基于混合本征模匹配的光刻掩膜分析方法研究

劉 佳, 蘇 珉, 徐群玉

(1. 北京航空航天大學前沿科學技術創新研究院, 北京 100191; 2. 廣西師范大學電子與信息工程學院,廣西 桂林 541004;3. 中國民航科學技術研究院民航法規與標準化研究所, 北京 100028)

0 引 言

波導以及光波導器件的電磁特性分析仿真算法可擴展應用于計算光刻問題,為摩爾定律的進一步延續提供支持[1-3]。模式匹配是解決波導結構問題的常用方法[4-5],該方法早期采用縱向電磁場波動方程模型,目前主要采用橫向電磁場波動方程進行模式匹配建模,較好地克服了傳統波導分析方法中未知量過大的問題[6-7]。隨著數值模式匹配以及計算性能的快速發展,基于有限元或者有限差分方法的數值模式匹配技術已經具備分析高復雜度波導結構的能力[8-10]。研究表明,模式匹配方法可應用于特定周期結構的電磁特征分析[11-12],在周期較大的情況下亦可用于非周期光刻掩膜結構的分析。

模式匹配方法的基本原理是采用本征模展開的形式對波導不連續處兩端的橫向電磁場進行匹配。因此,模式匹配方法的核心在于求解波導本征模及其展開系數。傳統模式匹配通常采用復雜度為O(N3)的譜分解方法計算本征模[13],在求解電大尺寸高復雜度結構的本征模時計算效率瓶頸較為突出。為解決上述問題,研究人員提出了一種基于Lanczos方法的隱式模式匹配方法[14-15]。該方法通過重組橫向電磁場波動方程,直接匹配波導不連續處的橫向電磁場,并采用Lanczos算法求解波導結合處的橫向電磁場。該方法不需要直接求解波導的本征模,且整體計算復雜度為O(N1.5)[16]。然而,該方法的效率優勢是以計算精度的損耗作為代價的。作為隱式模式匹配的核心,Lanczos算法在迭代過程中沒有采用嚴格正交策略,基向量的正交性隨著迭代步數增加而逐漸缺失,影響了本征模的計算精度。此外,傳統隱式模式匹配方法還存在分析多層結構時未知量過大,本征模傳播特性不清晰等問題。這些問題使其并不直接適用于計算光刻問題。

本文以隱式模式匹配方法為基礎,提出一種基于Krylov子空間理論[17]的混合本征模重構及顯式模式匹配算法,在提升本征模精度的同時將計算復雜度控制在O(N1.5)。采用波導和周期結構對混合本征模的精度進行了驗證。結合高頻結構仿真器(high frequency structure simulator, HFSS) 軟件以及嚴格耦合波分析(rigorous coupled wave analysis, RCWA)算法[18-20]的計算結果,對模式匹配算法的精度和效率進行了驗證。通過對高復雜度光刻掩膜部件進行仿真分析,進一步證明算法在解決復雜計算光刻問題中的應用價值和效率優勢。

1 隱式模式匹配及混合本征模重構

1.1 隱式模式匹配技術

基于有限差分數值建模方法,橫向電磁場波動方程[21]可描述為

(1)

(2)

式中:符號～和^分別表示前向和后向差分計算。式(1)和式(2)可用緊湊型算子進行描述:

(3)

(4)

與常見迭代算法類似,初始矢量v0是任意定義的。新的基函數定義為

(5)

假設基函數之間滿足正交性,可以推導出:

(6)

式(4)的迭代過程可轉換為

Le·vj=βj-1vj-1+αjvj+βjvj+1

(7)

上述迭代過程可采用矩陣形式進行描述:

(8)

式中:βk[0,…,0,vk+1]表示誤差項;矩陣Vk中的每一列對應一個基函數v。式(8)表明矩陣Le可采用一個低維空間Vk的線性展開進行描述,展開系數則為式中三對角矩陣中的元素。采用矩陣T描述上述三對角矩陣,則矩陣Le可以近似描述為

Le·V=V·T

(9)

