波利亞解題模型在高中數學解題教學中的運用分析

馮 潔

(江蘇省常州市龍城高級中學,江蘇 常州 213000)

波利亞解題模型源于波利亞《怎樣解題:數學思維的新方法》.在該書中,波利亞緊緊圍繞“解決數學問題”這一中心任務,提出了“波利亞解題模型”,倡導學生在解題時,應遵循“理清題意——制定計劃——執行計劃——檢驗與回顧”四個流程開展.其中,“理清題意”即為理解題目意思、明確題目已知條件、所求問題等,這是學生高效解題的關鍵;“制定計劃”是聯系題目已知條件、所求問題,運用所學的知識進行思考,尋找解題思路;“執行計劃”則是依據上一個階段中制定的解題思路,利用所學的知識、方法進行推理、運算,最終得出正確的結論;“檢驗與回顧”則是對整個解題過程進行回顧、反思、總結,在檢驗解題正確與否的基礎上,進行知識積累,并為學生后續的解題奠定基礎[1].鑒于波利亞思想的內涵,將其應用到高中數學解題教學中,已經成為一線教師研究的重點.

1 高中數學解題教學狀況

1.1 解題教學驅動性不足,學生學習積極性較低

新課標執行前期,高中數學解題教學大多仍以講解式教學和練習式教學為主.講解式教學由教師主導,注重對問題進行剖析和講解,學生處于被動學習狀態;練習式教學則以學生為主體,對學生自主學習能力和獨立思考能力要求較高.因此,教師教學設計不夠全面,教學模式趣味性較低,導致解題教學驅動性不足,學生學習缺乏主動性等現象在講解式教學和練習式教學中都有體現.在講解式教學中的體現為學生注意力不集中,打瞌睡、走神等現象頻發;在練習式教學中的體現為學生解題效率較低、正確度較低.例如,教師在講解“橢圓的標準方程”相關的知識點時,會在引導學生進行等式的化簡后推導出橢圓的標準方程,但因為學生對于等式的化簡存在困難,而課堂時間有限,造成學生缺少練習時間,教師也需要進行后續的講解.這造成“一步慢,步步慢”的情況,學生也無法跟上教師后續的講解進度,學習自信心也會受到打擊.

1.2 解題教學創新性不足,難以培養學生核心素養

新課程標準指出,高中數學教學需要在傳授知識的基礎上培養學生的運用能力、創新精神、核心素養等綜合能力.數學習題每年都會迎來一定的創新,雖然考查的內容大體相同,但解題思路會發生一定的改變.前期高中數學教師因為沒有針對性地培養學生的解題能力和核心素養,導致學生掌握了某一個問題的解題方法,并未掌握這一類題型的解題方法.例如,教師在講解“已知函數f(x)=ln(x+x2+1),若實數a,b滿足f(a)+f(b-1)=0,則a+b=?”這一問題的核心在于觀察f(x)在定義域內是增函數還是減函數.教師在講解時也會按部就班地完成講解,但在實際過程中缺乏引導學生深度思考的過程,導致學生只能將解題方法運用到這一個題目上,無法觸類旁通.

1.3 忽視回顧與反思環節,解題教學有效性不足

回顧反思作為解題教學的收尾階段,其具有幫助學生查漏補缺、增強學生記憶力、提升學生解題思維的重要作用.但在當前高中數學教學中,仍有部分教師忽視回顧反思教學開展,導致解題教學有效性不足.以“立體幾何初步”這一章節知識點為例,教師在講解完成之后會為學生布置相關的復習任務,如進行習題訓練等.因為教師并未了解學生的實際學情,其很難針對性地布置復習任務,因此大部分教師會選擇“題海戰術”,試圖通過量變來引起質變.并且,學生在完成復習任務之后教師的評價也極其簡單,大都只有幾個“對鉤”或者一個“閱”字,復習任務的有效性難以充分體現,學生也無法根據教師的評價確定自身的問題.久而久之,學生的復習積極性會不斷降低,學習壓力也會因為題海戰術不斷增加.

2 波利亞解題模型在高中數學解題教學中的實踐應用

為對波利亞解題模版在解題中的應用展開深入研究,筆者結合以下兩道題目進行了詳細的探究:

例1 已知正項等比數列{an}的前n項和為Sn,a1=2,2S2=a2+a3求:

(1)等比數列{an}的通項公式?

