永磁同步電機新型有效磁鏈固定時滑模擾動辨識策略

劉思源,劉凌,靳東松

(1. 西安交通大學電力設備電氣絕緣國家重點實驗室,710049,西安;2. 西安交通大學電氣工程學院,710049,西安)

永磁同步電機(PMSM)在體積、效率、功率密度等方面具有優勢,因而在機器人和電動汽車等領域得到了廣泛應用。PMSM是典型的非線性多變量耦合系統。矢量控制(VC)因其優異的動態性能而被廣泛應用于PMSM的控制[1-17]。

在設計PMSM閉環矢量控制系統時,控制器的設計是在假設負載轉矩擾動為零時進行的[12],因而當負載發生波動時,控制器往往難以較好地抑制負載轉矩波動對電機轉速產生的影響。這可能導致電機功角不穩定,造成失步、反轉甚至損壞設備。為解決負載轉矩波動引起的電機狀態不穩定,引入負載轉矩觀測并進行前饋補償是一種較為常見的做法[11-14]。文獻[11]設計了一種新型變系數指數趨近率并應用到滑模負載觀測器設計中,前饋至電流環后提升了電流環的動態性能和穩態精度,但由于引入了sigmoid函數,雖然一定程度上減小了抖振現象,但同時降低了滑模觀測器的動態響應性能;文獻[12]設計了一種降維負載轉矩觀測器,但由于引入的補償項是線性誤差,因而動態性能有所欠缺;文獻[13]設計了一種基于Kalman濾波器的負載轉矩觀測器,該觀測器可以準確跟蹤負載轉矩的變化,用觀測的轉矩形成對參考轉矩的前饋補償,可以大大提高系統轉速控制性能;文獻[14]設計了一種基于無跡Kalman濾波算法的負載觀測器,相較于擴展Kalman濾波,摒棄了對非線性函數進行線性化的做法,對提升觀測器動態性能具有優勢。

傳統的負載觀測器或存在參數設計繁瑣的問題,或在負載發生突變時觀測效果不佳。滑模觀測器具有參數設計簡單,動態性能好的優點[15-17]。但由于其本身引入了符號函數,因而會引入不期望的抖振現象[11],并且傳統的滑模觀測器存在的缺陷之一就是僅能保證漸進收斂,這意味著在一個具有明確上界的時間限度內無法實現精確收斂,即收斂速度是難以預測的,而這在觀測穩態信號時將進一步惡化其輸出信號的穩定性和精確性[16]。為解決上述問題,本文將固定時間滑模理論引入負載觀測策略。固定時間滑模理論的核心是逆向設計虛擬控制量,構造Lyapunov穩定性方程,進而給出收斂時間的上界[18-20]。固定時間滑模理論的核心優勢在于能夠迫使誤差變量在一個具有明確上界的時間限度內收斂,因而可以控制誤差變量的收斂速度,從而在提高滑模觀測器的動態性能的同時減少因符號函數而引起的抖振現象。

傳統滑模觀測器是在靜止兩相坐標系下建立電機的反電勢模型。本文采用的有效磁鏈模型將電機模型建立在兩相旋轉坐標系(d-qframe)下,可使所有交流電機的數學模型將具有相同的動態方程,區別僅在于有效磁鏈的不同。本文采用的內置式永磁同步電機,其模型僅與定子電阻和q軸電感有關,且q軸電流的動態方程就包含了電機轉速信息,進而可以獲得負載轉矩信息[21-23]。采用該模型可以減少電機動態方程數量以及對電機參數的依賴。為進一步提升觀測到的信號精確性和動態響應,本文結合擴展狀態觀測器(ESO)理論對PMSM有效磁鏈模型進行狀態重構和估計,進而構建PMSM三階擴展狀態觀測器動態方程[1-9,23-24]。本文基于擴展狀態觀測器理論,結合PMSM降階有效磁鏈模型設計了一種固定時滑模負載觀測器(FTSMLTO);將觀測到的擾動進行了前饋補償,改善了電流環控制器對負載變化的抗擾能力,構成一種固定時滑模負載擾動辨識方法,并進行了穩定性證明。最終通過仿真結果證明了所提出的負載觀測器的有效性和優越性。

1 PMSM有效磁鏈模型

為簡化分析,假定磁路不飽和,磁滯與渦流損耗影響不計,則永磁同步電機在兩相旋轉(d-q)坐標系下的IPMSM定子電壓方程如式(1)～(3)所示[21-22]

