“痛點(diǎn)”拓展
———復(fù)合函數(shù)的定義域問題

■徐 勇

“痛點(diǎn)”是當(dāng)下比較熱的互聯(lián)網(wǎng)術(shù)語,一般指市場不能充分滿足的,而客戶迫切需要滿足的需求。在數(shù)學(xué)解題過程中,我們也會經(jīng)常碰到類似的“痛點(diǎn)”,明明覺得思路清晰,解答正確,而最終還是出現(xiàn)偏差。下面就復(fù)合函數(shù)的定義域這一“痛點(diǎn)”加以剖析。

一、表層“痛點(diǎn)”——復(fù)合函數(shù)的定義域問題

分析:根據(jù)自變量x的取值范圍確定x2-1的取值范圍,即為函數(shù)y=f(x)的定義域。

評析:運(yùn)算類的復(fù)合型函數(shù)的定義域,涉及加、減、乘、除等綜合運(yùn)算的應(yīng)用,可先確定對應(yīng)函數(shù)的定義域,再求相應(yīng)的交集。

二、中層“痛點(diǎn)”——復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)問題

復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)包括復(fù)合函數(shù)的值域,復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等,其前提條件是離不開復(fù)合函數(shù)的定義域,這是求解過程中的“痛點(diǎn)”所在,要引起同學(xué)們的重視。

1.復(fù)合函數(shù)的值域問題

評析:按照“由內(nèi)到外”的順序來研究復(fù)合函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)值域A與外層函數(shù)定義域B之間的關(guān)系,要保證內(nèi)層函數(shù)值域A是外層函數(shù)定義域B的子集,再結(jié)合條件加以分析與處理。

2.復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題

評析:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性遵循“同增異減”的法則,即內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性為增函數(shù),內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相反時(shí)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性為減函數(shù)。

三、內(nèi)層“痛點(diǎn)”——復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用問題

復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用問題,離不開復(fù)合函數(shù)的定義域。解答這類問題,可利用函數(shù)的基本性質(zhì)、定義域與值域,結(jié)合函數(shù)的圖像進(jìn)行分析與處理。

1.復(fù)合函數(shù)的最值問題

評析:求復(fù)合函數(shù)的最值,必須在優(yōu)先考慮定義域的前提下,進(jìn)行分析與求解。

2.復(fù)合函數(shù)的參數(shù)問題

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-4,4]。

評析:求復(fù)合函數(shù)的綜合應(yīng)用問題,為避免因忽略內(nèi)層函數(shù)或外層函數(shù)的定義域而造成的“痛點(diǎn)”,可以從復(fù)合函數(shù)自身的結(jié)構(gòu)出發(fā),采取“由內(nèi)到外”或“由外到內(nèi)”的方法,逐層分析復(fù)合函數(shù)的相關(guān)定義域。