基于空間信息表征的勾股模糊集空間距離測度

王嘉麗, 江文奇, 陶希聞

(南京理工大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

1965年,Zadeh教授提出了模糊集理論,可以較好地處理模糊環(huán)境下的決策問題[1]。1986年,Atanassov教授采用包含隸屬度和非隸屬度參數(shù)的直覺模糊集刻畫模糊信息,在處理模糊性和不確定性等方面比傳統(tǒng)的模糊集更具靈活性和實(shí)用性[2-4]。作為直覺模糊型多準(zhǔn)則決策的重要環(huán)節(jié),直覺模糊集的距離測度會對多準(zhǔn)則決策信息的合成產(chǎn)生影響,逐步成為研究熱點(diǎn)。近年來,很多學(xué)者從不同視角提出了距離測度模型,如海明距離測度[5-6]、區(qū)間模糊距離測度[7-8]、基于相似度的距離測度[9-12]、基于理想解的模糊距離測度[13-14]、幾何距離測度[15-17]、熵權(quán)法交叉距離測度[18-19]等,較好地支撐了直覺模糊多準(zhǔn)則決策模型構(gòu)建。部分學(xué)者還將直覺模糊集轉(zhuǎn)化為直角模糊集三角形(隸屬度和非隸屬度)[20-21]、質(zhì)心直角模糊集三角形(隸屬度、非隸屬度和猶豫度)[22]或等腰三角形[23-24]。根據(jù)上述文獻(xiàn)可知,模糊集是由多個(gè)參數(shù)同時(shí)表示的信息集,目前的研究主要集中在二維平面進(jìn)行距離測度,二維平面的有限空間難以準(zhǔn)確表達(dá)多個(gè)參數(shù)的決策信息。若是利用空間模型來表達(dá)模糊集的決策,則可以容納更多的決策信息,從而保證決策結(jié)果的準(zhǔn)確性。

鑒于現(xiàn)有直覺模糊集中關(guān)于隸屬度、非隸屬度和猶豫度的定義及其特性(如隸屬度和非隸屬度之和小于1)可能無法表征不確定性信息的缺陷[2],Yager等提出了勾股模糊集,重新給出了隸屬度與非隸屬度之間的關(guān)系,給出了自信度和自信度方向、方向夾角等參數(shù),較好地涵蓋了評估信息和表達(dá)了不確定性信息[25-27],勾股模糊集中隸屬度與非隸屬度之和可以大于1,相對于直覺模糊集擴(kuò)大了決策信息的范圍,容納更多的決策信息[28-29]。針對勾股模糊集的距離測度,部分學(xué)者采用了不同的參數(shù)設(shè)計(jì)測度模型,如Wan等[30]考慮了隸屬度、非隸屬度和猶豫度3個(gè)參數(shù);Li等[31]考慮了隸屬度、非隸屬度、自信度和自信度方向4個(gè)參數(shù);Zeng等[32]考慮隸屬度、非隸屬度、猶豫度、自信度、自信度方向5個(gè)參數(shù);Zhou等[33]考慮隸屬度、非隸屬度、夾角角度、自信度和自信度方向5個(gè)參數(shù)等。但是以上涉及到勾股模糊集不同參數(shù)的距離測度中,仍然沒有有效考慮勾股模糊集相對于直覺模糊集擴(kuò)大的決策領(lǐng)域,不能較好地描述勾股模糊集的信息空間,也無法體現(xiàn)距離測度數(shù)值對決策結(jié)果的影響。

總體上看,勾股模糊集表征形式能較好地展現(xiàn)模糊評價(jià)信息。盡管提出了多種勾股模糊集的距離測度,但仍然局限在直覺模糊集的可行域內(nèi)求解,沒有充分考慮隸屬度與非隸屬度之和大于1的可行域范圍,存在丟失決策信息導(dǎo)致決策結(jié)果不準(zhǔn)確的情況。為此,本文在充分考慮勾股模糊集的具體特征基礎(chǔ)上,構(gòu)建包括隸屬度、非隸屬度、猶豫度、自信度4個(gè)參數(shù)的空間幾何體,進(jìn)而設(shè)計(jì)滿足勾股模糊集特有性質(zhì)和距離測度性質(zhì)的空間距離測度模型,應(yīng)用研究說明了其在可行域范圍內(nèi)可保持更大信息空間的優(yōu)勢特性。

