論主動靜止土壓力、被動靜止土壓力與朗肯土壓力計算公式的優化

王國義

（中電建成都建設投資有限公司，四川成都 610212）

0 引言

土壓力計算中的兩個著名的古典土壓力理論分別是朗肯土壓力理論和庫侖土壓力理論。由于這兩大經典理論比較簡單，至今還被大量運用于工程建設中。但朗肯土壓力理論計算得到的主動土壓力比實際偏大，被動土壓力比實際偏小，庫侖土壓力理論計算得到的被動土壓力比實際誤差較大。針對這兩大理論的缺陷，大量的專家、學者提出很多新的解決方法，但到目前為止還有很多方面差強人意，還有待于進一步深入研究。張健等[1]采用雙剪統一強度理論主應力型表達式和平面應變假設，首先將擋土墻土壓力問題視為平面應變問題，通過廣義虎克定律確定出中主應力σ2=ν(σ1+σ3)，并根據朗肯土壓力分析原理確定出另外一個主應力，最后結合雙剪統一強度理論主應力型表達式分別推導朗肯主動土壓力和被動土壓力的計算公式。該公式除了引入考慮中主應力影響的系數 b，還通過廣義虎克定律把材料的泊松比ν引入朗肯土壓力計算公式中。經典的朗肯土壓力計算公式僅為該統一解的特例。王奎華等[2]在朗肯或庫侖假設的條件下作者推導出來的公式與經典朗肯或庫侖土壓力公式完全一致，可包含經典朗肯土壓力理論和庫侖土壓力理論的所有情況，是一種相對通用的土壓力計算方法。陳文勝等[3]從極限平衡理論出發，針對朗肯主動土壓力下墻后土體極限滑動面問題，明確提出墻后極限土體邊界為滑動平面和開裂面的組合，提出的滑裂面（包含滑動面和開裂段）從力學平衡、土壓力分布、土壓力合力大小等方面完全符合朗肯主動土壓力的理論解，可認為是朗肯主動土壓力所對應的墻后土體真實滑裂面。楊敏等[4]結合微分層解析法和圖解法推導了一般情況下擋土墻主動和被動土壓力的統一計算公式，改進了現有計算方法的不足。陳勝[5]以朗肯理論為基礎，加以拓展，推導出墻背有摩擦力時的情景，并與庫侖理論的公式加以比較，由此判斷公式的合理性。眾多專家、學者都是在朗肯土壓力理論或庫侖土壓力理論基礎上進行拓展，提高適用范圍，當條件與朗肯或庫侖土壓力理論相同時，一般可簡化為朗肯或庫侖土壓力計算公式，這就導致這兩大理論的缺陷還是無法真正解決。

作者通過分析土壓力主動狀態、被動狀態與靜止狀態，合理選用主動狀態下的大主應力，被動狀態下的小主應力，優化了二維應力狀態下主動狀態、被動狀態與靜止狀態的應力圓。依據莫爾應力圓土體極限平衡理論優化了朗肯主動土壓力與被動土壓力計算公式，解決了朗肯主動土壓力比實際偏大，被動土壓力比實際偏小的問題，與現場實際更相符。

1 主動土壓力、被動土壓力與靜止土壓力的關系分析

當假設擋土墻墻背直立、光滑，墻后填土表面水平并無限延伸時，可計算作用在擋土墻上的主動土壓力與被動土壓力，朗肯土壓力理論與庫侖土壓力理論計算主動土壓力與被動土壓力公式相同。

主動土壓力：

式（1～2）中：

Pa——主動土壓力，kPa；

γ——土的重度，kN/m3;

z——計算點處的深度，m;

Ka——主動土壓力系數，且；

c——土的粘聚力，kPa；

φ——土的內摩擦角，°。

被動土壓力：

式（3～4）中：

Pp——被動土壓力，kPa；

Kp——被動土壓力系數，且。

靜止土壓力：

式（5）中：

P0——靜止土壓力，kPa；

K0——側壓力系數或靜止土壓力系數。

經驗公式中K0值的計算：

主動土壓力與被動土壓力是兩種極限平衡狀態，靜止土壓力是擋土墻不發生位移的平衡壓力，按理來說應該存在某種關系，現以砂性土來進行分析。假設土在各個方向都呈相同各向異性，那么主動土壓力、被動土壓力與靜止土壓力之間存在一定的關系才正確，例如靜止土壓力減去主動土壓力的差值除以主動土壓力是否與被動土壓力減去靜止土壓力的差值除以靜止土壓力的比值相等。

從表1 可知看出，式（8）值與式（9）值無一定的變化規律。朗肯土壓力是依據土體極限平衡理論公式推導出來的，按理應該有一定的變化規律，但計算出來的結果卻無規律。因此，需要深入研究朗肯土壓力計算公式是否存在問題。

