核心素養角度解讀2023年數學高考Ⅰ卷

何正文

(廣東省肇慶市百花中學,廣東 肇慶 526000)

2023年新高考卷,考生普遍反映比去年簡單,和往年高考Ⅰ卷相比,更加充分發揮基礎學科的作用,突出素養和能力考查,重視思維品質,體現思維過程,關注思維能力.今年試題重視基礎性,注重綜合性,強調應用性和突出創新性,加大了對學科素養和關鍵能力的考查力度.本文對2023年高考卷的試題進行剖析,從數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析六個方面進行解讀.

1 數學抽象

2023年高考題,在數學抽象問題方面,設置合理的思維強度和抽象程度,注重打破函數和幾何聯系,把一些背景性的問題抽象成我們熟悉的數學問題,進而進行求解.

例1 (2023年新課標Ⅰ卷多選題第11題)已知函數f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則( ).

A.f(0)=0 B.f(1)=0

C.f(x)是偶函數 D.x=0為f(x)的極小值點

解析因為f(xy)=y2f(x)+x2f(y),

對于A,令x=y=0,得f(0)=0×f(0)+0×f(0)=0,故A正確.

對于B,令x=y=1,得f(1)=1×f(1)+1×f(1),則f(1)=0,故B正確.

對于C,令x=y=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),則f(-1)=0,

令y=-1,得f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x).

又函數f(x)的定義域為R,所以f(x)為偶函數,故C正確,

對于D,不妨令f(x)=0,顯然符合題設條件,此時f(x)無極值,故D錯誤.

故選ABC.

解析記AB=c,AC=b,BC=a,

由余弦定理,得

22+b2-2×2×b×cos60°=6.

由S△ABC=S△ABD+S△ACD,得

故答案為2.

2 邏輯推理

2023年高考題在邏輯推理考查上突出對問題的總結與分析,注重打破函數和幾何聯系,要求考生根據題意推理討論,考查考生思維的條理性、嚴謹性.

A.bc>0 B.ab>0 C.b2+8ac>0 D.ac<0

因為函數f(x)既有極大值也有極小值,則函數f′(x)在(0,+∞)上有兩個變號零點,而a≠0,因此方程ax2-bx-2c=0有兩個不等的正根x1,x2.

即有b2+8ac>0,ab>0,ac<0,顯然a2bc<0,即bc<0,A錯誤,BCD正確.

評注本題考查本質是根據一元二次方程根的性質判定方程系數之間的關系,由于函數既有極大值又有極小值,所以轉化為一元二次方程的兩個正根問題,所以求出函數f(x)的導數f′(x),由已知可得f′(x)在(0,+∞)上有兩個變號零點,轉化為一元二次方程有兩個不等的正根.

A.甲是乙的充分條件但不是必要條件

B.甲是乙的必要條件但不是充分條件

C.甲是乙的充要條件

D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件

則Sn=nan+1-t·n(n+1).

有Sn-1=(n-1)an-t·n(n-1),n≥2.

兩式相減,得an=nan+1-(n-1)an-2tn.

即an+1-an=2t,對n=1也成立.

因此{an}為等差數列,則甲是乙的必要條件,

所以甲是乙的充要條件,C正確.

評注本題以等差數列為材料考查充要條件的推證,要求考生判別充分性和必要性,然后分別進行證明,解決問題的關鍵是利用等差數列的概念和特點進行推理論證.利用充分條件、必要條件的定義及等差數列的定義,再結合數列前n項和與第n項的關系推理判斷作答.

3 數學建模

數學建模作為核心素養的關鍵部分,在處理實際問題時往往可以做到事半功倍.如果能把問題進行模型化,數據就可以可視化,圖形就可以立體化[1].

解析因為a+b+c=0,所以a+b=-c.

即a2+b2+2a·b=c2.

即1+1+2a·b=2.

所以a·b=0.

圖1 例5解析圖

cos〈a-c,b-c〉=cos∠ACB=cos2∠ACD

=2cos2∠ACD-1

故選D.

故選C.

圖2 例6解析圖

4 數學運算

2023年的試題要求考生理解運算對象,掌握運算法則,探究運算思路,求得運算結果.數學運算需要學生充分理解題目,把握題目考查的內容.需要學生養成獨立思考和深入思考的習慣,發展思維的全面性與深刻性[2].

例7(2023年新課標Ⅰ卷第17題)已知在△ABC中,A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA;

(2)設AB=5,求AB邊上的高.

解析(1)因為A+B=3C,

又2sin(A-C)=sinB=sin(A+C),

則2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC.

所以sinAcosC=3cosAsinC.

所以sinA=3cosA.

由sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC

評注本題涉及正弦定理、同角三角函數基本關系式、解三角形等數學內容,考查數學運算素養.

(1)根據角的關系及兩角和差正弦公式,化簡即可得解;

(2)利用同角之間的三角函數基本關系及兩角和的正弦公式求sinB,再由正弦定理求出b,根據等面積法求解即可.

A.p=2

C.以MN為直徑的圓與l相切

D.△OMN為等腰三角形

B選項:設M(x1,y1),N(x2,y2),

3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0.

C選項:如圖3,設MN的中點為A,M,N,點A到直線l的距離分別為d1,d2,d,

D選項:由上述分析可知

所以△OMN不是等腰三角形,故D選項錯誤.

故選AC.

圖3 例8解析圖

評注本題設置直線與拋物線相交的情境,通過直線方程與拋物線方程的聯立考查計算能力.先求得焦點坐標,從而求得p,根據弦長公式求得|MN|,根據圓與等腰三角形的知識確定正確答案.

5 直觀想象

直觀想象是指通過直觀幾何和想象空間形式,利用幾何圖形分析解決問題,也就是通過把題目想象成一個實物,以幾何體為依托,發現空間線面關系.

例9(2023年新課標Ⅱ卷多選題第9題)已知圓錐的頂點為P,底面圓心為O,AB為底面直徑,∠APB=120°,PA=2,點C在底面圓周上,且二面角P-AC-O為45°,則( ).

A.該圓錐的體積為π

解析依題意,∠APB=120°,PA=2,

故選AC.

圖4 例9解析圖

評注本題以多選題的形式考查圓錐的內容,根據圓錐的體積、側面積判斷A,B選項的正確性,利用二面角的知識判斷C,D選項的正確性.4個選項設問逐次遞進,前面選項為后面選項提供條件,各選項分別考查圓錐的不同性質,互相聯系,重點突出.

例10(2023年全國甲卷理科第15題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為CD,A1B1的中點,則以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為____.

解析不妨設正方體棱長為2,EF中點為O,取AB,BB1中點G,M,側面BB1C1C的中心為N,連接FG,EG,OM,ON,MN,如圖5.

圖5 例10解析圖

同理,根據正方體的對稱性知,其余各棱和球面也只有1個交點,

所以以EF為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數為12.

6 數據分析

2023年的數據分析題在命制情境化試題過程中,在剪裁素材方面,注意控制文字數量和閱讀理解難度,使情境化試題能夠引導考生樹立理想信念,熱愛科學,達到試題要求層次與考生認知水平的契合與貼切[3].

圖6 患病者與未患病者醫學指標頻率分布直方圖

例11(2023年新課標Ⅱ卷第19題)某研究小組經過研究發現某種疾病的患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異,經過大量調查,得到如圖6的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖,利用該指標制定一個檢測標準,需要確定臨界值c,將該指標大于c的人判定為陽性,小于或等于c的人判定為陰性.此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率,記為p(c);誤診率是將未患病者判定為陽性的概率,記為q(c).假設數據在組內均勻分布,以事件發生的頻率作為相應事件發生的概率.

(1)當漏診率p(c)=0.5%時,求臨界值c和誤診率q(c);

(2)設函數f(c)=p(c)+q(c),當c∈[95,105]時,求f(c)的解析式,并求f(c)在區間[95,105]的最小值.

解析(1)依題可知,左邊圖形第一個小矩形的面積為5×0.002>0.5%,所以95

所以(c-95)×0.002=0.5%,解得c=97.5.

所以q(c)=0.01×(97.5-95)+5×0.002=0.035=3.5%.

(2)當c∈[95,100]時,

f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002=-0.008c+0.82≥0.02;

當c∈(100,105]時,

f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(105-c)×0.002=0.01c-0.98>0.02.

所以f(c)在區間[95,105]的最小值為0.02.

評注本題要求合理平衡漏診率和誤診率,制定檢測標準,試題情境既有現實意義,又體現數學學科的應用價值

(1)根據題意由第一個圖可先求出c,再根據第二個圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出;

(2)根據題意確定分段點100,即可得出f(c)的解析式,再根據分段函數的最值求法即可解出.

總體來說,2023年的題目嚴格依據高中課程標準,深化基礎性和綜合性,聚焦學科核心素養,精選試題情境,加強關鍵能力考查,促進學生提升科學素養,引導全面發展,助推高中育人方式改革,繼續突出反套路、反機械刷題特點,突出強調對基礎知識和基本概念的深入理解和靈活掌握,注重考查學科知識的綜合應用能力,重視思維培養,同時,合理控制試題難度,進一步培養學生的數學核心素養.