矩陣T的維度為M,M與N的關系通常為M～cN0.5,其中c為常數。這是隱式模式匹配計算復雜度保持在O(N1.5)的根本原因[25]。矩陣V中的每一列向量對應Lanczos算法生成的基函數向量。基于泰勒展開公式,式(9)可進一步演化為

f(Le)·V=V·f(T)

(10)

式中:f(Le)表示矩陣Le的函數。若需要計算矩陣函數與向量的乘積f(Le)·v,則可以選取向量v作為Lanczos算法的初始向量迭代生成基函數矩陣V以及三對角矩陣T,將問題轉化為

f(Le)·v=f(Le)·V·e1=V·f(T)·e1

(11)

式中:向量e1用于從矩陣中提取出第一列向量。矩陣T可采用譜分解算法進一步分解為

T=Q·Λ·Q-1

(12)

式中:矩陣Λ是本征值對角矩陣。矩陣Q的列向量對應Λ的本征向量。將式(12)代入式(11)可得:

f(Le)·v1=V·Q·f(Λ)·Q-1·e1

(13)

式(13)將復雜的算子矩陣函數轉化為簡單的對角矩陣函數,降低了計算復雜度。

1.2 混合本征模重構方法

定義矩陣Q中的第i列為基函數向量qi,V·qi可視作矩陣Le對應于特征值λi的本征模。然而,Lanczos算法在基函數的迭代生成過程中沒有采用嚴格的正交策略,基函數之間的正交性隨著迭代次數逐漸降低。因此,對需要高階本征模的復雜結構,采用V·qi作為本征模近似是不合理的。

針對上述問題,本文采用Arnoldi[26-27]方法對Lanczos正交性缺失導致的模式匹配誤差發散問題進行了修正。Arnoldi方法同樣源自于Krylov子空間理論,但是在子空間描述及基向量生成過程中采用了不同的數值策略。在Arnoldi方法中,基函數生成采用如下迭代策略:

(14)

式中:采用符號u表示基函數,用于與Lanczos算法基函數v進行區分。與式(4)進行對比,Arnoldi和Lanczos算法的顯著區別在于右手項的第2項。Arnoldi方法采用的是改進Gram-Schmidt正交策略,正交化過程中考慮了之前所有基函數。Lanczos算法僅考慮相鄰兩個基函數進行正交化,這種非嚴格的正交策略是Lanczos算法基函數正交性隨著迭代步數增加而逐漸缺失的根本原因。Arnoldi算法的基函數同樣根據式(5)進行定義,式(6)中的屬性也適用。根據式(14),定義系數:

(15)

根據基函數之間的嚴格正交性,可得:

(16)

由于系數hij的特殊性,展開矩陣不是Lanczos算法的三對角矩陣,而是上Hessnberg矩陣的形式[28]。該展開關系可用下式進行描述:

(17)

混合本征模重構方法利用矩陣U中基函數的嚴格正交特性,保留了Lanczos的三對角矩陣T作為Le的特征值近似描述,采用投影矩陣U替代V,將U·qi作為混合本征模。由于U和V都是Krylov子空間投影矩陣,因此混合本征模U·qi在物理概念上與Krylov子空間一致,而嚴格正交的投影矩陣U使得U·qi具備更好的正交性和數值精度。矩陣U的生成需要消耗更多的運算資源,但是在模式匹配過程中僅需計算一次,因而對計算過程的實際運算效率不會產生顯著影響。

1.3 周期邊界條件

傳統模式匹配問題通常采用理想電導體(perfect electric conductor,PEC)邊界條件,但是與計算光刻問題的實際物理條件不符。本文采用了周期邊界條件(periodic boundary condition,PBC)[29-30]對計算光刻問題進行建模,如圖1所示。橫向電磁場的周期邊界條件可描述為

圖1 周期邊界條件示意圖

(18)

式中:參數a和b為X和Y方向上的周期長度;kx和ky分別表示X和Y方向上的波數;非斜體符號j則用于表示虛數。通過設定足夠大的周期可將該邊界條件擴展至非周期結構的建模。

