新題型 新視角 新方法
——以一道模考題為例

孔令春

(永靖縣移民中學(xué),甘肅 臨夏回族自治州 731600)

烏魯木齊地區(qū)2023年高三年級(jí)第二次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷,與教育部發(fā)布的高考信息“數(shù)學(xué)高考加入復(fù)雜情景,強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法”很貼近.其中第15題可以說是一道難題,更應(yīng)該說是一道考查數(shù)學(xué)思想方法的創(chuàng)新好題.此題若缺少深刻的思維,沒有思想方法做指引,必將寸步難行,甚至影響后續(xù)答題.

1 題目呈現(xiàn)

2 解法探究

視角1 利用點(diǎn)在曲線上構(gòu)建a,c的關(guān)系.

解法1 設(shè)c為橢圓的半焦距,由已知易得F1(-c,0),A(0,-b).

化簡(jiǎn),得bx+cy+bc=0.

因?yàn)镕2(c,0),

化簡(jiǎn),得by=cx-c2.

設(shè)M(x0,y0),則N(x0,-y0).

所以bx0+cy0+bc=0,

①

by0-cx0+c2=0.

②

③

整理,得5c2=a2.

④

評(píng)析本解法學(xué)生容易想到,思路通暢.但是在③和④處的計(jì)算量是相當(dāng)大的,限于篇幅,未做展示.計(jì)算能力不足的學(xué)生很可能中途放棄.作為基本功訓(xùn)練尚可,考場(chǎng)上不可取.我們必須在思想方法上下功夫,以期減少“死算”致錯(cuò)風(fēng)險(xiǎn).

視角2 通過向量共線引入?yún)?shù),建立e與參數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而求e.

所以(-c-x0,-y0)=(λc,-λb).

因?yàn)镸((-λ-1)c,λb),

所以N((-λ-1)c,-λb).

因?yàn)镹F2⊥AM,所以kNF2·kAM=-1.

評(píng)析由于利用平面向量知識(shí)引入了參數(shù),運(yùn)算量明顯減少了.本解法用到了方程思想、消元思想.將求離心率等價(jià)轉(zhuǎn)化為求參數(shù)λ.這里也有整體代換的思想,不失為一種好方法,值得借鑒.

視角3 從點(diǎn)A的坐標(biāo)入手,借助韋達(dá)定理求解.

解法3 因?yàn)锳(0,-b),F1(-c,0),F2(c,0),

(a2+c2)y2+2bc2y-b4=0.

而yA=-b,

因?yàn)镹F2⊥AM,所以kNF2·kAM=-1.

整理,得a2=5c2.

評(píng)析本解法充分利用了圓錐曲線的基本原理,巧妙地將復(fù)雜的坐標(biāo)計(jì)算轉(zhuǎn)化為直線與曲線的相交關(guān)系[1],在韋達(dá)定理的作用下快速得解.本質(zhì)是思維升級(jí),運(yùn)算減量.這種方法不僅適合小題,也適合解答題.學(xué)生的這種數(shù)學(xué)意識(shí)不強(qiáng),很多學(xué)生難以在考場(chǎng)上想到,我們需要平時(shí)的訓(xùn)練和積累.事實(shí)上,消去y也同樣可以完成解答,有興趣的同仁可以試試.

視角4 從幾何的角度出發(fā),利用對(duì)稱關(guān)系將e幾何化.

解法4 如圖1,連接MN,MF2,AF2,

圖1 構(gòu)造直角用圖

易得MN⊥PF2.

記∠PMF1=α,

由△MPF1∽△QF1F2,得∠PMF1=∠F1F2Q=α.

由△MPF1∽△F1OA,得∠PMF1=∠F1AO=α.

由對(duì)稱性得

∠MF2F1=∠F1F2Q=α,∠F2AO=∠F1AO=α.

所以∠MF2Q=∠F1AF2=2α.

所以ΔMQF2∽ΔMF2A.

所以∠MF2A=∠MQF2=90°.

設(shè)|MF2|=t,則|MF1|=2a-t.

而|AF1|=|AF2|=a,

由|MA|2=|AF2|2+|MF2|2,得

(3a-t)2=a2+t2.

評(píng)析解析幾何本質(zhì)還是幾何,因此在解答解析幾何題目時(shí),我們要高度關(guān)注題目所包含的幾何特性.解題時(shí)利用幾何關(guān)系可以省去大量的代數(shù)運(yùn)算,甚至可以口算,正如本例.本題最關(guān)鍵的幾何關(guān)系是四個(gè)等角,兩組相似,挖掘出一個(gè)直角三角形.

視角5 從幾何的角度考慮,利用正弦定理及橢圓的定義,將e幾何化.

解法5 如圖1,設(shè)∠MF2F1=α,∠F1MF2=θ,

那么∠MF1F2=π-(α+θ).

在△MF1F2中,由正弦定理,得

結(jié)合橢圓定義和幾何性質(zhì),得

所以b2=4c2.

即a2-c2=4c2.

評(píng)析本解法充分利用了橢圓的定義和正弦定理,將代數(shù)和幾何關(guān)系恰當(dāng)?shù)亟Y(jié)合在一起,是典型的數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.本解法揭示了本題的幾何含義,屬于求解離心率問題極致解法,避開了繁雜運(yùn)算.也許命題專家就是基于此進(jìn)行試題編制的.這也正是學(xué)數(shù)學(xué)的一種較高境界——厘清問題的本質(zhì).

視角6 從焦點(diǎn)弦出發(fā),結(jié)合幾何.

解法6 如圖1,設(shè)∠MF1F2=φ,

整理,得a4+5c4-6a2c2=0.

即5e4-6e2+1=0.

從解法4,5,6不難看出,利用題目中蘊(yùn)含著的幾何關(guān)系解題非常便捷[2],但往往難以發(fā)現(xiàn)幾何關(guān)系,數(shù)形結(jié)合的思想方法就難以落地.下面再舉一例.

分析本題背景看似是簡(jiǎn)單的三角形,實(shí)際很復(fù)雜.無論是三角形的邊,還是角的數(shù)量關(guān)系都不是很清晰.已知條件很難糅合在一起,能夠把這些邊角關(guān)系結(jié)合起來的恰恰是題目隱藏著的幾何關(guān)系.

如圖2,過點(diǎn)C作CE∥AB,CE與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.

圖2 構(gòu)造相似形

設(shè)AE=x,于是在△ACE中,

結(jié)合3b+c=4整理,得

故選B.

布魯納認(rèn)為:“掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法可以使得數(shù)學(xué)更加容易理解.”事實(shí)上,掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法才能通向思維遷移的陽光大道.在基本數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)下,運(yùn)用數(shù)學(xué)方法才能駕馭數(shù)學(xué)知識(shí),才能培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).這不但使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得容易,而且會(huì)使得別的學(xué)科也容易學(xué)習(xí).因此,數(shù)學(xué)教學(xué)不能就知識(shí)論知識(shí),而是要使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)最根本的東西,用數(shù)學(xué)思想和方法統(tǒng)領(lǐng)具體知識(shí)、具體解題方法,逐漸形成自身能力.