有關彈力方向判定的幾點說明

王金聚

［摘 要］彈力方向的判定是教學的一個難點，特別是輕桿所受的彈力，更是不少學生容易出錯的一個點。文章結合典型例題，對彈力方向的判定做了深入淺出的剖析，對教學具有一定的參考作用。

［關鍵詞］彈力方向；判定；重心；輕桿；高考

［中圖分類號］? ? G633.7? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）20-0033-03

彈力是一種接觸力。比如你用手去拉彈簧，彈簧伸長了，它想要恢復原狀，就會對你的手產生一個力的作用，這就是彈力。從彈力產生的機理不難看出，物體所受的彈力是沿著施力物體形變恢復的方向。

高中物理中常見的彈力有：繩、桿所受的彈力；接觸面的彈力等。繩子提供的彈力是沿著繩子收縮的方向；接觸面提供的彈力是沿著與接觸面垂直的方向。比如放在地面上的物塊，它對地面的壓力和地面對它的支持力都是跟接觸面垂直的。概括而言接觸有：①面與面接觸；②點與面接觸。彈力的方向都是垂直于面的，如果是曲面之間的點與點的接觸，比如兩個球相互擠壓，我們則要找出兩物體接觸點的公切面，彈力的方向與這個公切面同樣也是垂直的關系。但桿的彈力就比較復雜了，可能沿桿的方向，也可能不沿，這就要視問題而定了。

彈力的教學是一個難點，在教學中我們要把握好以下幾點。

一、彈力的方向和物體的重心沒有必然的聯系

重心是物體所受重力的集中等效作用點，它的位置與物體的形狀和質量分布有關，其本質還是源于地球對物體的吸引。彈力則是源于物體接觸并發生了彈性形變。從兩者的起源來看，它們并不存在什么關聯，所以彈力的方向也就不一定要經過物體的重心了。

［例1］如圖1所示，一個光滑金屬球放在凹槽上，它的重心位置C在它的球心位置O的下方。請在圖中畫出該金屬球所受力的示意圖。

解析：球受三個力，重力和左右凹槽對它的彈力。但問題是，這兩個彈力的方向是指向球心，還是指向重心呢？

對初學彈力的學生而言，他們對此問題很是糾結。實際上，我們可以舉一個極端的例子來加以說明。如圖2所示，把金屬球挖空，將挖出的小球懸掛在球殼的下方，則球殼和懸掛球整體的重心必然會有所下降，假如重心是圖2中的C點，此種情況下，你還認為凹槽對球的彈力是指向重心C的嗎？

顯然不是，否則整體就無法保持平衡了！這樣一處理，學生對彈力指向球心的方向就很容易接受了。實際上，從彈力產生的機理來看，球與凹槽之間的擠壓是沿著半徑方向的，所以形變也是沿著半徑方向的，故彈力也應該是沿著半徑方向的，和重心在哪沒有關系。

二、彈力的方向往往要結合共點力的平衡條件、牛頓運動定律等規律來判斷

若一個物體受到多個共點力作用而處于平衡狀態，則這些力的合力必為零。若其中一個是彈力，則它的方向與其余力的作用線必交匯于一點。若一個物體處于加速狀態，則其所受合力必沿著加速度的方向。若其中一個是彈力，則其余各力的合力與該彈力的合成必然是沿著加速度的方向，且遵循平行四邊形定則。

［例2］（2016年上海高考）如圖3所示，頂端固定著小球的直桿固定在小車上，當小車向右做勻加速運動時，小球所受合外力的方向沿圖中的（ ）。

A. [OA]方向 B. [OB]方向

C. [OC]方向 D. [OD]方向

解析：小球隨車而動，它的加速度也水平向右，根據牛頓第二定律，其所受的合力也是水平向右的。正確選項為D。

具體受力如圖4所示，合力是小球重力[G]和桿對它的彈力[N]合成的結果。小球在兩個力共同作用下，水平向右加速運動，所以桿對小球的作用力是斜向右上方的，并不沿桿的方向。