1 勾股模糊集表征

為了描述勾股模糊集的特征,本節(jié)先給出直覺模糊集概念,進(jìn)而引出勾股模糊集,并比較兩者之間的差異。

定義 1[2]直覺模糊集。A={x,〈μA(x)〉,〈vA(x)〉|x∈X}。對任意x∈X,μA(x)+νA(x)≤1,μA(x)、vA(x)∈[0,1]。μA(x)和νA(x)為x對A的隸屬度和非隸屬度,稱πA(x)=1-μA(x)-νA(x)為其猶豫度。

假定兩個(gè)直覺模糊集A1=A(μA1,νA1),A2=A(μA2,νA2),滿足性質(zhì):A1?A2,當(dāng)且僅當(dāng)μA1≤μA2,νA1≥νA2,?A∈X;A1=A2,當(dāng)且僅當(dāng)μA1=μA2,νA1=νA2。

假定MA1和MA2分別是A1和A2的記分函數(shù),HA1和HA2分別是A1和A2的精確函數(shù)。MA1=μA1-νA1,MA2=μA2-νA2;HA1=μA1+νA1,HA2=μA2+νA2。則有:若MA1MA2,則A1>A2;若MA1=MA2,有HA1HA2時(shí),A1>A2。

圖1 勾股模糊集和直覺模糊集的空間對比

如果P1=P(μP1,νP1),P2=P(μP2,νP2),P=P(μP,νP)是論域X上的3個(gè)勾股模糊集,則有:P1∪P2=P(max{μP1,υP1},min{μP1,υP1}),P1∩P2=P(min{μP1,υP1},max{μP1,υP1})。

2 基于空間坐標(biāo)的勾股模糊集距離測度設(shè)計(jì)

2.1 現(xiàn)有勾股模糊集距離測度方法分析

假設(shè)有3個(gè)勾股模糊集p1=(μp1,νp1)、p2=(μp2,νp2)、p3=(μp3,νp3),基于μp、νp、πp、rp、dp、θp6個(gè)參數(shù)。本文列舉幾種主要的距離測度函數(shù),表示如下。

Wan等[30]使用3個(gè)參數(shù)μp、νp、πp進(jìn)行距離測度。由圖1可知,沒有考慮勾股模糊集中隸屬度和非隸屬度之和大于1的情況:

Li等[31]使用4個(gè)參數(shù)μp、νp、rp、dp進(jìn)行距離測度,沒有考慮猶豫度對距離測度的影響,當(dāng)隸屬度和非隸屬度為線性關(guān)系而猶豫度為非線性的情況下,可能出現(xiàn)d(x,y)=d(x,z)+d(y,z)的反直覺情況。

Zeng等[32]使用5個(gè)參數(shù)μp、νp、πprp、dp進(jìn)行距離測度,雖然考慮了猶豫度對距離測度的影響,但是有一些情形仍不能很好地區(qū)分。例如,考慮3個(gè)勾股模糊集p1=(0.96,0.22),p2=(0.08,0.23),p3=(0.07,0.4),有p1≥p2≥p3,可知d(p1,p2)≤d(p1,p3)。利用Zeng等[32]的距離測度方法d(p1,p2)=0.689,d(p1,p3)=0.685。有d(p1,p2)>d(p1,p3),與距離的基本性質(zhì)不符。

Zhou等[33]使用5個(gè)參數(shù)μp、νp、rp、dp、θp進(jìn)行距離測度,同樣沒有考慮猶豫度的影響,而出現(xiàn)同Li等[31]一樣違反距離基本性質(zhì)的情況。

Zeng等[32]和Zhou等[33]雖然考慮了猶豫度,添加了參數(shù)dp、θp,該參數(shù)是由μp、νp構(gòu)建,但沒有證明是否存在同一個(gè)參數(shù)多次使用的問題。且上述4種距離測度中存在沒有考慮μp+νp>1的情況。

2.2 新的勾股模糊集的距離測度設(shè)計(jì)