2 光刻掩膜建模及顯式模式匹配

光刻掩膜是光刻機的核心部件,其衍射及透射特性分析是計算光刻學中的重要問題。該部件可用波導結構結合周期邊界條件進行建模。圖2所示為無基座光刻掩膜的建模示意圖,藍色區域為光刻掩膜部件。附帶基座的光刻掩膜部件可用多節波導結合周期邊界條件進行建模。

圖2 光刻掩膜部件波導建模示意圖

本文以隱式模式匹配為基礎,提出基于混合本征模的顯式模式匹配方法求解結合處的橫向電磁場。首先將Le和Lh采用互相關矩陣進行描述:

(19)

算子A和B的具體定義見文獻[21]。圖3所示為多節波導結構中的未知電磁場定義示意圖。

根據圖3,第一個結合點處的模式匹配為

(20)

矩陣Mm,n的定義為

各校食品質量與安全專業實習基本也存在上述問題。針對食品質量與安全專業學生在實習過程中發現的問題，我們在學校和學院層面采取了一些行之有效的措施。

(21)

式中:矩陣On,m為插值矩陣,保證結合處兩端未知量的一致性。消除式(21)中的反射電場可以得到:

(22)

式(22)中的電場可用混合本征模展開:

(23)

(24)

波導的中間段可采用類似方法進行匹配:

(25)

采用混合本征模可將式(25)轉化為顯示模式匹配:

(26)

波導的最后結合處可通過匹配傳輸電場得到:

(27)

通過消除式(27)中的傳輸電場可將式(27)轉換為

(28)

采用混合本征模進行展開后可得到:

(29)

將式(24)、式(26)以及式(29)進行重組可以構建塊矩陣求解本征模展開系數。以四節波導結構為例,其對應的塊矩陣為

(30)

式(30)中塊矩陣第1行描述了第1個結合處模式匹配,子矩陣Ψ11對應式(24)的左手第1項。塊矩陣第2至第5行對應中間段的波導模式匹配。塊矩陣最后一行描述了最后一個結合處的模式匹配。式(30)中塊矩陣的維度要明顯小于隱式模式匹配的塊矩陣,求解效率更高。算法的計算復雜度維持在O(N1.5)的水平。在存儲復雜度方面,由于需要在計算過程中存儲混合本征模進行模式匹配,因而存儲復雜度要高于隱式模式匹配。

3 結果分析與討論

本節首先采用經典波導結構驗證混合本征模以及顯式模式匹配方法的精度。在此基礎上,以高復雜度光刻掩膜為仿真案例,將顯式模式匹配算法與HFSS軟件以及RCWA算法在精度和效率上進行比對,驗證本文提出方法在高復雜度計算光刻問題上的實用價值。

3.1 混合本征模及模式匹配方法精度驗證

本節選取矩形介質波導對混合本征模的精度進行驗證。該波導結構在XOY平面上縱橫比為2,中心介質區域相對介電常數為2.25,有限差分網格數量為10 000。本征模Ex11,Ex21,Ex12以及Ex22的電場強度分布如圖4所示,虛線標注了波導的中心區域與包層的邊界。圖4中本征模分布特征與文獻[6]中的解析本征模高度一致。根據文獻[6]中定義,圖4中本征模對應的歸一化頻率均為2.5,歸一化的傳播系數分別為0.83,0.74,0.46 和 0.37。圖5(a)和圖5(b)為矩形介質波導的色散曲線,縱橫比分別為2和1.5,中心區域的相對介電常數為2.25,色散曲線數值與文獻[6]中解析解的均方根誤差分別為0.007與0.01,表明混合本征模具備較高精度。

圖4 矩形介質波導本征模電場強度分布

圖5 矩形波導色散曲線

采用圖6所示的周期結構對顯式模式匹配方法進行進一步驗證,幾何參數單位為μm。中心區域相對介電常數為10,厚度為0.3 μm。圖7所示為TE和TM極化電磁波正入射情況下周期結構的反射和傳輸系數,其中TE極化定義為入射電場與圖6中的橫軸平行,TM極化定義為入射電場與縱軸平行。兩種極化模式下的計算結果與HFSS軟件以及RCWA算法的計算結果取得了較好的一致性。以HFSS計算結果為基準,可對比傳統隱式模式匹配與顯式模式匹配方法在相同迭代步數下的精度。表1所示為反射與傳輸系數的歸一化均方根誤差,可以看出迭代步數越多,計算精度越高。本文提出的顯式模式匹配方法采用混合本征模修正了正交性缺陷,因此在相同迭代步數下,具備更高的計算精度。

