基于教學與競賽協同合作的數學建模課程創新教學設計研究

高晶英，青梅，何斯日古楞，額爾敦布和

（呼和浩特民族學院 數學科學學院，內蒙古呼和浩特 010051）

數學建模已經成為現代社會中解決實際問題的重要手段之一，它是將現實生活中的問題轉化為數學模型，利用數學方法進行求解的過程。數學建模是一門跨學科的綜合性課程，學生主要通過學習課程和參加數學建模競賽掌握基本的數學建模理論與方法，并應用其解決實際問題。目前，國內研究如何提高數學建模課程教學效率和充分發揮學科競賽作用的成果有很多：羅志坤、孟秦[1]提出可以通過選擇優秀案例、注重課后實踐、設置學習目標、開展智慧教學等具體教學方法，進行數學建模課程教學改革，提高教學效果；陳雅頌、汪曉銀、石洛宜[2]闡述了“學數學、用數學、融數學”的教學理念，將“三促四融，五能并舉”貫穿在數學建模課程教學活動中，建立了系統、有效的數學建模課程新型教學模式；張陽[3]認為教師可以依據學情，指導學生通過模仿、遷移到創新三重進階，提高數學建模能力和數學素養；劉杰、李金華[4]構建了慕課、翻轉課堂、課程思政和創新實踐耦合的“三課一實”課程教學體系，并對其進行了詳細探討；孟軍、白鈺瑩、張戰國等[5]通過問卷調查形式進行研究，證明參加數學建模競賽對大學生創新能力的培養具有顯著促進作用，尤其對提高大學生創新實踐操作能力和創新學習能力更有效；堯雪莉[6]以所在學校為例，分析基于數學建模競賽的高校創新創業教學改革的重要性、實現路徑、實踐成效及推廣價值；由守科、俞芳[7]深入分析了高校大學生數學建模競賽的意義以及競賽與數學教育教學方面存在的問題，同時結合存在的問題對高校數學教育教學改革提出建議；李建平[8]論述了數學建模競賽對學生的影響及其在教學中的作用和意義，分析了影響數學建模競賽成效的制約因素，提出了數學建模競賽管理體系建立策略；高晶英、青梅[9]探討通過數學建模課程理論教學和競賽實踐操作，培養學生創新意識、知識應用能力、自主學習意識和表達能力，使學生形成數學建模思維。目前，有關數學建模課程的課堂教學和學科競賽之間協同合作的研究成果較少。

因此，本文主要研究課堂教學與學科競賽之間協同合作的數學建模課程創新教學設計。該教學設計不是單一地使學生在課堂上學習數學建模知識、課后參加數學建模競賽實踐，而是將課堂教學和建模競賽進行資源整合，在課堂教學內容和活動中融入實際競賽題目的分析、建模、求解和結論分析等環節，同時鼓勵學生參加數學建模競賽，使教學和競賽相輔相成，充分發揮兩者的作用，進而提高學生的數學建模能力和創新能力。

1 數學建模課程創新教學設計的重要因素

1.1 教學理念與目標

在傳統的教學模式下，數學建模課程課堂教學和學科競賽之間的關聯性不強。因此，應進一步增強課堂教學與學科競賽的協同性，將課堂教學與學科競賽有機融合，最大限度發揮兩者的作用，培養學生數學建模思維和應用數學知識解決實際問題的能力。

數學建模課程的教學目標有三個：（1）能力目標。培養學生數學建模思維，提升學生創新意識，培養學生自主學習、語言表達、實際操作等綜合能力，使其能夠撰寫一篇合格的數學建模論文。（2）知識目標。使學生掌握數學建模的理論和方法，學會常用的數學建模基本思想、基本方法和基本過程。（3）素質目標。學生能夠將數學建模的理論知識與社會問題相結合進行分析，確立正確的價值觀。

1.2 教學內容分析

數學建模課程采用的教材具有實用性特點，每個章節內容都由一個實際案例組成，從簡單到復雜，循序漸進提升難度。本課程的學習重點是數學建模的問題分析、模型假設、模型建立、模型求解和結果分析等。問題分析既是學習重點也是學習難點，對一個實際問題進行全面分析，往往需要學生具有綜合分析能力。此外，模型的穩定性分析也是一個難點。

