高中數學中三角函數的解題技巧
——以三角函數的圖形與性質為例

羅培洲

(福建省龍巖市連城縣朋口中學,福建 龍巖 366211)

高中數學的課堂教學中,三角函數占據著重要地位與作用,再加上三角函數有著一定的概念性與抽象性特征,其學習難度相對較大.這就使學生在對三角函數進行解題時,容易出現錯誤,導致學生對于三角函數相關知識的學習喪失自信心與興趣,由此可知,學習、掌握與三角函數題有關的解題技巧就極為重要.三角函數的前提與基礎是幾何當中的單位圓與相似性,而研究方法是代數的圖形與變形分析,因此,在對三角函數的試題進行解答時,需注重代數知識與幾何知識的有效聯合,準確把握其解題技巧,從而使學生的解題效率與準確率得到有效提高.

1 三角函數的圖形解題技巧

1.1 明確數量關系

一般來說,以三角函數的圖形求解相關數量關系,其主要分成將數量轉變成圖形、將圖形轉變成數量的兩種思路.依據上述兩種思路,從圖形轉變為數字的重點是針對既定幾何圖形,通過對圖形進行詳細觀察,精確找出圖形中隱藏的數量關系,從而使學生更高效地解決數學問題[1].

圖1 函數f(x)=tanx的圖象

1.2 以三角函數的圖形求取最值

求取最值是三角函數中典型的難題.大多數狀況下,三角函數的最值求取都會給出某個區域的具體函數式,按照一定的關系,求解出該區域內三角函數的最值.而函數圖像則能直觀地展示出函數的最大值或者最小值,因此,在求解最值的時候,與函數圖象相結合,可有效簡化最值求解的難度[2].

解析在解決本題的時候,可將給出的函數轉化為二元一次函數,并按照要求的區域,畫出的對應的函數圖像,則能快速解決本題,即將題干給定的函數做出如下轉變,y=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1,并依據題干條件,畫出對應的函數圖象,詳見圖2.

圖2 函數y=-sin2x+sinx+1的圖象

2 三角函數的性質解題技巧

2.1 以三角函數的單調性進行解題

一般來說,三角函數當中的余弦函數、正弦函數、正切函數等位于相應區間內容都具有單調性,在對高中數學題進行處理與解答時,教師可指導學生與三角函數的單調性結合進行解題,如三角函數式大小、三角函數的定義域和單調區間等[3].

例3若α與β都是銳角,且存有sinα

2.2 以三角函數的奇偶性進行解題

奇偶性為三角函數的性質之一,是相對于定義域的,函數通常可分成偶函數、奇函數、既奇又偶函數、非奇非偶函數,常常可通過奇偶性進行三角函數的值域、最值、定義域、解析式、單調區間等相關問題進行解決[4].數學教師在指導學生通過三角函數具備的奇偶性進行解題時,首先,可引導學生明確函數定義域是不是關于原點對稱,并畫出函數圖象;其次,按照三角函數具備的奇偶性進行思考和分析,以求解出值域、最值、定義域以及解析式等相關問題.

2.3 以三角函數的有界性進行解題

三角函數具備的有界性主要指若存有常數m與M,想要使函數y=f(x)且x∈D,那么則符合m≤f(x)≤M,且x∈D,則存有函數y=f(x)位于D內有界,當中的m為其下界,M為其上界.有界性為正弦函數和余弦函數共同具備的性質,其適合對函數的最值與值域等相關數學問題進行求解.高中數學的解題過程,教師可引導學生通過三角函數具備的有界性,引導學生與三角函數具備的單調區間、最值、定義域、值域結合,明確解題思路,優化其解題方法.

解析本題解答時,可先將三角函數中的常數實施分離,然后依據三角函數具備的有界性,及函數隱含定義域,對函數最值加以確定.

2.4 以三角函數的周期性進行解題

三角函數具備的周期性,函數值在重復出現的時候,自變量x的增加值就會成為函數周期,實際上講,則針對函數y=f(x),若存有不是0的常數T,促使x取其定義域內的某個值,f(x+T)=f(x)均成立,此時,就需將函數y=f(x)稱作為周期函數,不是0的常數T則稱作為該函數的周期.在求解函數問題的時候,準確把握其周期性,可幫助學生更簡單、直接地解決相關函數問題.

綜上所述,高中數學的課堂教學中,促進學生對三角函數的具體解題思路與技巧掌握,既能確保解題的準確率,又能促進學生的解題效率提高.鑒于此,數學教師需充分認識到三角函數相關內容的重要性,在實現基礎知識與公式鞏固的同時,掌握相關解題技巧,促進學生解題思路的優化,從而使學生的解題效率得到明顯提高.