根據(jù)上述方法的分析,本文采用空間幾何體表征勾股模糊集和利用空間質(zhì)心構(gòu)建新的距離測度模型。其中,本文空間距離測度模型中考慮了隸屬度、非隸屬度、猶豫度、自信度4個(gè)勾股模糊集的有效參數(shù)。隸屬度、非隸屬度、猶豫度代表勾股模糊集本身的猶豫模糊特性,自信度保證了勾股模糊集擴(kuò)展的空間。隸屬度表示決策對屬性評價(jià)的支持度,非隸屬度表示對屬性評價(jià)的不支持度,而猶豫度則是對屬性評價(jià)保持中立態(tài)度,既不支持,也不反對。自信度表示的是勾股模糊集相對于直覺模糊集擴(kuò)展的信息空間,也是勾股模糊集特有的性質(zhì)。該距離測度模型中增加的猶豫度和自信度充分表達(dá)了勾股模糊集的特有性質(zhì),是勾股模糊集間距離測度的關(guān)鍵參數(shù)。有效考慮了空間信息量的變化,可以容納更多合理的參數(shù)并涉及勾股模糊集相對于直覺模糊集拓展的部分。

圖2 不考慮自信度的空間幾何體

圖3 考慮自信度的空間幾何體

定義 4設(shè)A、B為論域X={x1,x2,…,xn}上的兩個(gè)勾股模糊集,a和b分別為A和B的兩個(gè)勾股模糊集,a=(μA(xi),νA(xi)),b=(μB(xi),νB(xi)),xi∈X,1≤i≤n。基于圖3的信息表征,定義a和b幾何質(zhì)心的距離為

(1)

通過空間信息量的變化情況選擇有效參數(shù),規(guī)避了參數(shù)缺失或信息重復(fù)使用的情況,并且包含了更多的決策信息,簡化了計(jì)算過程并提高計(jì)算效率。

3 基于空間坐標(biāo)的勾股模糊集距離測度特性分析

3.1 距離測度基本性質(zhì)

通常,勾股模糊集的距離測度滿足以下性質(zhì)。

性質(zhì) 1非負(fù)性0≤d(x,y)≤1。

性質(zhì) 2對稱性d(x,y)=d(y,x)。

性質(zhì) 3三角不等式特征d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)。

本文在現(xiàn)有3種性質(zhì)的基礎(chǔ)上再增加2個(gè)特質(zhì)。

性質(zhì) 4d(x,y)=0,當(dāng)且僅當(dāng)x=y,且πx=πy=0。

性質(zhì) 5x≥y≥z,?d(x,z)≥d(x,y),d(x,z)≥d(y,z)。

證明依據(jù)勾股模糊集的性質(zhì)和式(1),非負(fù)性顯然成立。性質(zhì)1得證。

由于

即滿足對稱性,性質(zhì)2得證。

針對性質(zhì)3,對任意實(shí)數(shù)ak和bk,k=1,2,…,n,按照Cauchy不等式,可知:

d(x,z)+d(y,z)

性質(zhì)3得證。

針對性質(zhì)4,因?yàn)閐(x,y)=0?μx=μy,νx=νy,πx+πy=0?x=y且πx=πy=0,得證。

針對性質(zhì)5,根據(jù)性質(zhì)3的證明,同理可得x≥y≥z,?d(x,z)≥d(x,y),得證。

證畢

從距離測度本身看,滿足上述五條性質(zhì)即可。為了更好地進(jìn)行勾股模糊集之間的距離判斷,可以將其距離測度特性加以擴(kuò)展。由于性質(zhì)5要滿足x≥y≥z,則μx≥μy≥μz,νx≥νy≥νz,?d(x,z)≥d(x,y)。這種強(qiáng)假設(shè)關(guān)系在實(shí)際生活中很難成立,很多勾股模糊集不滿足上述假設(shè),無法直接判斷勾股模糊集的大小。

3.2 距離測度擴(kuò)展性質(zhì)

在勾股模糊集無法使用隸屬度和非隸屬度直接判斷大小時(shí),本文有效拓展記分函數(shù)、精確度函數(shù)、貼進(jìn)度函數(shù)、標(biāo)量函數(shù)、相對距離等5種判斷勾股模糊集大小的方法,進(jìn)而提出了多種勾股模糊集距離定義的拓展性質(zhì),并用來驗(yàn)證所提出的距離測度方法的有效性。

擴(kuò)展性質(zhì) 1基于記分函數(shù)和精確函數(shù)的距離判斷

若Mx≤My≤Mz有d(x,y)≤d(x,z),d(z,y)≤d(x,z);Mx=My=Mz,Hx≤Hy≤Hz,有d(x,y)≤d(x,z),d(z,y)≤d(x,z)。

