點(diǎn)位的方差曲面與標(biāo)準(zhǔn)差曲面

孫現(xiàn)申

（鄭州工業(yè)應(yīng)用技術(shù)學(xué)院 建筑工程學(xué)院，河南 鄭州 451150）

在平面測量問題中，點(diǎn)位的精度可用方差曲線或標(biāo)準(zhǔn)差曲線形象表示，對此，文獻(xiàn)[1]進(jìn)行了比較全面的總結(jié)。越來越多的測量問題將在三維空間表示，相應(yīng)地，點(diǎn)位精度的形象表達(dá)應(yīng)采用方差曲面或標(biāo)準(zhǔn)差曲面。然而，從二維推廣到三維，仍有個別問題有待研究，本文對此進(jìn)行討論。

1 點(diǎn)位的方差曲面

三維空間中任一點(diǎn)P的點(diǎn)位精度可以表示成協(xié)方差矩陣形式

設(shè)點(diǎn)P真誤差ΔP在x、y、z坐標(biāo)軸上的投影分別為Δx、Δy、Δz，不難理解，ΔP在空間任一方向上的投影等于Δx、Δy、Δz在該方向上投影的代數(shù)和。現(xiàn)在設(shè)的方位角為α（0 ≤α ＜2π）、天頂距（該方向與z軸的夾角）為γ（0 ≤γ≤π），下面討論1O與x、y軸的夾角。

在Rt.ΔOa1 中

所以在Rt.ΔAa1 中，斜邊

在ΔAO1 中應(yīng)用余弦公式得

當(dāng)然，σ2（α，γ）也即點(diǎn)在α和γ所確定方向上的位置方差，稱為點(diǎn)在該方向的徑向方差[1]。容易理解，空間點(diǎn)位方差曲面是一個封閉曲面，其圖像如圖2 所示，其中λ1、λ2、λ3為方差曲面σ2（α，γ）的極值，稱為方差曲面的主半徑。

圖2 點(diǎn)位的方差曲面

2 方差曲面的主半徑和主方向

如記單位矢量

則式（5）成為

構(gòu)造函數(shù)

其中λ 為未知聯(lián)系數(shù)。令

其中I 為單位陣。由式（10）可以看出聯(lián)系數(shù)λ 是ΣP的特征值，s 是對應(yīng)特征值的特征向量。對式（9）右乘s，并顧及sTs=1，得

顯然，ΣP的特征值λ 和特征向量s 即方差曲面σ2(α，γ)=sTΣPs 的極值和極值方向，稱方差曲面的主半徑和主方向。

解ΣP的特征方程det（λI -ΣP）=0，其中det（·）為求行列式算子，即

一元三次方程式（13）有三個根，記為λ1、λ2、λ3。依韋達(dá)（F.Viète）定理

可作為計算結(jié)果的正確性檢核。并且，因λ1、λ2、λ3為徑向方差，為非負(fù)實(shí)數(shù)，故上三式均不能小于0。令

x=g 是曲線f (x)=x3+bx2+cx+d 的拐點(diǎn)，同樣，在這里g 也不能小于0；k 為拐點(diǎn)處切線的斜率。因方程（13）只有非負(fù)實(shí)根，故判別式Δ ≤0。

當(dāng)Δ=0 時，k ≤0，有

若q=0，則

方差曲面為球表面。

當(dāng)Δ ＜0 時，則k ＜0，計算

下面討論λi（i=1,2,3）的方向，即主方向的確定方法。將求得的特征值λi（i=1,2,3）代入式（10），并展開

式（33）包含3 個方程，可以改寫為

有2 解，可限定0°≤αi≤180°使解唯一。解出αi后，可由式（34）求γi（0°≤γi≤180°）。由αi、γi可確定λi的方向向量，如式（6）所示，即

將式（35）的分母、分子指定為cos ＇βi、cos＇ηi，并代入式（33）得到cos ＇γi，再將cos ＇βi、cos＇ηi、cos ＇γi單位化就可得到cosβi、cosηi、cosγi。對此，文獻(xiàn)[5]給出了部分結(jié)果。

由圖2 可以看出，主半徑及其方向決定了曲面的形狀、大小和姿態(tài)，因此，在描述空間點(diǎn)位精度時，也可以只繪出主半徑，不妨稱之為方差十字架，如圖3 示意。

