基于ARMA模型的卷煙市場需求預測
——以川東某市“嬌子(藍)”品牌卷煙為例

唐安超

四川誠至誠煙草投資有限責任公司,四川 成都 610052

0 引言

我國是世界上最大的煙草生產國和消費國,2022年全國卷煙產量約2.42萬億支,達到世界卷煙總產量的4成以上。在整個國民經濟體系中,煙草行業有著特殊地位,2022年全行業上繳工商稅利14 413億元,占同期國家財政收入的7.08%,為國民經濟發展作出了突出的貢獻(數據來源:國家煙草專賣局2022年度工作報告)。實際上,長期以來煙草行業上繳稅利占財政收入比例均在8%左右,遠高于發達國家2%的平均水平。在云貴川等地區,煙草稅利已成為當地財政的支柱性來源,對各級地方財政收入而言,煙草行業在很長一段時期內將難以被替代。

另一方面,煙草行業又具有其特殊性,國家對煙草實行計劃管理。對卷煙工業企業而言,每年各品牌卷煙生產計劃一經確定不得隨意變更,這就要求企業比較準確地預測各品牌的市場需求。對于煙草商業企業而言,卷煙需求預測能夠幫助煙草公司及時了解消費需求,分析市場信息,制定精確的要貨計劃,提高庫存周轉率,保證貨源供給及時充足,提高訂單滿足率,降低卷煙脫銷率,最大程度上滿足消費者需求。隨著市場化的不斷深入,在市場表現方面卷煙與其他市場化程度較高的商品也具有越來越多的相似性和規律性。因此,對卷煙市場需求進行預測具有較強的可操作性和重大的現實意義。

1 研究方法

需求預測主要有定性預測和定量預測2類方法。定性預測大多依靠熟悉業務知識,具有豐富經驗和綜合分析能力的營銷人員或專家,根據已經掌握的歷史資料和當時市場動態,運用人的知識、經驗,對卷煙的未來銷量和發展趨勢作出方向和程度上的判斷,然后再通過一定的形式,綜合多人判斷,得出統一的預測結論,定性預測包括業務主管人員評判預測法、銷售人員意見綜合預測法、消費者調查預測法、德爾菲法等;定量預測法則多利用歷史數據,綜合考慮影響需求的內外因素,通過一定的計算得到預測結果,主要有基于回歸模型的預測和基于時間序列的預測這2類。

回歸法是通過研究因變量與自變量之間的定量關系,來進行變量的預測的一種統計方法,此方法在卷煙需求預測研究中較早使用,例如王運鴻 等[1]以人均卷煙消費量作為因變量,以人均消費支出指數和卷煙相對零售價格作為自變量,利用1975—1985年的數據建立多元回歸模型進行預測,結果顯示卷煙消費量主要受收入水平的影響;汪世貴 等[2]利用1953—1989年的數據,對卷煙銷售總額和居民消費支出總額,卷煙銷售總量和居民消費額指數以及人均卷煙消費量和居民消費水平指數分別建立預測模型,發現3個模型的的擬合度均在可接受范圍內,預測效果較好;湯柱國[3]基于理性預期理論建立自回歸模型對卷煙需求進行預測,發現到2015年,我國卷煙需求總量將達5 300萬箱左右,人均卷煙消費量接近10條;席昊[4]利用1952—1993年樣本數據,研究居民消費額、社會偏好程度、人口總量、工資總額對卷煙消費總量的影響,結果表明這4個指標均是決定未來卷煙市場消費量的關鍵因素,并預測未來10年間國內卷煙銷量將呈增長勢頭;Hu et al.[5]采取半對數模型對我國人均卷煙消費額進行研究,并計算出我國卷煙需求價格彈性為-0.54;Lance et al.[6]采用中國健康與營養調查的面板數據,估算出中國煙草價格需求彈性在0～0.15。

時間序列預測法是一種動態數據處理的預測方法,例如厲無畏 等[7]根據1968—1982年的實際銷售量數據,運用一階自回歸模型(AR模型)對1983—1985年的卷煙需求量進行短期預測。黃世雄[8]認為這種對數據采取平穩數列處理不妥當,因為樣本明顯表現出一種增長趨勢,應采用一階差分處理后再進行自回歸更準確。

我國煙草行業計劃性很強,且實行統一領導、垂直管理的模式,市場化程度不高,故與其他市場化的行業相比,受到外部因素的影響較少,利用多因素回歸模型預測時,定量關系不易明確,會影響預測的科學性和準確性。時間序列的自回歸方法適用于寬平穩數據,其特性是序列的統計特性不隨時間的平移而變化,即均值和方差不隨時間的平移而變化。卷煙市場需求季節性波動大且受計劃調控,其序列更多呈現非平穩特性,故使用自回歸移動平均模型(ARMA模型)更優。

