性質巧綜合，函數妙應用

■武春苗

函數的單調性、奇偶性、周期性和對稱性是函數的四大基本性質。函數性質的應用問題,在歷年的高考中都占有非常重要的地位。函數性質之間關系密切,涉及兩個及兩個以上函數性質之間的綜合應用問題,其難度大,解題技巧性強,且具有一定的抽象性,因此應引起同學們的高度重視。

一、函數的單調性與奇偶性的綜合

函數的單調性與奇偶性的應用問題,要注意函數單調性和奇偶性的定義,以及奇偶函數的圖像的對稱性。

二、函數的奇偶性與周期性的綜合

例2 已知函數f(x)的定義域為R,f(x-1)為奇函數,f(x+1)為偶函數,當x∈[1,3]時,f(x)=kx+m,若f(0)-f(3)=-1,則f(2023)=( )。

A.-1 B.1

C.-2 D.0

函數的周期性與奇偶性的應用問題,可利用函數的奇偶性與周期性,將所求函數值的自變量轉化到已知函數的定義域內進行分析與處理。

三、函數的奇偶性與對稱性的綜合

例3 (多選題)已知函數f(x)的定義域為R,f(x+2)為奇函數,f(2x+1)為偶函數,則( )。

A.f(x)的圖像關于直線x=1對稱

B.f(x)的圖像關于點(1,0)對稱

C.f(x)的圖像關于直線x=2對稱

D.f(x)的圖像關于點(2,0)對稱

由函數f(x+2)為奇函數,可知函數f(x)的圖像關于點(2,0)對稱,B錯誤、D 正確。由函數f(2x+1)為偶函數,可得f(-2x+1)=f(2x+1),令2x=t,則f(-t+1)=f(t+1),所以函數f(x)的圖像關于直線x=1對稱,A 正確,C錯誤。應選AD。

函數的奇偶性與對稱性的應用問題,可結合奇偶性的定義,構建相應的函數關系式求解。這里的對稱性包括點的對稱和直線的對稱。

四、函數的周期性與對稱性的綜合

例4 已知函數f(x)的定義域為R,對任意實數x都有f(x+4)=-f(x)+2,若函數y=f(x-1)的圖像關于直線x=1 對稱,且f(5)=2,則f(2023)=____。

對任意實數x都有f(x+4)=-f(x)+2,則f(x)=-f(x+4)+2。所以f(x)=-f(x+4)+2=-[-f(x+8)+2]+2=f(x+8),所以函數f(x)是以8為周期的周期函數。

因為函數y=f(x-1)的圖像關于直線x=1對稱,所以函數y=f(x)的圖像關于y軸對稱,所以f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數。

因為f(5)=2,所以f(2023)=f(253×8-1)=f(-1)=f(1)=-f(5)+2=-2+2=0。

函數的周期性與對稱性的應用問題,要注意對稱性與周期性之間的關系與轉化,要注意函數圖像的周期是兩條相鄰對稱軸(或相鄰對稱中心)之間距離的2 倍,是對稱中心與相鄰對稱軸之間距離的4倍。

五、函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性的綜合

例5 (多選題)設函數f(x)是定義在R上的偶函數,且對任意的x∈R 恒有f(x+1)=f(x-1)成立,已知當x∈[0,1]時,f(x)=2x,則( )。

A.2是函數f(x)的一個周期

B.函數f(x)在區間(1,2)上單調遞減,在區間(2,3)上單調遞增

C.函數f(x)的最大值是2,最小值是1

D.函數f(x)的圖像關于直線x=1 對稱

在f(x+1)=f(x-1)中,令x-1=t,則f(t+2)=f(t),所以2是函數f(x)的一個周期,A 正確。當x∈[0,1]時,函數f(x)=2x單調遞增,根據函數的奇偶性知f(x)在[-1,0]上單調遞減,結合函數的周期性知,函數f(x)在區間(1,2)上單調遞減,在區間(2,3)上單調遞增,B正確。結合選項B可知,函數f(x)在區間[0,2]上的最大值f(x)max=f(1)=2,最小值f(x)min=f(0)=f(2)=0,且函數f(x)是周期為2 的周期函數,C 錯誤。由函數f(x)為偶函數,可得f(-x)=f(x),由函數f(x)的周期T=2,可得f(x)=f(x+2),所以f(-x)=f(x+2),即函數f(x)的圖像關于直線x=1 對稱,D 正確。應選ABD。

函數的奇偶性、對稱性、周期性與單調性的綜合應用問題,是高考的常考點,解題時,要借助函數的奇偶性、對稱性和周期性,并結合已知條件來確定函數在相關區間上的單調性,即實現不同區間的轉化,再利用函數的單調性及其相關性質進行求解。