床面統計粗糙特性研究

林星宇，蔡 暾，楊克君

（1. 四川大學水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室，四川 成都 610065；2. 中國電建集團成都勘測設計研究院有限公司，四川 成都 610072）

0 引 言

床面粗糙特性與河流的水流結構特性、阻力系數及河床演變密切相關，而河床的表面結構以及床面顆粒的分布情況都對床面的粗糙特性起著決定作用，進而決定了水流阻力，影響了河道沿程的水位和流速紊動分布［1］，山區河流的水流結構受大尺度粗糙床面結構的作用對床面泥沙推移質輸移產生了影響［2］，決定了河道的輸沙能力和泄流能力。由此可見，許多水力學問題都與床面粗糙特性關聯，研究床面粗糙特性對建立復雜粗糙床面粗糙程度的精確量化表達式的意義重大，對水利工程實踐也有很大的指導價值。然而如何科學量化床面粗糙特性一直以來都是河流動力學的研究難點之一。

目前國內外學者研究量化床面粗糙特性的方法總結起來主要可分為以下4 種：代表粒徑法、暴露度法、統計分析法和分形分析法，其中統計分析法是通過對地形高程數據進行統計分析來探討床面粗糙度的方法。HODGE等［3，4］使用地面激光掃描收集河流礫石表面顆粒級的地形數據，建立數字地形模型進行研究，通過計算分析了來自兩條河流（Feshie 河和Bury Green Brook 河）中裸露礫石表面的11 個數字地形模型。BRASINGTON 等［5］提出利用“超尺度”測量方法，包括來自運動攝影測量和地面激光掃描（TLS）的結構，用來捕獲范圍尺度內的顆粒尺度細節。潘云文［6］認為統計分析研究床面粗糙相較于代表性粒徑法考慮了河床表面的整體結構，且兼顧了定性分析和定量描述。ROBER［7］利用變異函數對天然床面和實驗室水流塑造床面的粗糙度特性進行了對比，使用半變異函數來研究一系列床高程的分形特性，以確定與粒度和小尺度床形相關的床粗糙度的度量。ABERLE 等［8］使用變異函數對床面數字高程資料進行處理，對空間相關性進行分析；BERGERON［9］利用變異函數將床面粗糙程度分為顆粒尺度和形狀尺度兩類；NIKORA 和WALSH［10］在顆粒尺度上使用高階結構函數對礫石床面的粗糙特性進行了研究；ABERLE 和NIKORA［11］通過水槽試驗研究了河床粗化層的精細結構；QIN 等［12］將高程標準差作為床面粗糙度的優良表征。鐘亮等［13］探討了不同粒徑對卵礫石床面統計粗糙特性的影響。BERTIN 和FRIEDRICH［14］進行試驗以評估實驗室水槽中礫石床的可用地形測量技術，并研究它們對統計粗糙度分析的適用性。NIKORA 等［15］研究了將床層高度表示為三維隨機場的方法，用以表征礫石層粗糙度。

統計分析法相較于代表粒徑法和暴露度法，兼顧了微觀上的精細和整體上的空間變異性與相關性，能夠較好的對床面粗糙特性進行量化。本文擬探討試驗水槽在不同流量條件下粗化后床面表層的結構特性，加深對床面粗糙特性的統計規律的探索，對于建立基于統計學的粗糙度定量表達方式具有一定的啟示。

1 試驗概況

此試驗是在四川大學水力學與山區河流開發保護國家重點實驗室泥沙試驗場的順直水槽中進行的，水槽（圖1）長20 m，寬1 m，高0.8 m，底部由水泥抹平，坡度為1‰。水槽的槽首處設置了閥門和蓄水池以及量堰，通過調節閥門開度來調整堰上水頭高度來確定流量，槽尾設置平板閘門。