ARMA模型的特點是模型中所包含的信息更加全面,所解釋的信息也更加精準,在處理平穩或非平穩的時間序列時都有較好的效果,在基于時間序列預測的研究領域運用廣泛。例如叢凌博 等[9]將ARMA模型引入到氣溫預測的研究中,通過氣溫歷史樣本數據建模,采用最佳準則函數法確定階數,利用條件期望預測和適時修正預測方法求得預測值,與真實值進行比較發現適時修正預測精確度比條件期望預測的精確度更高;牛桂草 等[10]采用ARMA模型對河北鴨梨批發市場月度價格進行短期預測,并根據正態分布3σ原則,通過設置價格的波動區間對月度價格進行預警,結果表明ARMA(2,1)模型較好地擬合了鴨梨價格的變動趨勢,預測值與實際值基本吻合。

本文將ARMA模型引入到卷煙市場需求預測中來,通過對川東某市“嬌子(藍)”品牌卷煙的市場銷量時間序列數據進行處理、建模、預測,利用真實數據進行預測比對檢驗,力求找到卷煙市場需求預測的有效方法。考慮到卷煙市場典型的季節性波動,引入Census X12季節調整法對季節性和不規則波動的影響進行處理。

2 模型建立

ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是Box-Jenkins方法的基本模型,主要用于研究時間序列,由自回歸模型(AR模型)和移動平均模型(MA模型)組合構成[11]。

2.1 自回歸模型

p階自回歸模型記作AR(p),滿足以下方程:

ut=c+φ1ut-1+φ2ut-2+…+φput-p+εt;t=1,2,…,T

(1)

式中:參數c為常數,φ1、φ2,…,φp是自回歸模型系數,p為自回歸階數,εt為均值為0,方差為σ2白噪聲序列。

2.2 移動平均模型

q階移動平均模型記作MA(q),滿足以下方程:

ut=μ+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q;t=1,2,…,T

(2)

式中:參數μ為常數,參數θ1、θ2、…,θq為移動平均模型的系數,q為階數,εt為式(1)回歸的殘差,服從均值為0,方差為σ2白噪聲分布。

2.3 ARMA(p,q)模型

滿足如下方程的模型即為ARMA(p,q)模型。

ut=c+φ1ut-1+φ2ut-2+…+φput-p+εt+θ1εt-1+θ2εt-2+…+θqεt-q

(3)

式中:t=1,2,…,T,ARMA(p,q)由式(1)和式(2)組合而成,也稱作混合模型。ARMA模型是針對平穩時間序列進行分析,對于非平穩序列則可將其轉化為平穩序列進行分析。

3 數據獲取及初步分析

為了構建ARMA模型對卷煙市場需求進行預測,選取川東某市2019年1月—2022年12月“嬌子(藍)”品牌卷煙月度銷量數據進行分析,并利用2023年1—3月的數據進行預測結果檢驗。2019年1月—2023年3月銷量有關數據序列趨勢如圖1所示。

圖1 川東某市“嬌子(藍)”銷量趨勢圖

由圖1可以看出,該市“嬌子(藍)”品牌卷煙銷量(Xt)除2019年下半年有所下滑外,從長期來看呈現總體上升的趨勢。此外,中國傳統生活方式造成消費市場具有顯著的季節性特征,卷煙消費尤為明顯,從圖1也可以看出,春節期間(一般為每年的1—2月)走親訪友、休閑娛樂等活動增加,卷煙消費較其他月份呈現出爆炸性增長,卷煙嚴格按計劃銷售,在接近年底銷售計劃基本完成的情況下,12月銷量又會有所回落。這一具有典型季節性的特征,給需求預測帶來了不確定性,因此,在建立預測模型前必須剔除季節因素的影響。

利用Census X12季節調整法對季節性和不規則波動的影響進行處理。Census X12季節調整法包括加法、乘法、偽加法和對數加法這4種基本方法,采用后3種調整法時要求時間序列中不允許出現0和負數,故本文中采用加法調整模型:

Xt=XTCt+XSt+XIt

(4)

式中:Xt為所研究的時間序列,利用加法調整法將其分解為3個部分。XTCt表示趨勢循環要素,即序列長期發展趨勢;XSt為季節要素,表示季節對序列的影響;XIt為不規則要素,反映了除季節以外的其他因素對序列的隨機影響總和。在加法模型中,季節要素和趨勢循環要素的影響用絕對量來表示,與所要分析的序列的計量單位相同,分析起來比較直觀。利用Census X12調整方法對銷量時間序列進行分解,結果如圖2所示。

圖2 川東某市“嬌子(藍)”卷煙銷量的季節調整結構分解

利用Census X12季節調整,將該市“嬌子(藍)”月銷量序列分解為趨勢循環要素序列、季節要素序列和不規則序列。從圖2(a)可以看出,在樣本時間區間內,該市“嬌子(藍)”銷量總體呈現持續增長的趨勢:其中,在2020年銷量增長較快,從2021年下半年開始呈現出一定的波動性,并且邊際增量有減少的趨勢;從圖2(b)可以看出樣本區間內,連續5年均存在明顯的季節性波動,在每年的1月出現波峰,而在12月落入波谷,季節性明顯,這與圖1不謀而和。