證明因?yàn)镸x=My=Mz,Hx≤Hy≤Hz,由性質(zhì)1可知,x≤y≤z,所以d(x,y)≤d(x,z),d(z,y)≤d(x,z)。

證畢

擴(kuò)展性質(zhì) 2基于貼進(jìn)度函數(shù)的距離判斷

證明由貼進(jìn)度的性質(zhì)可知,若Cx≤Cy≤Cz,?x≤y≤z,則根據(jù)性質(zhì)5可知,得證。

證畢

擴(kuò)展性質(zhì) 3基于標(biāo)量函數(shù)的距離判斷

證明由標(biāo)量函數(shù)的性質(zhì)可知,若Vx≤Vy≤Vz,?x≤y≤z,則根據(jù)性質(zhì)5可知,得證。

證畢

擴(kuò)展性質(zhì) 4基于相對距離的距離判斷

證明由相對距離的性質(zhì)可知,若Rx≤Ry≤Rz,?x≤y≤z,則根據(jù)性質(zhì)5可知,得證。

證畢

4 勾股模糊集距離測度的比較分析和應(yīng)用

為了更好地表征本文提出的空間質(zhì)心距離測度的優(yōu)勢,針對上述特性進(jìn)行比較分析。鑒于采取理想化和極端化的評價(jià)值(如(1,1),(1,0))等在模糊集值使用連乘運(yùn)算的集結(jié)過程中會忽略其他偏好信息的現(xiàn)狀,故研究一般情形下的反直覺問題則更加具有普遍性。

4.1 基本特性和拓展性質(zhì)比較分析

假設(shè)表1中a,b,c分別表示3個(gè)勾股模糊集,勾股模糊集下方兩行括號中的數(shù)值分別表示d(a,b),d(a,c),d(b,c),對比文獻(xiàn)的反直覺情況用粗體表示。√表示滿足對應(yīng)的性質(zhì),×表示不滿足對應(yīng)性質(zhì)。

表1 基本性質(zhì)及擴(kuò)展性質(zhì)的比較分析

基本性質(zhì)中,現(xiàn)有文獻(xiàn)都滿足性質(zhì)1、性質(zhì)2和性質(zhì)4這3條性質(zhì),本文僅分析性質(zhì)3和性質(zhì)5。性質(zhì)3的反直覺例子中,勾股模糊集的隸屬度和非隸屬度均為線性關(guān)系,但猶豫度均為非線性關(guān)系,可能忽略了猶豫度的存在或者在集結(jié)轉(zhuǎn)換過程中造成了猶豫度的信息損失。如圖4所示,如果將其投影到二維平面中,只考慮隸屬度和非隸屬度,忽略猶豫度后則三點(diǎn)為線性關(guān)系,從而導(dǎo)致結(jié)果不合理。因此,二維平面無法容納更多的信息空間,影響決策信息的完整性。在空間中考慮猶豫度避免了因信息損失導(dǎo)致的決策失誤。

圖4 立體空間投影到二維平面的3個(gè)點(diǎn)

性質(zhì)5及拓展性質(zhì)1～拓展性質(zhì)4的反直覺例子中,分別有Ma≤Mb≤Mc,Ca≤Cb≤Cc,Va≤Vb≤Vc,Ra≤Rb≤Rc,?a≤b≤c,但在4個(gè)對比文獻(xiàn)中均有d(a,b)≥d(a,c)或d(c,b)≥d(a,c)的不合理情況出現(xiàn),導(dǎo)致無法正確區(qū)分多個(gè)點(diǎn)之間的距離。

4.2 模式識別比較分析

運(yùn)用模式識別驗(yàn)證所提方法的有效性。假設(shè)d22和d23兩種距離測量方法中權(quán)重ωi=1/3,i=(1,2,3)。通過距離判斷樣本屬于哪一模式,距離越小模式越接近。設(shè)P1,P2,P3表示論域X=[x1,x2,x3]上的3種模式A1,A2,A3。

P1={(μ11,ν11),(μ12,ν12),(μ13,ν13)}

P2={(μ21,ν21),(μ22,ν22),(μ23,ν23)}

P3={(μ31,ν31),(μ32,ν32),(μ33,ν33)}

根據(jù)距離測度將未知模式的樣本P分類到模式A1,A2,A3中

P={(μ1,ν1),(μ2,ν2),(μ3,ν3)}

兩個(gè)勾股模糊集之間的距離計(jì)算如下:

d(P,Pj)=

j=1,2,…,m;i=1,2,…,n

(2)