圖1 試驗水槽Fig.1 Experimental flume

試驗為動床試驗，采用非均勻沙，其級配曲線見圖2。在水槽底部鋪制足夠厚度的床沙，用刮板以及水平儀將床沙鋪制平整。在鋪沙起點至實際掃描段使用卵石布置足夠長的過渡段，調節槽尾平板閘門開度從而調整沿程水深近似相等，使掃描段的水流更加接近均勻流。

圖2 試驗沙樣級配Fig.2 Gradation of test sand sample

試驗設計了5 組工況，按第一組流量Q1=30 L/s 對密實后的初始河床進行沖刷，當床面顆粒在此時水流沖刷下不再隨水流運動，推移質輸沙率接近于0 時認為此組工況下粗化層已經形成并且穩定，然后在不破壞床面表層結構的前提下將水排空，待床面基本干燥無明顯積水時，使用3D 激光掃描儀進行床面數字高程測量，待本組床面掃描工作完成后在此次穩定粗化床面的基礎上增大流量，按照上述試驗方法使床面粗化—破壞—再粗化，待床面再次形成穩定粗化層后再次進行數字高程掃描，以此類推共進行Q1=30 L/s、Q2=40 L/s、Q3=50 L/s、Q4=60 L/s、Q5=70 L/s 5組工況的測量。

2 分析方法

2.1 統計參數

統計特征參數一般可分為三大類，算數平均數、中位數、眾數等可以用來當作一組數據的典型代表用于與另一組同類數據相互比較；標準差、極差、方差等可以用來刻畫數組中各隨機變量對于中心位置的偏離程度；偏度、峰度可以用來判斷數據分布的對稱程度和高低程度。統計參數的計算公式見表1，其中zi、-z、N分別表示第i個高程樣本、高程的算數平均值和樣本容量。

表1 統計參數計算公式Tab.1 Statistical parameter calculation formula

2.2 變異函數

變異函數（或稱變差函數）是統計學學科中常用的數學工具，它不僅可以描述區域化變量的結構，還可以描述它們的隨機性。通常將變異函數定義為在某一方向相距的兩個區域化變量z（xi，yj）、z（xi+hx，yj+hy）增量平方的算術平均值的一半，其中xi、yj為平面位置坐標，為x、y軸方向的單位向量為方向向量的模，也稱為計算尺度，必須小于最大平面間隔距離的1/2，當大于最大間隔距離的1/2 時，所計算的變異函數值就失效了（WEBSTER［16］； ROSSI 等［17］）。在實際使用過程中采用如下變異函數公式：

式中：hx=mlx、hy=nly；lx、ly為x、y軸方向的采樣尺度；M、N為x、y軸方向的采樣點數；m、n為倍數。作為特例，當z（xi，yj）僅沿某一橫向剖面yj≡y0（與x軸方向平行的剖面）變化時，hy≡0，式（2）可用于計算該剖面的變異性；縱向剖面xj≡x0（與y軸方向平行的剖面）以此類推。

經過各種實際應用檢驗可知，絕大部分變異函數散點圖均可以用如式（2）所示的模型擬合（鐘亮等［18］）。

圖3 變異函數球狀模型Fig.3 Variogram spherical model

3 結果分析

因為在試驗過程中利用三維激光掃描儀掃描穩定粗化床面時由于掃描范圍過大并且受到床面某些未干透處水面反射效應影響，在全床面數字高程圖中存在或多或少的畸變。選取其中無畸變部分進行分析代表整個床面，在數據分析處理階段沿順水流方向選用了0～1 000 mm、寬度為水槽寬度1 000 mm的正方形，并對該范圍內床面數字高程數據利用統計學原理進行分析討論。分析段的床面數字高程見圖4。