在教學內容選擇方面，如果只講解教材上的案例，學生只能掌握基礎性知識，無法達到更高階的課程教學目標。因此，數學建模課程教學內容為教材案例和優秀競賽論文相結合。教材案例可以選擇如“椅子放平”“鉛球擲遠”等生活中常見的問題。優秀數學建模論文考慮選用歷年全國大學生數學建模優秀論文，如“FAST 主動反射面形狀調節研究”“‘同心協力’策略研究”等，以此體現數學建模課程的“兩性一度”。此外，針對學生的不同學習需求，在數學建模課程授課過程中，教師提供了自制的部分案例講解視頻，為學生推薦優秀的MOOC 課程學習資源。

1.3 融入課程思政

由于數學建模課程內容具有多樣性，相比于其他數學課程，教師更容易在教學內容中融入課程思政內容，所以，在數學建模課程中加入課程思政內容的研究文獻較多[10-13]。教師在講解數學建模課程時，挖掘教材案例和建模競賽題目中的思政元素，比如在講解教材中“鉛球擲遠”問題時，由于這是一個與體育項目相關的案例，可以通過2022 年北京冬奧會引出主題；在講解數學建模競賽題目“FAST 望遠鏡主動反射面形狀調節研究”時，通過視頻展示我國具有自主知識產權、世界最大單口徑、最靈敏的射電望遠鏡——FAST。

1.4 學情分析

在開課之前，要進行學情分析。第一，由于該課程是為大學二年級本科生開設的，學生已經通過其他數學課程學會了基本理論知識，還學過MATLAB 程序語言，有一定的實踐基礎；第二，每個班級學生人數不多，學生對理論知識掌握情況不同，一些學生具備數學建模的經驗；第三，大部分學生對理論性較強的內容學習意愿不強，但是都具備較好的實踐操作能力。

1.5 過程與方法

課堂教學按照以下幾個環節展開：

每個學期，教師根據數學建模競賽的參賽規則，將班級學生進行分組，每組3 人，每個班級可以分成10～12 個小組。學生以小組形式參加課堂教學活動，培養團隊協作能力。課前，教師通過學習通平臺發布每節課程的學習任務，學生需要了解與本節課程案例相關的背景知識。

為方便學生使用計算機軟件解決問題，數學建模課程安排在數學實驗室授課。課上，教師的主要任務是案例講解，且教師講解和學生講解相結合，教師在講解過程中逐步引導學生完成問題分析、模型假設、模型建立、模型求解、結果分析等步驟。在問題分析步驟，教師通過與學生互動，了解學生完成課前任務的情況。在整個數學建模過程中，教師讓學生用MATLAB 作圖表，訓練學生的實際操作能力。教師充分利用學習通平臺的課堂活動小功能，選擇學生回答問題或鼓勵學生搶答，根據每名學生的回答情況給予積分獎勵，以此提升學生的課堂參與度。通過教師對部分模型的講解，學生對數學建模的基本思想、基本步驟有了一定了解和掌握，能夠選擇合適的數學建模案例進行講解。在學生講解過程中，教師和其他小組學生可以提問并進行點評。授課學時可按以下方式進行分配：教師講解為36 學時，其中教材案例講解24 學時、優秀競賽論文講解12 學時；學生講解為18 學時，學生選擇教材案例或優秀競賽論文講解均可。根據每個學期的具體情況，教師可調整學時分配，制作整個學期的教學安排表。

課后，學生通過學習通平臺發帖討論和提交作業。發帖和作業的內容可以是課堂上沒有完成的任務，也可以是課外引入的案例。此外，教師要求學生在每個學期的中期提交一篇數學建模論文，在4～5 月份參加數學建模網絡挑戰賽。

1.6 考評與反饋

本課程的學習評價由過程性評價和終結性評價兩個部分組成，每個部分的成績各占50%。過程性評價由6 個部分組成，分別為課堂互動、考勤、作業、學生案例講解、論文寫作和參加競賽。終結性評價成績由期末考試成績決定，主要是考查學生對數學建模課程中的常用概念、基本方法、模型建立和結果分析的掌握情況。

1.7 教學成效

教學成效主要從三個方面評定：第一是學生在課堂上的表現，第二是學生在數學建模中的獲獎情況，第三是學生在其他創新創業比賽中的成績。在學習態度方面，學生能夠積極參與課堂討論，獨立思考問題，并與同學、教師充分交流與討論，對問題進行比較全面、深入的思考，同時基本掌握數學建模常用工具MATLAB 的使用方法。近三年，在任課教師的鼓勵下，學生積極參加數學建模競賽，多次獲得省級以上獎項。此外，學生積極申請全國大學生創新創業訓練計劃項目并獲批2個國家級和1 個內蒙古自治區級項目，在中國國際“互聯網+”大學生創新創業大賽和“挑戰杯”內蒙古自治區大學生課外學術科技作品競賽中取得了成績。