本文列舉了4個(gè)模式識別的例子,如表2所示,例1中除文獻(xiàn)[30]的結(jié)果以外,d(P,P1)更小,樣本P更接近P1。而文獻(xiàn)[30]的判斷結(jié)果是更接近P2,結(jié)果與一般性存在一定的差異。例2～例4中文獻(xiàn)[31]、文獻(xiàn)[32]、文獻(xiàn)[33]也有與例1相同的情況存在。根據(jù)模式識別的對比分析可知,對比文獻(xiàn)中在一定的條件下不能準(zhǔn)確地判斷樣本所屬的模式。而本文提出的距離測度方法可以有效地克服現(xiàn)有方法的不足,完善了勾股模糊集的距離測度和模式識別問題。

表2 模式識別的對比分析

4.3 應(yīng)用——醫(yī)療診斷

根據(jù)Vlachos等[37]醫(yī)療診斷問題中提出的問題進(jìn)行分類。有一組診斷結(jié)果分別是Q={Q1(病毒熱),Q2(瘧疾),Q3(傷寒),Q4(胃問題),Q5(胸部)},癥狀S={S1(溫度),S2(頭痛),S3(胃痛),S4(咳嗽),S5(胸痛)}。但Vlachos等[37]的數(shù)值是基于直覺模糊集,本文對數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整使其滿足勾股模糊集的特性。假設(shè)一名患者的所有癥狀P都可以由以下勾股模糊集表示:

P={(S1,0.5,0.6),(S2,0.6,0.1),(S3,0.2,0.8),
(S4,0.6,0.1),(S5,0.1,0.6)}

每個(gè)診斷Qi(i=1,2,3,4,5)可以被視為與所有癥狀相關(guān)的勾股模糊集,如下所示:

Q1={(S1,0.3,0.9),(S2,0.3,0.5),(S3,0.1,0.7),
(S4,0.4,0.3),(S5,0.1,0.7)}
Q2={(S1,0.8,0.5),(S2,0.2,0.6),(S3,0.0,0.9),
(S4,0.7,0.0),(S5,0.1,0.8)}
Q3={(S1,0.5,0.6),(S2,0.6,0.1),(S3,0.0,?0.9),
(S4,0.7,0.0),(S5,0.1,0.9)}
Q4={(S1,0.4,0.9),(S2,0.2,0.4),(S3,0.8,0.0),
(S4,0.2,0.7),(S5,0.2,0.7)}
Q5={(S1,0.4,0.7),(S2,0.0,0.8),(S3,0.2,0.8),
(S4,0.2,0.8),(S5,0.8,0.1)}

通過診斷的結(jié)果將病人的病情分類。與之前的模式識別類似,根據(jù)式(2)得到最小值,從而推導(dǎo)出患者P的正確診斷。根據(jù)式(1)和式(2),可以獲得以下結(jié)果:

可知d(P,Q1)的值最小,即患者的診斷結(jié)果與Q1(病毒熱)最接近。通過醫(yī)療診斷的案例可知,本文提出的勾股模糊距離測度可以對不同模式進(jìn)行有效劃分。

5 結(jié)束語

本文根據(jù)勾股模糊集本身的有效參數(shù)構(gòu)建勾股模糊集空間幾何體,考慮了勾股模糊集相對直覺模糊集擴(kuò)大的部分,構(gòu)造了一種以勾股模糊集表征的空間距離測量方法,解決了勾股模糊集中多個(gè)參數(shù)的距離測度問題。不僅證明該方法滿足距離的定義,還提出了多種拓展性質(zhì)用以判斷勾股模糊集的距離(進(jìn)一步推廣到其他形式的模糊環(huán)境中,擴(kuò)大了模糊集的應(yīng)用范圍),并應(yīng)用于處理模式識別問題。表1的對比結(jié)果表明,本方法可以有效克服對比文獻(xiàn)中距離測度的缺點(diǎn);表2的對比結(jié)果表明,在處理模式識別問題時(shí)本方法優(yōu)于對比文獻(xiàn)中所提出的方法。

本文提出的距離測度方法主要集中在模糊沖突測度方面,在未來的研究中,可以擴(kuò)展到模糊屬性之間的動態(tài)相關(guān)性,并且在復(fù)雜的模糊大數(shù)據(jù)環(huán)境中考慮群體共識。例如,利用自適應(yīng)的動態(tài)決策方法確定模糊多屬性群體評價(jià)、如何保證大數(shù)據(jù)背景下信息損失最少等,以增強(qiáng)所提出方法的靈活性和實(shí)際應(yīng)用能力。