因?qū)ΨQ而精彩 因和諧而美麗
——例談以彈簧振子運(yùn)動(dòng)模型為載體的問題分析策略

許冬保

(江西省九江市第一中學(xué),江西 九江 332000)

趙凱華先生在《新概念物理教程·力學(xué)》[1]中指出:“人們習(xí)慣于按照物質(zhì)運(yùn)動(dòng)的形態(tài),把物理學(xué)分成力(包括聲)、熱、電、光等子學(xué)科.然而,某些形式的運(yùn)動(dòng)是橫跨所有這些學(xué)科的,其中最典型的要算振動(dòng)和波了.”基于此,在老高考(選考+必考)命題中,必考試題中涉及振動(dòng)模型的問題就很正常了,新高考中振動(dòng)和波(全國(guó)卷及部分自主命題省市)屬于必考內(nèi)容.文章兼顧新老高考復(fù)習(xí),基于物理觀念的視角對(duì)彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型的應(yīng)用作些分析,期望為考生備考提供助益.

1 彈簧振子運(yùn)動(dòng)模型的建構(gòu)與表征

眾知,凡一個(gè)物體受到跟相對(duì)平衡位置的位移成正比,方向與位移相反的回復(fù)力作用下的振動(dòng),叫做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是一種最基本、最簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng).

1.1 模型建構(gòu)

如圖1,輕彈簧與小球連接的系統(tǒng)構(gòu)成彈簧振子.彈簧左端固定,小球穿過(guò)水平光滑桿.當(dāng)小球位于O點(diǎn)時(shí)(平衡位置),彈簧彈力F為零.若使小球偏離O一段距離x,由靜止釋放小球,則小球受力F作用,在O點(diǎn)附近(B、C間)持續(xù)地振動(dòng)起來(lái).選O為坐標(biāo)原點(diǎn),以向右為正方向,則有

F=-kx

顯然,彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).

圖1 彈簧振子的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)模型

1.2 運(yùn)動(dòng)方程

理論表明:勻速圓周運(yùn)動(dòng)的投影運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).在如圖2所示的參考圓中,質(zhì)點(diǎn)P沿逆時(shí)針方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng),則P在x軸上的投影運(yùn)動(dòng)即為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).可以方便地得到以下規(guī)律.

小球離開平衡位置的位移x隨時(shí)間t變化規(guī)律為

x=Acos(ωt+φ0)

式中,A、ω、φ0分別表示振幅、圓頻率與初相,且為常量.

圖2 參考圓分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)

P的速度及加速度在x軸上的分量分別為

v=-Aωsin(ωt+φ0);a=-Aω2cos(ωt+φ0) .

x、v、a對(duì)應(yīng)的表達(dá)式,分別表示簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移方程、速度方程及加速度方程.

1.3 運(yùn)動(dòng)周期

由描述x、a的方程知a=-xω2.結(jié)合牛頓第二定律,有F=-xmω2

該式與F=-kx相比較,有k=mω2.可得振動(dòng)的周期公式

1.4 運(yùn)動(dòng)能量

不計(jì)任何能量損耗,彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),振動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒.因此,某時(shí)刻振動(dòng)系統(tǒng)的總能量為

2 應(yīng)用分析

如上所述,彈簧振子的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),其x、v、a等物理量均隨時(shí)間t按正弦或余弦規(guī)律變化,并且對(duì)平衡位置具有時(shí)空對(duì)稱性,對(duì)稱性特征彰顯振動(dòng)的美麗與和諧.以彈簧振子簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)為載體的物理問題,可以由運(yùn)動(dòng)觀念、能量觀念、動(dòng)量觀念、圖像觀念等視角進(jìn)行分析.

2.1 運(yùn)動(dòng)觀念分析

(1)h的大小;

(2)0.6 s內(nèi)物塊運(yùn)動(dòng)的路程;

(3)由位移y的振動(dòng)方程,寫出相應(yīng)的速度及加速度隨時(shí)間變化的關(guān)系式.

圖3 振動(dòng)與落體運(yùn)動(dòng)模型

2.2 能量觀念分析

例2水平面上有一彈簧振子,不計(jì)彈簧質(zhì)量及任何阻力,振子作振幅為A的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng).若小球在O點(diǎn)的速度為v0,振動(dòng)中某點(diǎn)P到O點(diǎn)的位移為x.試求

(1)振子在P點(diǎn)的速度v及振動(dòng)的周期;

(2)定性畫出v隨x變化的函數(shù)圖像.

2.3 動(dòng)量觀念分析

例3如圖5,傾角θ=30°足夠長(zhǎng)的光滑斜面固定在水平面上,兩個(gè)物體A、B通過(guò)細(xì)繩及輕彈簧連接于光滑輕滑輪兩側(cè),B的質(zhì)量為m,開始時(shí)用手按住物體A,物體B靜止于地面,滑輪兩邊的細(xì)繩恰好伸直,且彈簧處于原長(zhǎng)狀態(tài).松開手后,當(dāng)B剛要離開地面時(shí),A恰達(dá)最大速度v,空氣阻力不計(jì).

圖5 斜面上的振動(dòng)問題

(1)求A的質(zhì)量M;

(2)A下滑過(guò)程中彈簧最長(zhǎng)時(shí),A的速度v1為多少?

2.4 圖像觀念分析

例4如圖6,某輕質(zhì)彈簧勁度系數(shù)為k,彈簧下端固定在地面,上端固定連接一個(gè)輕質(zhì)的小托架.質(zhì)量為m的小球從離托架一定高度處由靜止開始自由下落,小球恰好落到托架中心位置,然后經(jīng)過(guò)一段時(shí)間又回到初始下落位置.彈簧始終在彈性范圍內(nèi),不計(jì)空氣阻力.

圖6 豎直方向的振動(dòng)問題

(1)若小球運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)速度最大,則以O(shè)點(diǎn)為位移起點(diǎn)(小球在任意位置P的位移為OP),設(shè)豎直向下為正方向,作出小球在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的加速度a隨位移x變化的a-x圖像(特殊點(diǎn)需要標(biāo)出坐標(biāo))﹔

(2)若小球在上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大加速度為2g,利用a-x圖像,求小球初始下落位置距小托架的高度.

答案(1)

圖7 小球運(yùn)動(dòng)的a-x圖像

物理觀念是從物理學(xué)視角形成的關(guān)于物質(zhì)、運(yùn)動(dòng)與相互作用、能量等的基本認(rèn)識(shí),是解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)[2].在某一個(gè)具體問題的分析中,所涉及到的物理觀念其實(shí)并非單一,文中的分類是基于問題解決的核心觀念出發(fā)的.

由于受傳統(tǒng)考試大綱的局限,彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式并不作為考查的內(nèi)容,因此在實(shí)際教學(xué)中,往往回避.若將彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式作為科學(xué)探究的內(nèi)容,在核心素養(yǎng)理念下,從線性力做功的角度(例2評(píng)述)或通過(guò)圖像等手段均可導(dǎo)出彈簧彈性勢(shì)能表達(dá)式,這有利于學(xué)生從能量觀念的視角深度理解彈簧的本質(zhì).另外,在當(dāng)今高校強(qiáng)基測(cè)試中,明確要求能夠掌握彈簧彈性勢(shì)能的表達(dá)式并能進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算.因此,在教學(xué)中建議將彈簧彈性勢(shì)能表達(dá)式列為教學(xué)目標(biāo)的內(nèi)容.