2 課堂教學案例

本節以姜啟源、謝金星、葉俊編著的《數學模型》（第五版）[14]中的“鉛球擲遠”為例，簡單闡述授課過程。“鉛球擲遠”案例是一個關于體育運動的數學建模問題，教師在教學過程中，通過2022 年在北京舉辦的第24 屆冬季奧運會引出課程思政內容，即本節課的主題。

本次課程的主要內容是對鉛球擲遠案例進行問題分析、建立模型、模型求解、結果分析、模型應用以及敏感性分析。首先，教師與學生互動，得到鉛球擲遠距離分別與鉛球初始速度、出手角度和出手高度之間有關系的結論。其次，教師在問題分析的基礎上提出模型假設，并建立兩種數學模型，分別是不考慮出手高度的簡單模型以及考慮出手高度的改進模型。根據斜拋運動的基本定律可以建立鉛球擲遠距離與初始速度、出手角度之間的簡單模型s=v2sin2θ/g，其中v是鉛球的初始速度，θ是鉛球的出手角度。當θ=π/4 時，得到鉛球擲遠的最大距離s1=v2/g。再考慮出手高度，得到改進模型，其中h是鉛球出手高度，g是重力加速度。根據隱函數求導法則，得到最佳出手角度和最遠投擲距離。

下面對改進模型的結果進行分析。得到最佳出手角度和最遠投擲距離之后，可以知道θ＜π/4。同時分析最佳出手角度和最遠投擲距離的兩個函數：當v變大時，θ和s2都會變大；當h變大時，θ會變小，s2會變大。大致上s2與v2成正比，s2與h1/2成正比。因此提高v遠比提高h有效。當給學生講解這些結論的時候，如果能利用MATLAB 等軟件畫出相應的變化曲線，則會取得更好的教學效果，如圖1 和圖2所示。從圖1 和圖2 可以直觀地看出，當v和h變大的時候，最佳出手角度和最遠投擲距離的變化情況，證明了以上結論。

圖1 最佳出手角度的變化曲線

圖2 最遠投擲距離的變化

下面討論兩個模型的最遠投擲距離s1和s2，通過推導很容易得到s2=s1+h。該結論表明，當考慮出手高度時，改進模型最遠投擲距離比簡單模型最遠投擲距離多出一個出手高度。通過畫圖可以更直觀地看出該結果，圖3 畫出了h=2m，v=12m/s，θ=40°時，模型一和模型二中鉛球在空中位置變化曲線，分別用實心圓和空心圓代表鉛球位置。可以看出，當鉛球落地時，兩個模型最遠投擲距離之差約等于鉛球出手高度。

圖3 鉛球在空中位置變化曲線

最后，對兩個模型的結果進行敏感性分析，討論v、θ、h的微小改變對最遠投擲距離s的影響。當分析模型二中v、θ、h有微小改變對投擲距離的影響時，可以畫相應的圖，使學生更快地理解教學內容，如圖4 所示。圖4 中畫出了當h=1.8m、2.0m、2.2m，v=8～12m/s 時模型二投擲距離隨出手角度的變化曲線，其中出手角度的變化范圍為，為最佳出手角度，實心圓、三角形和正方形分別表示出手高度為1.8m、2.0m、2.2m 時的投擲距離變化曲線。從圖4 可以看出初始速度v的增長對投擲距離影響很大，而出手角度發生變化時投擲距離的曲線近似橫線，說明θ微小改變對投擲距離的影響很小。此外，通過圖4 還可以看出h微小改變對投擲距離的影響也很小。

圖4 出手角度變化時投擲距離變化曲線

對模型進行結果分析和模型敏感性分析是數學建模過程中的難點，教師通過MATLAB 等軟件畫出相應的圖像，能夠使學生加強對知識點的理解，同時，通過畫圖可以提高學生使用數學軟件解決實際問題的能力。課后，學生通過學習通平臺討論2019 年“認證杯”數學中國數學建模網絡挑戰賽A 題“好風憑借力，送我上青云”，根據題目要求試建立相應的數學模型。

3 結語

數學建模課程的教學目標是使學生更好地掌握數學建模的基本理論和方法，提高學生使用數學建模解決實際問題的應用能力。本文主要研究數學建模課程的創新教學設計，旨在通過課堂教學與學科競賽協同育人，充分發揮課堂教學和學科競賽的作用，提高數學建模課程的教學效果。