圖4 分析段床面數字高程Fig.4 Analysis section of bed digital elevation

3.1 床面高程統計參數

圖5表示初始床面以及不同流量沖刷后形成的穩定粗化床面的高程頻率分布圖，不難看出，利用非均勻沙人工鋪制的未經水流塑造的床面高程頻率分布呈現出近似正態分布，經歷過不同水流強度依次累積沖刷后形成的穩定粗化床面高程頻率分布出現了輕微正偏態，這主要是水流對床面的粗化作用導致的：因為試驗沙樣的非均勻性，在小流量下床面僅有細小且受粗顆粒隱蔽作用小的顆粒隨水流下移，而粗顆粒仍然保持不動，所以在細顆粒流失后床面上的粗顆粒暴露了出來，床面高程算數平均值減小，床面高程數據中相對較高點增加，導致高程分布出現正偏態。由圖5 可知因為初始床面鋪制得比較平整，床面不同位置處的高程值大都集中在某一高度附近，因此其高程頻率曲線就呈現出狹窄高挺的趨勢，具有明顯的正峰度；隨著水流流量的增大，床面表層的較細顆粒逐漸被帶走，床面整體高度下降的同時，由于細顆粒的流失床面變得不再平整凹凸不平，出現了許多隨機孔隙，正是由于這些隨機孔隙的出現使得床面每一處的高程不再平均，因此其高程頻率曲線就變得低矮，并且沿著水平坐標軸出現左移的現象。隨著流量的逐級增大，細顆粒的流失越來越多，床面整體高度越來越低，頻率分布圖的整體越來越偏左，水流流量的增大也導致隨機孔隙越來越多，床面也愈加凹凸不平，高程頻率分布圖也就變得更加的矮胖。同時，由各床面相對高程的累積頻率分布曲線可知，床面高程的中數與眾數以及均值是近似相等的，即根據床面高程分布的完整性，相對于床面平均高程的凸起度和凹陷度大致相同。

圖5 床面絕對高程頻率分布Fig.5 Distribution of bed absolute elevation frequency

圖6表示初始床面以及不同流量沖刷后形成的穩定粗化床面的高程統計參數變化情況，可以看出，各個試驗床面高程數據統計的偏度都在0.4～1.0之間、峰度都在3～6之間，5個工況的頻率分布均呈現出高狹峰、正偏態，這與上文提到的Aberle 以及Cooper 等人的結論一致。由圖可以看出試驗床面高程分布的偏度在隨著水流強度的增加而減小，隨著流量的增大，高程分布雖然仍然呈正偏態，但是偏度值越來越小逐漸趨近于0，分布越近似于正態分布。這是由于隨著水流強度的增加，床面上的粗顆粒也開始松動下移，并且粗顆粒后的細顆粒也由于粗顆粒的蔭蔽作用變得穩定，此時床面變得穩定，相較于床面平均高程，低高程點與高高程點變得平均，所以分布越來越接近正態分布，偏度值減小。算數平均值與眾數可以用來當做一組數據的典型代表用于與另一組同類數據相互比較，由圖5 明顯可以看出算數平均值與眾數都隨著水流強度的增大而減小，原因就如上文所說是由于床沙隨水流的流失加大，導致床面整體高程下降，高程數據的算數平均值與眾數隨之減小。極差與標準差都反映一組數據各觀測值之間的離散程度，隨著流量的增大，水流對床面形態的影響也越大，床面越來越粗糙，因此床面高程數據就變得越來越不均勻，因此極差與標準差就變得越來越大，但由于極差僅代表最大值與最小值的差，易受極端數據的影響，像圖6一樣雖然整體趨勢與標準差一致，但會出現個別極端點，而高程標準差隨水流強度增加嚴格增大的特性讓它可以成為量化床面粗糙特性的優良指標。床面的峰度隨水流強度呈嚴格單調遞減趨勢，隨著水流強度增大，床面變得不均勻，峰度值變小。偏度和峰度的嚴格單調趨勢，使偏度、峰度也可作為床面粗糙程度衡量指標。

