高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的解題技巧
——以三角函數(shù)的圖形與性質(zhì)為例

羅培洲

(福建省龍巖市連城縣朋口中學(xué),福建 龍巖 366211)

高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中,三角函數(shù)占據(jù)著重要地位與作用,再加上三角函數(shù)有著一定的概念性與抽象性特征,其學(xué)習(xí)難度相對較大.這就使學(xué)生在對三角函數(shù)進(jìn)行解題時(shí),容易出現(xiàn)錯(cuò)誤,導(dǎo)致學(xué)生對于三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)喪失自信心與興趣,由此可知,學(xué)習(xí)、掌握與三角函數(shù)題有關(guān)的解題技巧就極為重要.三角函數(shù)的前提與基礎(chǔ)是幾何當(dāng)中的單位圓與相似性,而研究方法是代數(shù)的圖形與變形分析,因此,在對三角函數(shù)的試題進(jìn)行解答時(shí),需注重代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)的有效聯(lián)合,準(zhǔn)確把握其解題技巧,從而使學(xué)生的解題效率與準(zhǔn)確率得到有效提高.

1 三角函數(shù)的圖形解題技巧

1.1 明確數(shù)量關(guān)系

一般來說,以三角函數(shù)的圖形求解相關(guān)數(shù)量關(guān)系,其主要分成將數(shù)量轉(zhuǎn)變成圖形、將圖形轉(zhuǎn)變成數(shù)量的兩種思路.依據(jù)上述兩種思路,從圖形轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)字的重點(diǎn)是針對既定幾何圖形,通過對圖形進(jìn)行詳細(xì)觀察,精確找出圖形中隱藏的數(shù)量關(guān)系,從而使學(xué)生更高效地解決數(shù)學(xué)問題[1].

圖1 函數(shù)f(x)=tanx的圖象

1.2 以三角函數(shù)的圖形求取最值

求取最值是三角函數(shù)中典型的難題.大多數(shù)狀況下,三角函數(shù)的最值求取都會(huì)給出某個(gè)區(qū)域的具體函數(shù)式,按照一定的關(guān)系,求解出該區(qū)域內(nèi)三角函數(shù)的最值.而函數(shù)圖像則能直觀地展示出函數(shù)的最大值或者最小值,因此,在求解最值的時(shí)候,與函數(shù)圖象相結(jié)合,可有效簡化最值求解的難度[2].

解析在解決本題的時(shí)候,可將給出的函數(shù)轉(zhuǎn)化為二元一次函數(shù),并按照要求的區(qū)域,畫出的對應(yīng)的函數(shù)圖像,則能快速解決本題,即將題干給定的函數(shù)做出如下轉(zhuǎn)變,y=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1,并依據(jù)題干條件,畫出對應(yīng)的函數(shù)圖象,詳見圖2.

圖2 函數(shù)y=-sin2x+sinx+1的圖象

2 三角函數(shù)的性質(zhì)解題技巧

2.1 以三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解題

一般來說,三角函數(shù)當(dāng)中的余弦函數(shù)、正弦函數(shù)、正切函數(shù)等位于相應(yīng)區(qū)間內(nèi)容都具有單調(diào)性,在對高中數(shù)學(xué)題進(jìn)行處理與解答時(shí),教師可指導(dǎo)學(xué)生與三角函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合進(jìn)行解題,如三角函數(shù)式大小、三角函數(shù)的定義域和單調(diào)區(qū)間等[3].

例3若α與β都是銳角,且存有sinα

2.2 以三角函數(shù)的奇偶性進(jìn)行解題

奇偶性為三角函數(shù)的性質(zhì)之一,是相對于定義域的,函數(shù)通常可分成偶函數(shù)、奇函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù),常常可通過奇偶性進(jìn)行三角函數(shù)的值域、最值、定義域、解析式、單調(diào)區(qū)間等相關(guān)問題進(jìn)行解決[4].數(shù)學(xué)教師在指導(dǎo)學(xué)生通過三角函數(shù)具備的奇偶性進(jìn)行解題時(shí),首先,可引導(dǎo)學(xué)生明確函數(shù)定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)對稱,并畫出函數(shù)圖象;其次,按照三角函數(shù)具備的奇偶性進(jìn)行思考和分析,以求解出值域、最值、定義域以及解析式等相關(guān)問題.

2.3 以三角函數(shù)的有界性進(jìn)行解題

三角函數(shù)具備的有界性主要指若存有常數(shù)m與M,想要使函數(shù)y=f(x)且x∈D,那么則符合m≤f(x)≤M,且x∈D,則存有函數(shù)y=f(x)位于D內(nèi)有界,當(dāng)中的m為其下界,M為其上界.有界性為正弦函數(shù)和余弦函數(shù)共同具備的性質(zhì),其適合對函數(shù)的最值與值域等相關(guān)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行求解.高中數(shù)學(xué)的解題過程,教師可引導(dǎo)學(xué)生通過三角函數(shù)具備的有界性,引導(dǎo)學(xué)生與三角函數(shù)具備的單調(diào)區(qū)間、最值、定義域、值域結(jié)合,明確解題思路,優(yōu)化其解題方法.

解析本題解答時(shí),可先將三角函數(shù)中的常數(shù)實(shí)施分離,然后依據(jù)三角函數(shù)具備的有界性,及函數(shù)隱含定義域,對函數(shù)最值加以確定.

2.4 以三角函數(shù)的周期性進(jìn)行解題

三角函數(shù)具備的周期性,函數(shù)值在重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)候,自變量x的增加值就會(huì)成為函數(shù)周期,實(shí)際上講,則針對函數(shù)y=f(x),若存有不是0的常數(shù)T,促使x取其定義域內(nèi)的某個(gè)值,f(x+T)=f(x)均成立,此時(shí),就需將函數(shù)y=f(x)稱作為周期函數(shù),不是0的常數(shù)T則稱作為該函數(shù)的周期.在求解函數(shù)問題的時(shí)候,準(zhǔn)確把握其周期性,可幫助學(xué)生更簡單、直接地解決相關(guān)函數(shù)問題.

綜上所述,高中數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中,促進(jìn)學(xué)生對三角函數(shù)的具體解題思路與技巧掌握,既能確保解題的準(zhǔn)確率,又能促進(jìn)學(xué)生的解題效率提高.鑒于此,數(shù)學(xué)教師需充分認(rèn)識(shí)到三角函數(shù)相關(guān)內(nèi)容的重要性,在實(shí)現(xiàn)基礎(chǔ)知識(shí)與公式鞏固的同時(shí),掌握相關(guān)解題技巧,促進(jìn)學(xué)生解題思路的優(yōu)化,從而使學(xué)生的解題效率得到明顯提高.