表1 隱式和顯式模式匹配方法均方根誤差比對

圖7 矩形周期結構反射與傳輸系數

3.2 高復雜度光刻掩膜結構仿真示例

本節通過一個高復雜度光刻掩膜部件仿真案例,對顯式模式匹配方法進行進一步驗證。該部件的幾何示意圖如圖8所示。光刻掩膜部件位于區域A,黑色區域相對介電常數為10。區域B為結構緩沖區并采用自由空間進行填充。該部件在XOY平面上呈二維周期分布特性,因此采用三節波導結構結合二維周期邊界條件進行建模。區域A的長度寬度以及厚度分別為2 245 nm、708 nm以及50 nm,有限差分網格數量為215 000。激勵源為TE極化模式下的正入射平面波。圖9所示為光刻掩膜結構傳輸電場強度分布。圖10(a)和圖10(b)分別為采用HFSS、顯式模式匹配、隱式模式匹配以及RCWA算法得到的傳輸系數以及橫向傳輸電場的相位結果,3類方法的結果與HFSS體現出較高的一致性。為進一步描述結果相似度,采用歸一化均方根誤差對傳輸系數和相位的計算精度進行量化描述。傳輸系數的誤差評估是在轉換為線性單位后進行的,對應結果如表2所示。從表2中數值可以進一步看出3類方法的計算結果與HFSS結果是較為接近的。

表2 3類計算方法與HFSS計算結果的均方根誤差比對

圖8 高復雜度光刻掩膜部件幾何結構示意圖

圖9 光刻掩膜結構傳輸電場強度分布圖

圖10 4類計算方法的光刻掩膜仿真結果

3類方法的性能差異主要體現在計算效率層面。RCWA算法基于Floquet原理,適用于分析周期結構。該方法采用傅里葉變換將模式匹配投影到傅里葉域,數學描述簡潔且對于簡單結構具備解析解。然而,RCWA算法仍采用復雜度為O(N3)的譜分解方法計算本征模。表3對比了3類方法的平均計算時間。為保證效率比對的公正性,隱式和顯式模式匹配的收斂迭代步數設定為3 700,RCWA算法在傅里葉域所需的本征模個數為3 721。RCWA算法計算時間最長,且大部分時間消耗在譜分解計算過程中。兩類模式匹配方法計算時間基本上處于同一水平。顯式模式匹配由于塊矩陣維度更低,在計算效率上略高。此外,在混合本征模重構過程中,Arnoldi投影矩陣U僅需要計算一次并存儲在內存中,無需重復生成投影矩陣,通過額外的存儲消耗提升了計算效率。表4對比了3類方法的平均內存消耗,隱式模式匹配具備明顯的存儲復雜度優勢。

表3 3類計算方法平均計算時間比對

表4 3類計算方法內存消耗比對

3.3 算法復雜度分析

4 結 論

本文以隱式模式匹配方法為基礎,提出了一種基于Krylov子空間理論的混合本征模重構及顯式模式匹配方法,修正了隱式模式匹配方法在解決計算光刻問題時存在的若干問題,結合周期邊界條件實現了對光刻掩膜部件電磁特性的分析。通過與其他計算方法在精度和效率上的比對,得出以下結論:

(1) 混合本征模重構算法可以實現對復雜結構本征模的精確計算。

(2) 基于混合本征模的顯式模式匹配解決了隱式模式匹配方法存在的若干問題,并保留了其O(N1.5)的計算復雜度優勢。

(3) 顯式模式匹配算法更適用于高復雜度光刻掩膜結構的分析,相較于RCWA算法在精度和效率上均具備優勢。