“函數的概念與性質”題型探析

■周 樹

函數的概念與性質是每年高考的一個常考知識點。下面就高考中常見的幾類題型進行舉例剖析。

題型一:求函數的定義域

題型二:函數單調性的證明

題型三:求函數的單調區間

題型四:函數的奇偶性的應用

例4 已知f(x)是定義在R 上的奇函數,且當x≤0 時,f(x)=3x2-2x+m,則f(x)在[1,2]上的最大值為____。

思路分析:根據f(0)=0求m的值,由x≤0,結合f(x)是奇函數可求當x>0時的解析式,判斷f(x)在[1,2]上的單調性即可求其最大值。或者,求出當x≤0時,f(x)的最小值,根據奇函數的性質,求出f(x)在[1,2]上的最大值。

解:(方法1)因為f(x)是定義在R 上的奇函數,所以f(0)=0。當x≤0時,f(x)=3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以當x≤0時,f(x)=3x2-2x。

設x>0,則-x<0,所以f(-x)=3x2+2x,所以f(x)=-f(-x)=-3x2-2x,即當x>0 時,f(x)=-3x2-2x,所以f(x)在[1,2]上單調遞減,所以f(x)在[1,2]上的最大值為f(1)=-5。

(方法2)因為f(x)是定義在R 上的奇函數,所以f(0)=0。當x≤0 時,f(x)=3x2-2x+m,所以f(0)=0=m,所以當x≤0時,f(x)=3x2-2x。根據奇函數的性質,f(x)在[1,2]上有最大值,那么f(x)在[-2,-1]上有最小值。因為函數f(x)=3x2-2x在[-2,-1]上遞減,所以當x∈[-2,-1]時,f(x)min=f(-1)=5,所以f(x)在[1,2]上的最大值為-5。