點應變峰值段數據繪制應變時程曲線，如圖4 所示，并讀取測點1、2、3 的應變峰值，如表2 所示。3個試驗模型ε1/ε3值分別穩定在92%、78%、84%，均小于1，這與常規圓環結構有明顯區別。相較于模型一，3 個工況下模型二迎沖面應變峰值分別降低了11.9%、18.6%、15.1%，模型三迎沖面應變峰值分別降低了4.8%、9.3%、9.9%，說明模型二調控效果最好，模型三次之，模型一最弱，因此，較小的胞元壁厚和無配重有利于五模點陣環狀結構的調控效果。

表2 沖擊試驗測點應變峰值

3 五模點陣環狀結構受沖擊動態響應仿真

3.1 仿真建模

利用MSC.Patran 軟件對3 個試驗模型進行仿真建模，模型尺寸及仿真工況同試驗完全一致，為凸顯五模點陣環狀結構對沖擊彈性波的調控效果，建立等質量均質圓環一、二、三，分別與模型一、二、三對應，均質圓環的內環半徑同五模點陣環狀結構相等，測點選取也完全一致，如圖3 所示。通過MSC.Dytran對模型進行后處理計算，輸出測點的應力應變數據。

圖3 patran建模示意圖

3.2 應變結果分析

繪制五模點陣環狀結構仿真應變時程曲線，并與試驗結果進行對比，如圖4 所示。仿真結果同試驗結果十分吻合，兩組數據應變峰值誤差均在15%以內，仿真應變峰值見表3。不同工況下，3 個試驗模型的ε1/ε3分別穩定在93%、84%、89%，相較于模型一，模型二迎沖面應變峰值分別降低了12.0%、12.9%、13.8%，模型三迎沖面應變峰值分別降低了4.6%、4.8%、6.5%。因此，模型二對沖擊彈性波的調控效果最好，模型三次之，模型一最弱，這與沖擊試驗的分析結果相一致。

表3 仿真測點應變峰值

3.3 應力結果分析

除應變外，通過仿真還可獲取各時刻試驗模型應力分布情況，3 個試驗模型應力分布情況較為相似，故選取模型一及均質圓環一進行對比分析，應力分布如圖5 所示。當五模點陣環狀結構受到沖擊后，0.2ms 時刻，應力主要集中于模型頂部，可以觀測到此時應力有分叉趨勢，分叉角度約為60℃；0.6ms時刻，應力主要沿分叉方向向下傳遞，迎沖面的應力得到有效疏導；1ms～2ms 時刻，應力從模型上半部分傳遞至下半部分后，又有一聚攏趨勢，應力逐漸集中于支座處。而均質圓環在受到沖擊后，應力無分叉趨勢，在迎沖面有明顯應力集中作用，對沖擊彈性波無任何調控效果。

圖5 仿真應力分布圖

繪制工況1 時，試驗模型和其等質量均質圓環測點處的應力時程曲線，如圖6 所示，測點應力峰值見表4。試驗模型各測點應力變化周期明顯長于其等質量均質圓環，這主要是胞元空腔的存在使試驗模型剛度較等質量均質圓環顯著降低，從而響應周期變長。3 個試驗模型迎沖面應力峰值相較于等質量均質圓環分別降低了59.2%、74.5%、76.3%，此外，試驗模型σ1/σ3分別為94.1%、85.2%、90.0%遠低于等質量均質圓環。這說明五模點陣環狀結構對沖擊彈性波具有良好的調控性能，可有效降低迎沖面應力集中作用。

表4 工況1仿真測點應力峰值

圖6 仿真應力時程曲線圖

4 胞元頻散曲線分析

4.1 頻散曲線及群速度

對于周期性結構，沿胞元的不可約布里淵區進行掃頻，可獲得該胞元頻散曲線，如圖7 所示。頻散曲線中某點的切線斜率為該頻率下這一方向的群速度大小，群速度即為能量傳輸速度。五模材料剪切模量相較于彈性模量為一小值，因此選取縱波波速作為研究對象。對五模點陣環狀結構和等質量均質圓環的應力時程曲線進行頻譜分析，發現試驗模型和均質圓環應力的主要頻譜成分集中在3000Hz 以下。通過頻散曲線讀取0～10000Hz 時，試驗模型各層胞元X 方向（圓環切向）和Y 方向（圓環徑向）的群速度，如表5所示。

表5 胞元波速

圖7 胞元不可約布里淵區及頻散曲線

4.2 群速度對沖擊彈性波調控效果的影響

由于五模材料的群速度各向異性，會使沖擊彈性波在結構中的傳播發生一定偏轉，用X 方向的群速度和Y 方向群速度的比值CX/CY來表征群速度各向異性程度，繪制3 個試驗模型的CX/CY曲線，如圖8 所示。模型二群速度各向異性最強，模型三次之，模型一最弱，這與調控效果相吻合。

圖8 CX/CY 曲線圖

通過COMSOL 軟件建立截面尺寸為200mm×20mm的2個板結構模型，1號板為五模點陣胞元構成的板結構，CX/CY=3.3196；2 號板為PC 材料實心板結構，CX/CY=1。將板結構兩端固定，在其上表面中點處施加一半正弦沖擊荷載，通過仿真計算應力分布情況，如圖9 所示。1 號板有明顯應力發散效果，當應力傳遞到板結構下表面時，已經得到了有效的發散，2 號板則無任何發散效果。這說明CX/CY越大，沖擊彈性波的能量將會增加沿X 方向的傳輸，減少沿Y 方向的傳輸，從而有效降低迎沖面受到的沖擊作用。

圖9 板結構應力分布圖

5 結語

基于坐標變換理論，設計制作了3 個五模點陣環狀結構試驗模型，通過碰撞試驗、沖擊仿真和頻散特性分析，揭示了五模點陣環狀結構在碰撞沖擊作用下的動態響應。可以得到以下結論。

1）通過五模點陣環狀結構沖擊試驗發現，3 個試驗模型ε1/ε3分別穩定在93%、84%、89%，與常規圓環結構有明顯不同，對沖擊彈性波均有較好的調控效果，可以對內部空間起到有效保護作用。從迎沖面應變峰值來看，較小的胞元壁厚和胞元無配重有利于提升五模點陣環狀結構對沖擊彈性波的調控效果。

2）通過沖擊仿真揭示了五模點陣環狀結構受沖擊作用后的動態響應，仿真結果同試驗吻合較好。3 個試驗模型的σ1/σ3分別為94.1%、85.2%、90.0%，而等質量均質圓環分別高達170.0%、211.0%、478.7%，五模點陣環狀結構可有效降低迎沖面的應力集中。此外，在五模點陣環狀結構中，應力傳播有一明顯的分叉趨勢，分叉角度約為60℃。

3）通過頻散曲線分析發現，X 方向（圓環切向）和Y 方向（圓環徑向）的群速度比值CX/CY對沖擊彈性波的調控有明顯影響，當CX/CY越大時，沖擊彈性波的能量會更多沿著X 方向傳輸，沖擊彈性波調控效果越好。因此在設計胞元時可通過分析其頻散曲線來優化胞元結構，獲得更好的防護效果。