基于模糊- 隨機(jī)混合空間的機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性研究

王佳聰， 常筠袖

（遼寧石油化工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院， 遼寧 撫順 113001）

0 引言

機(jī)構(gòu)作為機(jī)械產(chǎn)品的重要組成部分，對機(jī)構(gòu)進(jìn)行時(shí)變可靠性分析很有必要。Andrieu-Renaud 等[1]提出PHI2 方法，將時(shí)變問題的求解轉(zhuǎn)變?yōu)閮上噜徬嗑酁闀r(shí)刻Δt，極限狀態(tài)面從安全范圍到失效范圍穿越次數(shù)問題，利用上穿率計(jì)算產(chǎn)品可靠性。Sudret[2]提出新的PHI2 方法，降低兩相距時(shí)刻Δt 對上穿率計(jì)算的影響。Mejri 等[3]在使用隨機(jī)過程在處理廣義強(qiáng)度和應(yīng)力并考慮時(shí)間相關(guān)性的基礎(chǔ)上，提出新的PHI2 方法。Du[4]以包絡(luò)函數(shù)的思想為基礎(chǔ)，通過與一次二階矩法相結(jié)合提出包絡(luò)函數(shù)法求解機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性。高明君等[5]提出了一種基于廣義強(qiáng)度退化的機(jī)構(gòu)模糊時(shí)變可靠性建模方法。孫瑄等[6]建立了模糊時(shí)變可靠性建模與分析方法，考慮了隨機(jī)變量與失效判據(jù)的模糊性。

上述學(xué)者在計(jì)算可靠度指標(biāo)時(shí)主要應(yīng)用低階矩法，且求解的準(zhǔn)確率有待提高。為進(jìn)一步增加可靠度的求解精度，文章基于PHI2 方法與四階矩法，應(yīng)用4M-PHI2 方法用于求解機(jī)構(gòu)可靠度，針對機(jī)構(gòu)的強(qiáng)度等性能隨時(shí)間退化情況，建立了機(jī)構(gòu)模糊- 隨機(jī)混合空間時(shí)變可靠性模型，通過對數(shù)值算例的模糊時(shí)變可靠性分析，驗(yàn)證了方法的準(zhǔn)確性。

1 模糊-隨機(jī)混合空間時(shí)變可靠性模型建立

1.1 隨機(jī)時(shí)變可靠性模型

機(jī)構(gòu)所需零件從生產(chǎn)、加工到裝配過程中都存在些許誤差，這會(huì)導(dǎo)致零件的參數(shù)具有不確定性，從而造成機(jī)構(gòu)工作過程中的誤差。設(shè)X=（X1，X2，X3，…，Xn）為機(jī)構(gòu)參數(shù)隨機(jī)變量，t=（0，1，2，…，n）為機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間，φ（ω，t）為隨機(jī)過程，ω 為變量在所處空間中的位置。機(jī)構(gòu)所產(chǎn)生誤差定義為機(jī)構(gòu)實(shí)際輸出ψ（X（ω），φ（ω，t））和理想輸出ψd（t）之差，即：

式中：G［X（ω），φ（ω，t）］為機(jī)構(gòu)時(shí)變誤差函數(shù)。得到機(jī)構(gòu)在運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間為［t0，tn］范圍內(nèi)的機(jī)構(gòu)時(shí)變可靠性概率模型：

式中：ε 為誤差閾值。假設(shè)誤差閾值與機(jī)構(gòu)實(shí)際產(chǎn)生誤差服從正態(tài)分布，根據(jù)應(yīng)力- 強(qiáng)度干涉模型，時(shí)變極限狀態(tài)函數(shù)為：

機(jī)構(gòu)時(shí)變失效概率為

1.2 模糊- 隨機(jī)混合空間時(shí)變可靠性模型

在時(shí)間為［t0，tn］時(shí)，考慮誤差閾值與機(jī)構(gòu)部分隨機(jī)變量的模糊性時(shí)，機(jī)構(gòu)的時(shí)變極限狀態(tài)函數(shù)為：

機(jī)構(gòu)時(shí)變失效概率為：

機(jī)構(gòu)的失效概率可表示為：

式中：y 為機(jī)構(gòu)模糊隨機(jī)混合空間Ω 中的隨機(jī)變量，定義y 的概率密度函數(shù)為fZ（y），μZ（y）為事件狀態(tài)程度的隸屬函數(shù)，μZ（y）∈［0，1］。

若μZ（y）為遞減函數(shù)，將1-μZ（y）考慮為隨機(jī)變量Y′的概率分布函數(shù)，機(jī)構(gòu)的失效域可表述為｛X|Z［X（ω），φ（ω，t）］≤Y′｝，等效極限狀態(tài)函數(shù)為Ze=Z［X（ω），φ（ω，t）］-Y′且僅含隨機(jī)變量。