圖6 床面高程統計參數Fig.6 Bed elevation statistical parameters

3.2 二維變異性

由圖7 可以看出，床面的二維變異函數圖在有效計算尺度內，在各個方向趨于穩定后的變異函數的波動幅度存在差異，代表著不同方向上床面高程隨機性的大小不同，這說明水流塑造試驗床面是各向異性的，水流塑造床面時水流的剪切力沿程分布以及沿寬度分布是不均勻性的，這種不均勻的水流作用就會產生各向異性的床面。由圖7知，當水流強度逐漸增大，趨于穩定后的變異函數的波動幅度也越大，床面高程的隨機性越大。與此同時，變異函數的基臺值增大了，由基臺值基本概念可知，其反映了區域化變量在研究范圍內的變異性強度，即基臺值越大該區域內變量間的影響越明顯，區域化變量越復雜，這與上文中得到的結論：水流強度的增大加大了床面表層結構的不均勻性，床面變得越來越粗糙相輔相成。基臺值隨著流量的單調遞增的特性，讓基臺值也可以作為衡量床面粗糙程度的指標。

圖7 二維變異函數Fig.7 Two-dimensional variogram

3.3 剖面變異性

由二維變異函數圖像可知試驗床面是各異性的，因此在對各個方向剖面的變異性分開討論并對比，此次試驗計劃分別對501 個橫（y=0，2，4，…，996，998，1 000 mm； 0≤x≤1 000 mm）、縱（x=0，2，4，…，996，998，1 000 mm； 0≤y≤1 000 mm）及徑向剖面（θ=0°，0.18°，0.36°，…，89.6°，89.82°，90°；0≤ρ≤1 000 mm）高程的變異性進行分析。

3.3.1 橫向剖面變異性

圖8表示初始床面以及不同流量沖刷后形成的穩定粗化床面的高程的剖面變異性，圖8 中小圓圈表示501 個剖面中每個剖面床面高程的變異函數曲線，不難看出各個圓圈在計算范圍內都是散亂波動的，任何固定剖面都不能代表該組工況下剖面的變異特性。并且明顯可以看出，一維變異函數曲線在0～500 mm 的范圍內是穩定的，超過這一范圍后變異函數值就變得急劇增大，在圖中表現出突然上升的趨勢，這一現象也證明了上文提到的變異函數球狀模型的計算尺度必須小于最大平面間隔距離的1/2，當大于最大間隔距離的1/2 時，所計算的變異函數值就失效了這一規律。

圖8 剖面平均變異函數曲線Fig.8 Average variogram curve of section

圖8 中的黑線是同一個工況床面中對501 個剖面的同一計算尺度變異函數值求和取算數平均值后得到的該組床面的平均變異函數曲線，可以看到平均變異函數曲線在0～500 mm 的有效計算范圍內和球狀模型最為接近且表現出良好的穩定性，可以作為試驗床面剖面高程變異特性的優良表征。

在上面6 組床面的平均變異函數曲線圖中可以直觀地看出，隨著流量的增大球狀模型的基臺值也跟著增大。上文提到變異函數球狀模型的特征參數中塊金值主要來源于相鄰區域化變量在間距小于最小采樣尺度時所具有的內部變異性；變程描述了區域化變量影響區域的大小，是變量區域化從空間相關到不相關的轉折點；基臺值則反映了區域化變量在研究范圍內的變異性強度，因此試驗床面平均變異函數的塊金值可用于描述剖面高程隨機性的大小；基臺值表示了剖面高程平均變化幅度的強弱；變程則代表了該組床面組成顆粒影響區域有多大。圖9表示初始床面以及不同流量沖刷后形成的穩定粗化床面的剖面平均變異函數特征參數變化情況，由圖9可知，隨著水流強度的增大，橫向剖面高程平均變異函數的塊金值與基臺值也隨之增大。當流量逐級增大時，水流對床面泥沙顆粒的剝蝕作用也隨之增大，床面上較細的顆粒被水流攜帶下泄，流量越大被帶走的顆粒粒徑越大，床面上的隨機孔隙越多，床面上相鄰顆粒間的孔隙深度也越大，床面也越來越凹凸不平，這就是塊金值與基臺值隨水流強度增大而增大的原因。并且由于越大的水流強度沖刷下塑造的床面平均粒徑越大，粒徑越大的泥沙顆粒，在運動過程中具有的動能越大，與其他泥沙顆粒碰撞的機會也越多，因而易磨損成較圓滑的外形，泥沙顆粒圓滑的外形是有助于降低其聚集效應的復雜性的。隨著流量的增加，受床面隨機孔隙增多和泥沙顆粒磨損的共同影響，變程的數值在一定范圍內波動。