(1)

電磁轉矩方程為

Te=1.5npp[ψf+(Ld-Lq)id]iq

(2)

電機運動方程為

1.5npp[ψf+(Ld-Lq)id]iq-TL

(3)

以上式中:ud、uq分別為電機d、q軸定子電壓;id、iq為d、q軸定子電流;Ld、Lq為d、q軸電感;Rs為定子電阻;npp為電機極對數;ωe為電角速度;Js為轉動慣量;ψf為轉子磁鏈;Te、TL分別為電機電磁和負載轉矩;p為微分算子。

對于表貼式永磁同步電機而言,有效磁鏈ψactive=ψf,而對于本文所用的電機而言,有效磁鏈ψactive=ψf+(Ld-Lq)id。

電機運動方程為

(4)

將ψactive=ψf+(Ld-Lq)id代入式(1)得電機有效磁鏈電壓模型為

(5)

將其變換為電流動態方程得

(6)

由上式可知,d軸電流動態方程包含電機角度信息,而q軸電流動態方程包含電機轉速信息。

2 固定時滑模負載觀測器

2.1 FTSMLTO的設計

由式(6)知,僅需q軸動態方程即可構建電機模型。結合電機運動方程(4),即可構建3階滑模擴展狀態觀測器如下

(7)

結合固定時滑模理論,構建虛擬控制率v1為

(8)

接著引入新的狀態變量ε1

τ1pε1=g(1,1,Λ1)

(9)

值得注意的是,在設計觀測器參數時,k1、k2應選擇的足夠大,從而使系統滿足半全局終結一致有界性,進而使得系統穩定。

(10)

則

(11)

同理,引入狀態變量ε2

τ2pε2=g(1,1,Λ2)

(12)

(13)

則虛擬控制輸入為

(14)

式中:τ2是時間常數;ki(i=3,4,…,6)是需要設計的參數。同前文提到的一樣,τ2應盡可能小,從而滿足收斂的快速性;ki(i=3,4,…,6)應足夠大來確保系統穩定。

2.2 FTSMLTO的穩定性證明及收斂時間計算

為進行下一步分析,給出如下引理。

引理1[19]考慮如下微分方程系統

假設存在方程V(x):U→R使得

(1)V(x):U→R是正定的;

(2)存在正實數α,β,任意小的正實數ε,正奇整數m,n,p,q滿足m>n,p>q,緊集W0使得pV≤-αVm/n-βVp/q+ε,x0∈W0成立。

引理2[25]對于每個正實數a,b,c和滿足1/p+1/q=1的正實數p,q,有如下不等式成立

ab≤cpap/p+c-qbq/q

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

構建Lyapunov方程如下

(20)

則式(20)對于時間的導數為

(21)

(22)

根據引理2,可以得到以下不等式(23)

(23a)

(23b)

式中,γi,λi,ηi(i=1,2)均為正實數。同時,存在實數c滿足

(24)

將式(15)～(19)、式(22)(23)代入式(21),可得

(25)

得到式(25)后,合理選擇參數,使得式(26)成立

(26)

將式(26)代入式(25),則有

(27)

根據式(27)知,合理選擇參數使得式(28)成立時系統穩定。

(28)

為求得收斂時間邊界,將使不等式(28)成立的條件轉換為求解等式(29)

(29)

由于式(29)難以求解,因而將其分解為式(30),求解式(30)即可得到系統收斂時間上界。

(30)

式(30)的解可被寫作

(31)

則根據引理1,系統收斂時間上界為

(32)

2.3 觀測負載轉矩的前饋補償

為減小負載擾動對于電機控制系統的干擾,進一步提升系統的動態性能,需要將觀測得到的負載轉矩進行補償。由于控制系統電氣相應速度遠大于機械相應速度,因而將觀測得到的負載轉矩前饋至電流環時,可以提升系統對外界擾動的相應速度,減小負載轉矩波動對系統的影響。

結合以上分析,需要將觀測得到的負載轉矩前饋至q軸電流環進行補償。因而q軸電流表達式為

(33)

(34)

結合上述分析,構建基于FTSMLTO補償的PMSM矢量控制系統如圖1所示。

圖1 基于FTSMLTO補償的PMSM矢量控制系統框圖Fig.1 PMSM vector control block diagram based on FTSMLTO compensation