若小車的加速度增大，則合力變大，由平行四邊形定則可知：桿對小球的彈力[N]會變大，與[OD]方向的夾角會變小，但仍是指向右上方的，不會沿著桿的方向。

即便小車的加速度為零，即小球處于平衡狀態，由平衡條件可知：桿對球的作用力是豎直向上的，也不是沿桿的方向。

［例3］如圖5甲所示，輕桿OB可繞B點自由轉動，另一端O點用細繩OA拉住，A端固定在左側墻壁上，質量為m的重物用細繩OC懸掛在輕桿的O點，OA與輕桿的夾角[∠BOA=30°]。圖5乙中水平輕桿OB一端固定在豎直墻壁上，另一端O裝有光滑輕質小滑輪，用一根細繩跨過滑輪后懸掛一質量為[m]的重物，圖中[∠BOA=30°]，求：

（1）圖5甲、乙中細繩OA的拉力各是多大？

（2）圖5甲中輕桿右端受到的彈力是多大？

（3）圖5乙中細繩對滑輪的作用力是多大？

解析：圖5甲中，分析輕桿右端受力，繩OA、OC的拉力的合力應沿輕桿的方向，否則輕桿會繞軸B轉動，無法平衡。由圖6甲可得[TA1=2TC1=2mg]，輕桿右端所受的彈力為[F1=3mg]。

圖5乙中，因為小滑輪是光滑的，所以小滑輪兩側細繩的拉力相等，同為[mg]，由圖6乙可得其合力也為[mg]，此即為細繩對小滑輪的作用力，方向與輕桿成[30°]角斜向下。合力雖然不沿輕桿的方向，但因為輕桿左端是固定在墻上的，所以桿不會發生轉動。

三、輕桿一端所受的彈力與其他力的合力也不一定沿著桿的方向

如圖7所示，一架梯子斜靠在光滑的墻上，梯子本身有重力，墻對梯子有水平向外的彈力，地面對梯子既有彈力又有摩擦力，那么，地面所施加的這兩個力的合力會沿什么方向呢？會沿著梯子方向嗎？

梯子所受各力如圖8所示，設重力[G]和彈力[N2]的方向交于O點，根據共點力的平衡條件，彈力[N1]和靜摩擦力[f]的合力的方向也要經過O點，并沒有沿著梯子的方向。

對不計重力的輕桿而言，它的一端所受的合力會不會沿著桿子的方向呢？

［例4］（2022年6月浙江高考）如圖9所示，一輕質曬衣架靜置于水平地面上，水平橫桿與四根相同的斜桿垂直，兩斜桿夾角[θ=60°]。一重為G的物體懸掛在橫桿中點，則每根斜桿受到地面的（ ）。

A. 作用力為[33G] B. 作用力為[36G]

C. 摩擦力為[34G] D. 摩擦力為[38G]

此題給出的答案為B，其解題過程如下：

解析：如圖10所示，設每根斜桿受到地面的作用力大小為[F]，把水平橫桿和重物看作一個整體，因為橫桿是輕質的，所以橫桿與重物總的重力仍為[G]。考慮整體在豎直方向的受力平衡，得[4Fcosθ2=G]，所以[F=36G]。

以其中一根斜桿為研究對象，其下端的受力[F]是彈力和摩擦力的合力，則每根斜桿所受地面的摩擦力為[f=Fsinθ2=312G]。

故選項A、C、D錯誤，正確選項為B。

如此解析有沒有什么問題呢？

橫桿與斜桿結合部的具體情況是怎樣的？有沒有鉸鏈或轉動軸？還是固定死的一個整體？題目并沒有說明。

如圖11所示，假設橫桿通過轉動軸與四根斜桿相連。若轉動軸光滑、斜桿足夠細，分析斜桿底部的受力情況，斜桿受到地面的作用力的方向應指向轉動軸，否則斜桿將無法平衡。這樣，求得的結果和上面的推導一致，仍為選項B正確。不過生活中這樣的曬衣架顯然是不牢固的，很容易塌架，并不靠譜。

