構(gòu)造常數(shù)列解決數(shù)列中累乘法求通項(xiàng)問題

2023-10-26 11:08:18劉琳琳

數(shù)理化解題研究 2023年28期

劉琳琳

(山東省泰安市寧陽縣第一中學(xué),山東泰安 271400)

2022年高考全國Ⅰ卷對數(shù)列的考查再次打破了2021年高考的考查模式,回歸到獨(dú)立單一遞推關(guān)系式,采用了分式型遞推關(guān)系式,這類試題在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)反復(fù)練過,應(yīng)該是熟題,但考前模擬訓(xùn)練相對較少,所以有部分學(xué)生感到不適.

(1)求{an}的通項(xiàng)公式;

本題的主要問題集中在求解數(shù)列通項(xiàng)公式上,第(2)問只是一個(gè)裂項(xiàng)相消求和問題,比較簡單,所以我們主要研究第(1)問.

1 試題求解

解法1(基于項(xiàng)的累乘法)因?yàn)閍1=1,

整理,得(n-1)an=(n+1)an-1.

兩邊同除以n,得

點(diǎn)評解法1是我們平時(shí)求數(shù)列通項(xiàng)常用的累乘法,根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式,目前絕大多數(shù)的教學(xué)輔導(dǎo)用書上所介紹的方法都是累加法、累乘法、待定系數(shù)法等．

解法2是通過構(gòu)造常數(shù)列把一個(gè)變化的數(shù)列轉(zhuǎn)化為常數(shù)求解,這樣往往減少很大的計(jì)算量,也不必再對a1=1進(jìn)行檢驗(yàn),達(dá)到四兩撥千斤的效果．

定義已知數(shù)列{an},若an+1=an,則稱數(shù)列{an}為常數(shù)數(shù)列.

若數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列,則an=a1,所以求常數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)公式只要求出首項(xiàng)a1即可．

2 類題研究

類型1An+B,A(n+k)+B是相鄰兩項(xiàng),即k=1.

所以(n+1)an+1=nan.

因此{(lán)nan}是常數(shù)列,所以nan=1×a1=2 .

例2 已知數(shù)列{an}中,a1=1,(2n+1)an+1=(2n-1)an,求{an}的通項(xiàng)公式.

解析由(2n+1)an+1=(2n-1)an,得{(2n-1)an}是常數(shù)列.

所以(2n-1)an=a1=1.

方法小結(jié)關(guān)注遞推關(guān)系式中的項(xiàng),把關(guān)于n的兩個(gè)式子與項(xiàng)對應(yīng)起來,構(gòu)建項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的乘積或者商的結(jié)構(gòu)形式,形成常數(shù)列,直接可以寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式[1].

類型2An+B,A(n+k)+B中的項(xiàng)數(shù)k間隔一位.

(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2).

兩邊同時(shí)乘以2n-1,得

(2n-1)(2n+1)an=(2n-1)(2n-3)an-1(n≥2).

故{(2n-1)(2n+1)an}是常數(shù)列.

故(2n-1)(2n+1)an=1×3a1=1.

兩邊同時(shí)除以2n-1,得

可得an=(2n-1)(2n+1)=4n2-1．

方法小結(jié)變形遞推關(guān)系式,兩邊同乘或同除以某個(gè)項(xiàng)數(shù),直接構(gòu)造常數(shù)列,從而求出{an}的通項(xiàng)公式,這樣操作往往比累乘法更簡單,僅僅需要關(guān)注遞推關(guān)系式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)．

以上兩種情形都是以構(gòu)建常數(shù)列為基準(zhǔn),相對于累乘法還是要簡單些,至于項(xiàng)數(shù)相隔再多的遞推關(guān)系,一般不會(huì)出現(xiàn),也就沒有研究的必要了.