4 建立預測模型

從上面的分析可知,“嬌子(藍)”品牌卷煙銷量的序列呈現明顯的季節性,當利用時間序列進行回歸建模并進行預測時會導致回歸系數不可信、預測不夠準確等問題。因此,本文分3步進行預測:第1步對Census X12季節調整法分解出的趨勢循環要素序列建立ARMA模型并進行預測;第2步利用季節要素序列對預測值進行修正;第3步將修正后的結果作為最終預測數并與實際值進行比較,以判斷預測的準確性。

4.1 序列平穩性檢驗

時間序列往往具有不平穩性,即序列均值、方差和協方差會隨時間的變化而變化,其在各個時點是的隨機性不規律的,難以通過序列已知的信息去掌握整體的隨機性。在利用普通最小二乘法對非平穩的時間序列進行分析時會出現“偽回歸”現象,使得任何回歸結果都不具有可信性。因此,在使用ARMA模型進行預測前,首先要對序列的平穩性進行檢驗,對不平穩序列進行平穩性處理。本文利用ADF(augmented dickey-fuller)檢驗和PP(Phillips &Perron)檢驗法,對該市“嬌子(藍)”品牌卷煙銷量趨勢循環要素序列XTCt進行平穩性檢驗,結果如表1所示。

表1 銷量趨勢循環要素序列平穩性檢驗結果

從表1可看出,該市“嬌子(藍)”銷量趨勢循環要素序列水平值的ADF檢驗值和PP檢驗值的絕對值均小于10%置信水平的臨界值的絕對值,不能拒絕存在單位根的原假設,說明序列不平穩;而取增長率(一階對數差分,用ΔlnXTCt表示),2種檢驗統計值的絕對值均大于1%置信水平臨界值的絕對值,拒絕原假設,不存在單位根。故銷量趨勢循環要素增長率序列ΔlnXTCt平穩,可以建立ARMA模型并進行預測。

4.2 ARMA建模

為了確定模型種類,觀察銷量趨勢循環要素增長率序列的自相關(ACF)和偏自相關(PACF)圖,如圖3所示。

圖3 銷量趨勢循環要素增長率序列自相關和偏自相關圖

從圖3可以看出,銷量趨勢循環要素增長率序列ΔlnXTCt的自相關函數二階截尾而偏自相關函數一階截尾,故p=2,q=1。在模型識別時,為簡化定階過程,采用AIC準則,經過反復計算比較,在收斂標準、參數變化為0.001%,平方和變化在0.001%的情況下,建立ARMA(2,1)模型時AIC值、SC值最小。利用Eviews軟件建立模型,回歸結果如表2～3所示。

表2 ARMA(2,1)回歸結果

由表2可知,模型所有回歸系數均在1%的置信水平下顯著異于0;調整R2值約為0.98,D-W值約為1.88,不存在自相關;F統計量在1%置信水平下顯著,總體擬合度高,模型設定較好,可以進行需求預測。

5 預測與檢驗

通過上述ARMA(2,1)模型回歸結果,可以得到川東某市“嬌子(藍)”品牌卷煙銷量趨勢循環要素增長率序列的預測模型方程為:

ΔlnXTCt=0.008+1.567 7ΔlnXTCt-1-0.770 1 ΔlnXTCt-2+εt+0.764 9εt-1

(5)

式中:t=1,2,…,T,利用這一模型對2023年前6個月的“嬌子(藍)”市場需求進行預測,結果如表4所示。

表4 2023年1—6月川東某市“嬌子(藍)”市場需求預測

利用式(5)對2023年1—6月川東某市“嬌子(藍)”品牌卷煙銷量趨勢循環要素增長率進行預測,并通過預測數據計算趨勢循環要素的水平值(表4第2行),最終通過Census X12加法模型,加上季節調節要素,即獲得該市“嬌子(藍)”月度市場需求預測值(表4第4行)。

使用該市2023年1—3月“嬌子(藍)”品牌卷煙實際銷量(表3第5行),與預測銷量進行對比,最小誤差0.44%,最大誤差3.39%,預測結果較為精確。

6 結論

本文在對相關研究進行梳理的基礎上,引入ARMA模型,利用2019—2022年間川東某市“嬌子(藍)”品牌卷煙歷史銷售數據,先利用Census X12季節調整方法剔除季度影響因素,得到銷售數據的趨勢循環要素序列;然后通過平穩性檢驗,確定使用趨勢循環要素增長率(一階對數差分)序列進行建模分析;再依據自相關和偏自相關收斂結果確定回歸階數,建立ARMA(2,1)模型,預測后續6個月市場需求趨勢循環要素,加上季節調節要素,計算出最終預測數;最后使用真實銷售數據進行核對,誤差率不超過3.4%,預測效果較好,證明ARMA模型能夠用于對卷煙市場需求的預測,可對煙草企業的生產經營決策提供較有意義的參考。