如圖12所示，如果曬衣架是固定死的，比如四條腿和橫桿是一次性澆鑄而成的一個整體，則此種情況下對整體而言并沒有滑動的趨勢，曬衣架和地面之間并不存在摩擦力，每條斜桿底部只受到地面豎直向上的支持力，大小皆為[N1=G4]。這樣，在選項中就找不到正確答案了！

此題不光反映出有的高考題的表述不是非常嚴謹，也說明了對輕桿的受力分析確實有一定的難度。與繩子不同，桿既可以產生拉力，又可以產生壓力，且桿所受的彈力不一定沿著桿的方向。特別是對初學者來講，這的確是一道較難跨越的坎。

近幾年來，高考對物體受力分析的考查，已不再局限于平面內，而是觸及了三維空間的受力。遇到此類問題，總的思路是作降維處理，即把受力朝兩個相互垂直的平面內分解，然后在平面內再分別處理。比如2022年河北省選考卷，就有一個涉及多個彈力的空間受力問題。題目如下：

［例5］（2022年河北選考）如圖13所示，用兩根等長的細繩將一勻質圓柱體懸掛在豎直木板的P點，將木板以底邊MN為軸向后方緩慢轉動直至水平，繩與木板之間的夾角保持不變，忽略圓柱體與木板之間的摩擦，在轉動過程中（ ）。

A. 圓柱體對木板的壓力逐漸增大

B. 圓柱體對木板的壓力先增大后減小

C. 兩根細繩上的拉力均先增大后減小

D. 兩根細繩對圓柱體拉力的合力保持不變

解析：圓柱體受力側視圖如圖14所示。設兩繩子對圓柱體的拉力的合力為T，木板對圓柱體的支持力為N，繩子與木板平面的夾角為α，繩子與豎直方向的夾角為[β]，支持力與豎直方向的夾角為[γ]，在力的矢量三角形中，根據正弦定理得[Nsinβ=Tsinγ=mgsin（90°-α）=mgcosα]。

在木板以直線MN為軸向后方緩慢轉動直至水平的過程中，[α]不變，[γ]從[90°]逐漸減小到[0°]，由[T=mgsinγcosα]知，拉力是逐漸減小的，故選項C錯誤。

設兩繩子之間的夾角為[2θ]，每根繩子的拉力為[T]，則[2Tcosθ=T]，因為[θ]不變、[T]逐漸減小，所以繩子拉力[T]也是逐漸減小的，故選項D錯誤。

設木板與豎直方向的夾角為[δ]，由受力圖（圖14）可得[β=α+δ]，[α]不變，[δ]是從開始的[0°]逐漸增加到[90°]的，所以[β]角是從銳角[α]逐漸增大到鈍角[90°+α]的，故[sinβ]是先增大后減小的，由[N=mgsinβcosα]可知N也是先增大后減小的。根據牛頓第三定律，圓柱體對木板的壓力也是先增大后減小的，故選項B正確，A、C、D項均錯誤。

《普通高中物理課程標準（2017年版）》要求我們要“通過實驗了解物體的彈性”。在彈力的新課教學中，我們要利用好彈簧、橡皮筋、海綿、氣球、彈力球、弓箭等器材，做好玻璃瓶、桌面微小形變的演示，還可以播放蹦床運動、兒童充氣蹦蹦球、撐竿跳高等體育運動項目的視頻，以喚醒學生腦海中已有的記憶，進而激發學生的學習興趣，促進學生更好地理解彈力的概念。

客觀地講，對彈力方向的判定是很難做到一步到位的，因為它和共點力的平衡條件、力的合成與分解、牛頓第二定律等知識關聯度很高，等學完了這些知識之后，再返過來理解彈力的方向，就水到渠成了，也更容易深刻理解、掌握，并融會貫通了。那時，再回首，學生就可能會有一種登高望遠天地闊、豁然開朗自清明的感悟了。

（責任編輯 易志毅）