用跨學科知識解決“將軍飲馬”問題

黃樹明

(重慶市江津區支坪初級中學校,重慶 402278)

《義務教育數學課程標準(2022年版)》明確提出:設立跨學科主題學習活動,加強學科間相互關聯,以問題解決為導向,整合數學與其他學科的知識和思想方法,提高分析與解決問題的能力[1].

“將軍飲馬”問題雖然主要考“兩點之間,線段最短”“垂線段最短”這兩個知識點,但由于涉及動點問題,綜合性比較強,學生研究起來普遍感覺很吃力.很多研究者將其分為兩定一動、一定兩動、兩定兩動等很多種情況,然后根據實際情況再細分為很多種模型進行研究,這樣研究起來復雜而繁瑣,也不利于知識的遷移和應用.

光程最短原理是一個物理學知識.光沿直線傳播,光程是光運動的最短路徑.利用光程最短原理,從研究光的運動方向和運動路徑著手,研究平面幾何中著名的“將軍飲馬”問題,會有意想不到的作用和效果,過程會輕松加愉快.

例1 點A和點B為直線m外的兩個定點,且點A和點B均位于直線m的同側,在直線m上找一點P,使PA+PB最小.

圖1 直線m同側兩點,動點在一條直線上

解 不妨在直線m上任選一點P,假設光從點A出發,先到達直線m上的點P,然后從點P到達點B.畫出光的運動路徑及運動方向,可以看出點A到點P的運動方向與點P到點B的運動方向并不一致,不是按比較接近于沿著一條直線的方向運動.利用軸對稱變換,將線段PB沿著直線m翻折得到線段PB1,這時可以發現點A到點P的運動方向與點P到點B1的運動方向,是基本一致并且比較接近于沿著一條直線的方向運動,同時PA+PB=PA+PB1.由于點A與點B1均是定點,利用兩點之間線段最短,很顯然,符合題意的點P應該位于線段AB1與直線m的交點處.

圖3 一個動點結合垂線段最短

例3 如圖,在邊長為2的正方形ABCD中,點E為AD的中點,將△CDE沿CE翻折得△CME,點M落在四邊形ABCE內.點N為線段CE上的動點,過點N作NP∥EM交MC于點P,則MN+NP的最小值為________．

例4 如圖4,菱形ABCD中,∠ABC=60°,AB=3,點E為菱形ABCD的對角線BD上一動點,點F、G為線段AB、AD上的動點,試求EF+EG的最小值?

圖4 三個動點結合平行線間距離

例5 如圖5,直角坐標系中,B(4,6),以點A(-2,3)為圓心以1為半徑作⊙A,M是⊙A上的動點,P為x軸上的動點,則PM+PB的最小值等于________.

圖5 動點在圓和直線上

利用光程最短原理,從研究光的運動方向和運動路徑出發,結合軸對稱變換,使“將軍飲馬”問題的研究更加直觀、形象,研究過程更簡便、快捷,也更容易被學生理解,有利于學生養成利用跨學科知識解決問題的意識,也有利于逐步形成學生的數學核心素養[3].