基于“化歸思想”對數列問題的討論

白曉穎　任琛琛

［摘 要］化歸思想是解決數學問題的一種重要思想。文章以“數列”知識為載體，探究化歸思想在解決數列問題中的應用，從而拓展學生的解題思路，提高學生的解題能力，促進學生數學學科素養的提升。

［關鍵詞］化歸思想；數列；應用

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻標識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2023）20-0024-03

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》在教學實施建議中提出：既要重視教，更要重視學，促進學生學會學習。教師應加強學法的指導，幫助學生養成良好的學習習慣。數學本身就具有抽象性，學生理解起來比較困難，這就要求教師在教學時注重數學思想方法的滲透，不能機械地給學生教授知識，尤其是在解題過程中，不能讓學生為了做題而做題，要講求解題的方式方法。例如將未知條件轉化為已知條件；將陌生、復雜的問題轉化為熟悉、簡單的問題等。教師只有在日常教學中逐漸滲透數學思想方法，才能促進學生舉一反三、融會貫通。近幾年高考數學試題經常會考查學生對化歸思想的使用情況，本文將重點敘述化歸思想在數列問題中的應用。

一、化歸思想的要義

化歸不僅是一種重要的解題思想，還是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。化歸思想是指將較難解決的問題通過轉化，化歸為較簡單的或者已經解決的問題?；瘹w思想的實質是運用發展的、相互制約的觀點看待問題。在數學教學與數學解題中會經常使用化歸思想。

二、化歸思想的應用指導

（一）注重基礎知識的掌握

應用化歸思想的基礎條件是將教材中所呈現的知識熟練掌握。只有將基礎知識熟記于心，才能在解題時熟練應用?；A知識是前提，是成功解決復雜問題的必要條件。數學知識不是孤立地存在于各個章節，而是有著密切的聯系。數學是一個相互關聯的整體，不同章節的知識可以綜合起來考查學生對知識的理解程度，所以這也就加大了題目的難度，這就要求學生在牢牢掌握基礎知識的前提下，能夠自然地將不同章節的知識串聯起來，形成一個完整的知識體系，這樣學生在解決復雜問題時就不會表現出慌亂，有助于學生更好地理解題目，使學生的解題思路更加順暢。

（二）注重化歸思想的應用

化歸思想是一種重要的數學思想方法，是解決數學問題和生活實際問題的一種慣用方法，應用化歸思想要遵循熟悉化、簡單化、直觀化的原則。學生在解決問題時怎樣才能有化歸意識，想到利用化歸思想來解決問題呢？這需要教師在教學時潛移默化地給學生滲透化歸思想，讓學生慢慢去體會，慢慢去感悟。教師應該引導學生采用化歸思想去分析題目，使學生學會在不同類型的題目中使用化歸思想去解決問題，體驗解題的快樂，從而激發學生的探究興趣。轉化與化歸的方法有多種，結合實際的學習與探究發現，具體包括陌生問題熟悉化、復雜問題簡單化、一般問題特殊化、抽象問題具體化、實際問題數學化等。對不同的數學問題應采用不同的轉化與化歸方法，這樣才能夠確保問題得到有效解決。但是在實際的解題過程中，部分學生無法正確分析題目，將其轉化為自己熟悉的問題，從而解決原問題。應用化歸思想解題的思路如圖1所示。

三、化歸思想在數列問題中的應用

“數列”是高中數學的重要組成部分，也是新高考的重點內容?！皵盗小辈⒉皇枪铝⒌闹R，它與函數、不等式、統計與概率、導數等都可以聯系起來，這也變相地加大了數列題目的難度。因此在解決數列問題時也要講究方式方法。教師在教學時應用一道題來體現一類題目的解法，以加強學生數學學科核心素養的訓練。

（五）實際問題數學化

學習的目的不僅僅是為了解決數學題目，更重要的是會利用所學的數學知識解決現實生活中的問題，這樣學生不僅鞏固了數學知識，還可以在解決實際問題時體會數學的價值，從而構建起“學”與“用”的橋梁，進而提升學生的學科素養，實現知識的有效應用，這也是當今教學的一個重要內容，是提升學生學科素養的一個重要方式。

［例5］2022年北京冬奧會開幕式始于二十四節氣倒計時，它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現代生活的畫面和諧統一起來。我國古人將一年分為24個節氣，如圖2所示，相鄰兩個節氣的日晷長變化量相同，冬至日晷長最長，夏至日晷長最短，周而復始。已知冬至日晷長為13.5尺，芒種日晷長為1.5尺，則一年中秋分到大雪的日晷長的和為__________尺。

分析：本題是借助數學文化考查數列知識，提升學生的數學素養與民族自豪感。根據題意要先將實際問題轉化為數學問題，然后再利用數學知識解決問題，在解題過程中利用化歸思想，使實際問題數學化、復雜問題簡單化。根據題意可記夏至日晷長為[a1]，冬至日晷長為[a13]，芒種日晷長為[a24]。[a1]，[a2]，[a3]，[…]，[a13]成等差數列，其公差為[d]；[a13]，[a14]，[a15]，[…]，[a24]成等差數列，其公差為[-d]。根據題目所給條件可得[a1=1.5]，[d=1]，從而可得秋分到大雪的日晷長的和為[a7+a8+…+a12=3×（2a1+17d）=60]（尺）。

評析：將實際問題數學化、抽象問題具體化，有利于學生更好地理解問題、解決問題，提升學生的邏輯思維能力，培養學生的數學建模素養。通過實際問題建立數學模型，或是將數學模型應用到實際問題中，才能稱得上真正意義上的深度學習，同時也體現了化歸思想在解決數學問題中的重要性。

數列是一類特殊的函數，函數可以和其他知識結合起來考查這樣就加大了數列考題的難度。在問題解決過程中，首先要對基礎知識和基本概念有清晰的認知，注重知識與知識之間的聯系，再根據各類問題的不同特征進行分析，優化化歸思想的運用。化歸思想是一種重要的思維策略，也是十分重要的數學思想方法之一?；瘹w思想不僅在數列問題中起著重要的作用，在其他單元也有著廣泛的應用。數學思想可謂是數學的精髓，是對數學事實與理論經過概括后產生的本質認識。我們可以將數學思想方法延伸到實際生活中，促進實際問題的解決。學生在思考問題和解決問題的過程中，不僅要不斷總結規律，講究解題的方式方法，還要能夠熟練地將問題進行有效的轉化，不斷實踐總結，提升自己解決問題的能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻? ?］

［1］? 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準：2017年版2020年修訂［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］? 陳明菊.芻議轉化與化歸思想在高中數學教學中的應用原則研究［J］.考試周刊，2023（7）：58-62.

［3］? 王德朋.化歸思想在不等式證明中的應用［J］.數理化解題研究，2023（4）：78-80.

［4］? 馬海燕.基于化歸思想的高中數學課堂教學思考［J］.中學數學，2023（3）：89-90.

（責任編輯? ? 黃桂堅）