圖9 橫向剖面平均變異函數參數Fig.9 Average variation function parameters of transverse section

3.3.2 橫、縱及徑向剖面變異性對比

圖10 中各圖分別表示初始床面以及不同流量沖刷后形成的穩定粗化床面不同方向剖面的平均變異函數特征參數的異同，由圖10可知，順水流方向、垂直水流方向以及徑向剖面高程的平均變異函數的特征參數的變化趨勢是一致的，塊金值與基臺值隨水流強度的增大而增大，變程在不同方向存在差異且數值上是波動的。橫向剖面平均變異函數的基臺值與塊金值是略大于縱向剖面高程平均變異函數的，并且徑向剖面的基臺值與塊金值遠小于橫向與縱向剖面，這一現象就是由于水流沖刷剝蝕床面時，對順水流方向的影響最為明顯，水流對床面的切應力在主流方向上是最大的。在順水流方向，水流的作用主要體現為沖刷，而在垂直水流方向，則是由于水流的紊動而產生的床面泥沙顆粒的擴散，在天然河道中河床形成的粗化層形態，例如疊瓦狀、散疊狀、密鋪狀結構大都以順水流方向延續的形態呈現，床面形態均以順水流方向為主，因此在順水流方向上床面變形程度要大于垂直水流方向，床面高程變異性也大于垂直水流方向。

圖10 各方向剖面平均變異函數參數Fig.10 The average variation function parameters of each direction section

天然河流的形態與結構較本次試驗的順直水槽要復雜，但其床面在統計學上仍是自相似的，即床面的整體與局部之間、局部和局部之間存在相似。而本次模型試驗所選取的1 000 mm×1 000 mm 的掃描范圍已能夠完整的將范圍內天然河流床面顆粒的暴露和隱蔽關系體現出來，所以該范圍在天然河流中也能反映出局部的床面粗糙度。如HODGE［3］在采集天然河流數字地形數據時便選擇了該大小的采樣范圍。但在對實際天然河流采集床面數據時，考慮到通常天然河道的特征粒徑要比本次試驗采用的要大，可以參考其特征粒徑大小對采集范圍進行放大，來更好的表征范圍內床面的粗糙度。

4 結 論

（1）利用非均勻沙人工鋪制的初始床面高程頻率分布呈現出近似正態分布，由于水流對床面的粗化作用，經歷過不同水流強度累積沖刷后的穩定床面，高程頻率分布出現了輕微正偏態的趨勢。

（2）床沙隨著水流強度的增大而不斷流失，導致床面整體高程下降，從而高程數據的算數平均值與眾數隨之減小。極差與標準差都可以表示數據的離散程度，隨著流量的增大，極差與標準差變得越來越大，但極差僅代表最大值與最小值的差，易受極端數據的影響，而高程標準差隨水流流量增加嚴格增大的特性讓它可以成為量化床面粗糙特性的優良指標。

（3）水流對于床面的塑造存在各向異性，隨著床面粗化程度提升，床面高程二維變異函數的基臺值越大。

（4）任一剖面高程的變異性均表現出極大的波動和明顯的失穩，但剖面平均變異函數表現出良好的穩定性，可以作為試驗床面剖面高程變異特性的優良表征。當床面逐漸粗化，剖面高程平均變異函數的塊金值和基臺值隨之越來越大。

（5）各方向上平均變異函數的特征參數的變化趨勢是一致的，由于水流作用的各向異性，徑向剖面的基臺值與塊金值遠小于橫向與縱向剖面，橫向剖面平均變異函數的基臺值與塊金值是略大于縱向剖面高程平均變異函數的。