3 數值仿真分析

為驗證算法的有效性,本節對所提出的負載轉矩估計算法進行仿真。仿真主要對比了未加負載轉矩觀測、傳統滑模負載轉矩觀測器[11]及所提出的FTSMLTO的負載轉矩觀測性能和補償前后系統抗擾性能變化。仿真所用IPMSM參數如表1所示。

表1 永磁同步電機參數

仿真所用的觀測器參數如表2所示。對本文所用IPMSM原型矢量控制系統進行仿真的結果如圖2、圖3所示。

表2 設計的觀測器參數

(a)傳統滑模負載轉矩觀測器

(a)未加負載轉矩前饋補償

圖2為傳統滑模負載觀測器及FTSMLTO觀測到的負載轉矩波形。圖2、圖3中藍色線為實際負載轉矩,紅色線為觀測器觀測到的負載轉矩波形,黃色線為觀測器測得的實際轉速,綠色線為給定轉速。電機在給定轉速為1 500 r/min下運行。負載轉矩初值由電機轉速、轉動慣量等決定,在電機轉速不變時保持不變。在第0.5 s時負載轉矩階躍增加1 N·m,在2.5 s負載轉矩階躍減小1 N·m;在第2.5 s負載轉矩回到初值后再以1 N·m/s的斜率斜坡降低2 s;在第4.5 s時階躍回到初值,接著以初值為直流偏置,幅值為1,周期為1 s的正弦波運行2 s;在第6.5 s時回到初值。

從圖2(a)中可知,在傳統負載觀測時,穩態時存在較大的穩態誤差,最大誤差約0.3 N·m;動態時響應較差,形成了鋸齒波,難以精確跟蹤電機負載轉矩。盡管在穩態時傳統滑模負載觀測器能夠觀測出負載轉矩,但動態時效果很差,這在需要精確補償電機負載轉矩的應用場景下是不可接受的。而采用FTSMLTO后,從圖2(b)中可知,穩態誤差最大值減小至約0.05 N·m,并且動態響應大大提高,在負載轉矩擾動情況復雜時也能精確跟蹤,大大提升了負載轉矩的觀測精度。

圖3為將不同負載觀測器觀測值前饋至電流環后的轉速響應。圖3(a)為未加負載轉矩前饋補償時的轉速波形,此時正向最大超調為112 r/min,負向最大超調-221 r/min,負載轉矩為正弦波時超調為±60 r/min;圖3(b)為前饋補償傳統滑模負載轉矩觀測值時的轉速波形,此時正向最大超調為110 r/min,負向最大超調-216 r/min,加正弦負載時超調為±58 r/min;圖3(c)為前饋補償FTSMLTO轉矩觀測值時的轉速波形,此時正向最大超調為100 r/min,負向最大超調-188 r/min,加正弦負載時超調為±45 r/min。采用FTSMLTO前饋補償后相較于未補償時轉速正向最大超調減小約10.7%,最大負向超調減小約14.9%,正弦負載時超調減小約25.0%;相較于傳統滑膜負載觀測器前饋補償后轉速正向最大超調減小約9.1%,負向最大超調減小約13.0%,正弦負載時超調減小約22.4%。由上述分析得出,FTSMLTO前饋補償后電機轉速動態性能得到了大幅提升。

由圖2和圖3知,采用FTSMLTO相比傳統滑模負載觀測器能夠大幅提升負載觀測值的精確性和動態性能;前饋補償至電流環后,電機轉速動態性能也得到了提升。

4 結 論

(1)推導了IPMSM降階有效磁鏈模型,構建了電機有效磁鏈三階擴展狀態觀測器。

(2)設計了基于固定時滑模理論的虛擬控制率和虛擬控制輸入。

(3)采用觀測轉矩前饋的方法對電流環進行補償,從而改善系統的動態響應,構成一種永磁同步電機降階有效磁鏈固定時滑模負載擾動辨識策略。

(4)通過數值仿真,將本文提出的FTSMLTO與傳統滑模負載觀測策略進行了對比分析,數值結果表明,在觀測負載轉矩曲線上,FTSMLTO具有更小的穩態誤差和更好的動態響應;將觀測值前饋至電流環后,電機轉速動態性能得到了提升,能夠更好地抵抗負載轉矩的波動,控制性能得到了提升。