表1 主動土壓力、被動土壓力與靜止土壓力之間關系匯總表

2 主動靜止土壓力、被動靜止土壓力與應力圓的研究

如圖1 所示，微小單元土體Ⅰ，主動土壓力（Pa）是指擋土墻在墻后土體作用下向前發生移動，致使墻后填土的應力達到極限平衡狀態時，墻后土體施于墻背上的土壓力。微小單元土體Ⅱ，被動土壓力（Pp）是指擋土墻在某種外力作用下向后發生移動而推擠填土，致使墻后土體的應力達到極限平衡狀態時，填土施于墻背上的土壓力。微小單元土體Ⅲ，靜止土壓力（P0）是指擋土墻不發生任何方向的位移，墻后土體施于墻背上的土壓力。

圖1 土單元應力狀態

按上述定義可知（見圖2），當擋土墻所受外力小于靜止土壓力（P0）時，擋土墻在墻后土體作用下向前開始發生移動，靜止土壓力（P0）是擋土墻水平向不發生向外移動的最大平衡壓力。因此，水平向發生移動，最大主應力（σ1）為P0,最小主應力（σ3）為Pa。當擋土墻所受外力大于靜止土壓力（P0）并逐漸增大時，擋土墻在外力作用下向后發生移動而推擠填土，填土水平向發生變形，當水平向作用壓力產生的側壓力大于自重應力時土體開始豎直向上產生變形。當土壓力值達到Pp時豎直向上變形達到極限平衡狀態。由于假設土在各個方向都呈相同各向異性，那么水平向作用壓力產生的側壓力等于自重應力時水平向作用壓力為，此作用壓力是填土豎直向不發生向上移動的最小平衡壓力。因此，豎直向發生移動，最大主應力（σ1）為Pp,最小主應力（σ3）為。

圖2 土單元大小主應力狀態

因此，可將擋土墻水平向不發生向外移動的最大水平向作用壓力定義為主動靜止土壓力P0a，填土豎直向不發生向上移動的最小水平向作用壓力定義為被動靜止土壓力P0p，擋土墻水平向不發生移動同時填土豎直向不發生移動的水平向作用壓力定義為絕對靜止土壓力P00。靜止土壓力中最大主應力（σ1）為P0p,最小主應力（σ3）為P0a。

其中：

因此，在0＜K0＜ 1的前提下，土壓力之間的關系為：

按上述內容所述，依據莫爾應力圓理論可畫出不同應力狀態下的應力圓（見圖3），其中應力圓O1為主動狀態，應力圓O2為靜止狀態，應力圓O3為被動狀態。

圖3 不同應力狀態下應力圓

3 朗肯主動土壓力與被動土壓力計算公式的優化

由土體極限平衡理論公式可知，主動狀態大小主應力應滿足下述公式：

將σ3=Pa，σ1=K0γz代入式（14～15）中，即可得優化的朗肯主動土壓力計算公式：

粘性土

砂性土

由于 0＜K0＜ 1，通過式（1～4）與式（16～19）對比可知，朗肯主動土壓力值大于優化的朗肯主動土壓力值，朗肯被動土壓力值小于優化的朗肯被動土壓力值，優化的主動土壓力值、被動土壓力值與現實更相符。

4 舉例驗證

現以砂性土來進行分析優化的朗肯土壓力之間的關系。假設土體深度Z 處的自重應力P00為200 kPa，計算對比分析朗肯土壓力與優化的朗肯土壓力（見表2）。

表2 朗肯土壓力與優化的朗肯土壓力對比分析匯總表

從表2 結果可以分析，優化的朗肯土壓力計算中主動土壓力小于朗肯主動土壓力，被動土壓力大于朗肯被動土壓力，與現實情況更相符。優化的朗肯土壓力理論,，主動土壓力、被動土壓力與主動靜止土壓力、被動靜止土壓力之間具有一定的規律性，說明優化的朗肯土壓力計算更準確。

5 結論與展望

通過對土壓力理論的分析與研究，得出以下結論與展望：

1）將擋土墻水平向不發生向前移動的最大水平向作用壓力定義為主動靜止土壓力P0a，填土豎直向不發生向上移動的最小水平向作用壓力壓力定義為被動靜止土壓力P0p，擋土墻水平向不發生移動同時填土豎直向不發生移動的水平向作用壓力定義為絕對靜止土壓力P00，同時得到Pa＜P0a＜P00＜P0p＜Pp的結論。

2）依據莫爾應力圓理論優化了主動狀態與被動狀態應力圓，并首次提出了靜止狀態下的應力圓。

3）朗肯主動土壓力比實際偏大是由于大主應力選用不正確，朗肯被動土壓力比實際偏小是由于小主應力選用不正確。通過莫爾應力圓大小主應力的正確選取，優化了朗肯主動土壓力和被動土壓力計算公式，計算值與現場實際更相符。

4）通過舉例分析主動土壓力、被動土壓力和主動靜止土壓力、被動靜止土壓力之間的相互關系，驗證了作者優化的朗肯土壓力計算公式的正確性。希望能對理論土力學的發展有一定的推動作用。