圖3 點(diǎn)位的方差十字架

在測量中，ΣP是一個半正定矩陣，因此，方差曲面有以下性質(zhì)：

①主半徑為非負(fù)實(shí)數(shù)；

證：由半正定矩陣的定義，對任意向量t ≠0，都有tTΣPt ≥0。取t 為特征向量s，且sTs=1，則由式（11）知λ ≥0。

② 不同主值所對應(yīng)的主方向相互正交；③主方向之間協(xié)方差為0，即主方向之間統(tǒng)計不相關(guān)。

3 方差曲面算例

設(shè)點(diǎn)位的協(xié)方差矩陣

則主半徑計算：

det(ΣP)=1.5255063mm3，tr(ΣP)=5.41764mm2b=-5.41764mm2，c=7.8035269mm4，d=-1.5255063mm6k=-1.9800809mm4，g=1.80588mm2，q=0.78804582mm6Δ=-0.13227717mm12，r=0.53621938mm6，θ=137.29172°λ1=2.939396mm2，λ2=0.230937mm2，λ3=2.247307mm2檢核：

主方向計算：

4 方差曲面圍成的體積

使坐標(biāo)系的三個坐標(biāo)軸與方差曲面的三個主方向重合，則方差曲面可表示為

或表示成直角坐標(biāo)方程

現(xiàn)在，由式（38）計算方差曲面圍成的體積

考慮幾個特例：

①當(dāng)λ1=λ2=λ3時，方差曲面變成了球面

② 當(dāng)λ1＞0，λ2=λ3=0 時，方差曲面形成相切的兩個形體，體積為

③當(dāng)λ1＞0，λ2＞0，λ3=0 時，方差曲面圍成的體積為

另外，若將赫爾默特（F.R.Helmert）定義的點(diǎn)位方差推廣到三維

也將韋克邁斯特（P.Werkmeister）定義的點(diǎn)位方差推廣到三維

在平面測量中，點(diǎn)位方差、點(diǎn)位標(biāo)準(zhǔn)差與方差曲線、標(biāo)準(zhǔn)差曲線圍成的面積之間存在簡單的關(guān)系式[1]，但在空間測量中，點(diǎn)位方差、點(diǎn)位標(biāo)準(zhǔn)差與方差曲面、標(biāo)準(zhǔn)差曲面圍成的體積之間的關(guān)系并不直接、簡單。

5 標(biāo)準(zhǔn)差曲面

根據(jù)定義，只需將式（5）開平方就可得到空間點(diǎn)位的標(biāo)準(zhǔn)差曲面σ（α，γ）。σ（α，γ）當(dāng)然是點(diǎn)在α 和γ所確定方向上的位置標(biāo)準(zhǔn)差，稱為點(diǎn)在該方向的徑向標(biāo)準(zhǔn)差[1]。

標(biāo)準(zhǔn)差曲面σ（α，γ）與方差曲面σ2（α，γ）的圖形（圖2）相似，體量較小。σ（α，γ）的主半徑為和主方向分別與λ1、λ2和λ3的方向相同。σ（α，γ）可以用標(biāo)準(zhǔn)差十字架表示。

當(dāng)三個坐標(biāo)軸與方差曲面的三個主方向重合時，標(biāo)準(zhǔn)差曲面方程為

或表示成直角坐標(biāo)方程

標(biāo)準(zhǔn)差曲面圍成的體積為

該積分比較復(fù)雜，結(jié)果表達(dá)式不易得到。假設(shè)它與式（40）具有類似的形式，可得近似式

考慮幾個特例：

①當(dāng)λ1=λ2=λ3時，標(biāo)準(zhǔn)差曲面變成了球面

② 當(dāng)λ1＞0，λ2=λ3=0 時，標(biāo)準(zhǔn)差曲面變成為在原點(diǎn)相切的兩個球，體積為

③當(dāng)λ1=λ2＞0，λ3=0 時，方差曲面圍成的體積為

另外，赫爾默特點(diǎn)位標(biāo)準(zhǔn)差和韋克邁斯特點(diǎn)位標(biāo)準(zhǔn)差與標(biāo)準(zhǔn)差曲面圍成體積之間也無簡單關(guān)系式。

6 結(jié)束語

從二維表達(dá)到三維表達(dá)，是測量工程的一個發(fā)展趨勢。相應(yīng)地，點(diǎn)位精度描述也應(yīng)從方差曲線和標(biāo)準(zhǔn)差曲線發(fā)展到方差曲面和標(biāo)準(zhǔn)差曲面。

從二維到三維，有些推廣是簡捷的，如點(diǎn)位方差、徑向方差的含義、方差十字（架）的表示、方差曲面的數(shù)學(xué)性質(zhì)等，有些推廣需經(jīng)一定的研究，如徑向真誤差與坐標(biāo)真誤差的關(guān)系、方差曲面主半徑、主方向的解算、方差曲面圍成體積的計算等。本文對此進(jìn)行了討論，可供教學(xué)與生產(chǎn)參考。