同理，若μZ（y）為遞增函數(shù)，將μZ（y）考慮為隨機(jī)變量Y″的概率分布函數(shù)，機(jī)構(gòu)的失效域可表述為｛X|Z［X（ω），φ（ω，t）］≤Y″｝,等效極限狀態(tài)函數(shù)為Ze=Z［X（ω），φ（ω，t）］-Y″，且僅含隨機(jī)變量。

進(jìn)而在給定水平α（0≤α≤1）下，μZ（y）為遞增函數(shù)時(shí)，機(jī)構(gòu)的時(shí)變極限狀態(tài)函數(shù)和時(shí)變失效概率即可表達(dá)為：

2 基于4M-PHI2 方法的模糊-隨機(jī)混合空間時(shí)變可靠度計(jì)算

2.1 4M-PHI2 方法

PHI2 方法是以首次穿越法為基礎(chǔ)，將計(jì)算上穿率問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼猱a(chǎn)品t 時(shí)刻安全，t+Δt 時(shí)刻失效的概率問題[1]，如式12 所示。

式中：v+（t）為t 時(shí)刻的上穿率；Φ2為二維正態(tài)分布的累積分布函數(shù)；β（t）和β（t+Δt）為通過一次二階矩法等方法求解t 時(shí)刻與t+Δt 時(shí)刻的可靠性指標(biāo)；ρg為相關(guān)系數(shù)。

在使用PHI2 方法過程中，單一時(shí)刻可靠性指標(biāo)求解的準(zhǔn)確度對后續(xù)計(jì)算機(jī)構(gòu)的累計(jì)失效概率會(huì)產(chǎn)生很大影響。與一次二階矩法等低階矩法相比，四階矩法避免了求功能函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)等問題，并且在數(shù)值樣本偏少的情況下有著高精度的求解結(jié)果[8]，比較符合處理實(shí)際工程中對機(jī)構(gòu)可靠性分析中的現(xiàn)實(shí)問題。因此，文章應(yīng)用4M-PHI2 方法，從而獲得更加準(zhǔn)確的機(jī)構(gòu)累計(jì)失效概率，由此得出：

式中：β4M（t）和β4M（t+Δt）為通過四階矩法求解的t 時(shí)刻與t+Δt 時(shí)刻的可靠性指標(biāo)。

當(dāng)采用四階矩法計(jì)算t 與t+Δt 兩相鄰時(shí)刻可靠性指標(biāo)時(shí)，相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法為：

式中：a（t）與a（t+Δt）為t 與t+Δt 時(shí)刻功能函數(shù)在驗(yàn)算點(diǎn)處的方向梯度向量，表達(dá)式為：

式中：U*為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間中的驗(yàn)算點(diǎn)，各參數(shù)在不同時(shí)刻相互關(guān)系如圖1 所示。

圖1 不同時(shí)刻參數(shù)關(guān)系

2.2 模糊- 隨機(jī)混合空間時(shí)變可靠度求解

在α 水平下，設(shè)機(jī)構(gòu)的時(shí)變極限狀態(tài)函數(shù)為Zαe［X（ω），φ（ω，t）］即時(shí)變極限狀態(tài)面為Zαe［X（ω），φ（ω，t）］=0。在時(shí)間［t0，tn］內(nèi)，機(jī)構(gòu)的失效即可表示為：

在to時(shí)刻的瞬時(shí)失效概率為：

在時(shí)刻t∈［t0，tn］，α 水平下的上穿率為：

機(jī)構(gòu)在時(shí)間［t0，tn］內(nèi)的累積失效概率為：

將式（18）帶入式（19）中，即可得到累計(jì)失效概率求解式為：

3 數(shù)值算例

設(shè)極限狀態(tài)的隸屬函數(shù)為：

引入隨機(jī)變量Y″得：

即在α 水平下的等效功能函數(shù)為：

取α=0.2 時(shí)，式中變量分布見表1。

表1 變量分布

從圖2 中可以看出，通過使用不同可靠度求解方法對這一典型（累計(jì)失效概率直線上升）算例求解后，以MCS（蒙特卡洛）法計(jì)算結(jié)果為準(zhǔn)確值，文章所使用的4M-PHI2 方法相對于經(jīng)典PHI2 方法與MCS 的曲線貼合程度更高，意味著具有更高精準(zhǔn)度，由此證明文章方法的準(zhǔn)確性。

圖2 累積失效概率

4 結(jié)論

文章基于PHI2 方法與四階矩法，應(yīng)用4M-PHI2方法求解機(jī)構(gòu)可靠度，并建立了機(jī)構(gòu)模糊- 隨機(jī)混合空間時(shí)變可靠性模型。

通過算例可以說明，此可靠性模型具有實(shí)用性高，誤差小的特點(diǎn)。且對于工程中，可根據(jù)實(shí)際情況確定模糊變量參數(shù)α 大小，對于考慮時(shí)間累積效應(yīng)的機(jī)構(gòu)模糊時(shí)變可靠性分析具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。