基于波利亞解題模型,在解答這一問題時,可從以下四個方面進行:

第一,理清題意.引導學生自己讀題、審題,理解題目的含義,明確題目中的已知條件、未知內容、所求目標等.在本題中學生經過審題,理清了題目中已知條件、所求目標.其中,已知條件:數列{an}的首項、第二項和第三項的和、{an}是正項等比數列;所求目標:數列{an}、{bn}的通項公式,以及{bn}的前n項和?

第二,制定計劃.本階段是形成解題思路的核心,主要是聚焦所求的問題,圍繞已知量和未知量之間的關系進行探究,并在此基礎上形成解題思路.在本題目中,先將題目中已知條件和所求問題聯系起來,并由“等比數列的通項公式、數列{bn}的前n項和”展開聯想.在此基礎上通過討論、分析,逐漸形成本題目的解題思路:針對(1)來說,需要借助等比數列的性質,前n項和求和公式,將{an}的首項和公比q求出來;針對(2)來說,則需要借助數列{an}的通項公式,將{bn}的通項公式求出來.接著再利用錯位相減的方法,將{bn}前n項和求出來.

第三,執行計劃.主要是按照上述設計的解題思路進行解答.在本題目中根據上述分析所形成的解題思路,按照如下步驟執行解題:

(1)設數列{an}公比為q(q>0),

因為2S2=a2+a3,所以2(a1+a2)=a1q+a2q,q=2

所以an=2·2n-1=2n

由①-②得出:

第四,檢驗與回顧.這一環節主要是解題完成之后對其進行檢驗,看其是否正確.同時,在這一階段中,還應及時進行反思和積累,為學生后續解題奠定基礎.在本題目解答完畢后,就先引導學生開展檢驗,之后圍繞整個解題過程進行反思和總結.對此,有的學生表示本題目中主要圍繞等比數列的性質、通項公式、錯位相減法進行了考查;還有的學生在總結中提出了解答第一問數列{an}的首項和公比q是關鍵;也有的學生在總結中提出了本題的難點在于第二問,關鍵是運算[2].如此,學生通過反思與總結,不僅掌握了這一類型數學解題的解答技巧,也學會了知識的遷移和應用,真正提升了學生的舉一反三能力.

3 高中數學波利亞解題教學啟示

波利亞模型是一種重要的、系統化的解題方式,將其應用到數學解題中,可促使學生在“理清題意——制定計劃——執行計劃——檢驗與回顧”的引導下,深入挖掘題目中已知條件和所求問題,并引導學生運用所學的知識尋求已知條件和未知條件的內在聯系,最終將陌生的數學題目轉化成為學生所熟悉的數學解題類型,以便于學生形成明確、清晰的解題思路.鑒于波利亞模型在數學解題中的應用價值,高中數學教師還應靈活開展課堂教學,引導學生在日常學習中逐漸掌握這一解題技巧和能力.

首先,引導學生靈活應用波利亞“怎樣解題”表.波利亞模型為學生提供了一個常規的解題思路,無論是簡單的數學題目,還是復雜的數學題目,都可以按照這一思路展開.因此,為了引導學生真正掌握這一解題技巧,就應結合具體的題目,引領學生分析題目、確定目標、研究解題思路、解題實踐等.如此,經過一段時間的訓練之后,學生就會逐漸形成波利亞解題思維.

其次,深層次挖掘波利亞解題思想觀,培養學生的核心素養.根據波利亞解題的具體流程和內涵,對學生的審題能力、基礎知識體系、數學思想、數學運算等都提出了更高的要求.鑒于此,高中數學教師在日常教學中,還應立足于波利亞解題的思想觀,聚焦學生的核心素養設計課堂教學方案,全面加強學生基礎知識、數學審題能力、數學抽象素養、常見數學思想教學,借助針對性的訓練提升學生的數學綜合素養.

最后,重視檢驗與總結.波利亞解題模型中的四個步驟組成了一個系統化的解題體系.在實際應用中,部分教師常常忽視回顧和檢驗.鑒于此,在日常解題教學時,應給予足夠的重視,引導學生完成解題之后及時進行反思,使學生在反思、總結中,領悟數學解題中蘊含的數學思想,內化數學知識,并提升自身的數學解題能力[3].

綜上所述,波利亞模型作為一種有效的解題工具,將其應用到數學解題中,不僅提升了學生的數學解題效率,也幫助學生逐漸形成了良好的解題習慣,真正提升了高中生的數學解題能力.鑒于此,高中數學教師在日常解題教學中,應基于針對性的練習題目,對波利亞解題模型進行細化,使學生在針對性的訓練中,逐漸掌握這一解題技巧.