基于灰色—時(shí)間序列組合模型的建筑沉降預(yù)測

徐方兵

（湖北煤炭地質(zhì)物探測量隊(duì)，湖北 武漢 430200）

1 引言

近年來，隨著高層建筑的大量涌現(xiàn)，建筑沉降預(yù)測問題得到廣泛關(guān)注，如何掌握建筑物沉降變形規(guī)律，科學(xué)準(zhǔn)確地預(yù)測沉降變化趨勢成為一項(xiàng)熱點(diǎn)問題。當(dāng)前，高層建筑物沉降預(yù)測的理論模型眾多，工程實(shí)踐中常用的有灰色系統(tǒng)、時(shí)間序列、回歸分析和卡爾曼濾波等模型[1]，考慮到單一模型預(yù)測的局限性，主要研究方向是將兩種單一模型相結(jié)合建立組合模型，綜合發(fā)揮出各單一預(yù)測模型的獨(dú)特優(yōu)勢，同時(shí)彌補(bǔ)各自的不足，盡可能提高擬合及預(yù)測數(shù)據(jù)的精度。本文將灰色預(yù)測模型與時(shí)間序列模型相結(jié)合，構(gòu)建灰色—時(shí)間組合預(yù)測模型，并通過建筑沉降實(shí)測數(shù)據(jù)對該組合模型的精度及穩(wěn)定性進(jìn)行驗(yàn)證。

2 灰色—時(shí)間序列組合預(yù)測模型

2.1 灰色系統(tǒng)模型

灰色系統(tǒng)模型是1982 年由我國學(xué)者鄧聚龍教授創(chuàng)立的，它是運(yùn)籌學(xué)與自動(dòng)控制理論相結(jié)合的產(chǎn)物，主要研究對象是“小樣本”“貧信息”的不確定性系統(tǒng)?；疑到y(tǒng)理論針對已知信息進(jìn)行分析并處理，繼而將有效信息提取出來，充分利用有效信息來監(jiān)控系統(tǒng)的運(yùn)行變化[2]。因?yàn)闊o法探測到隨機(jī)噪聲對模型的影響程度，隨著數(shù)據(jù)量的增加，數(shù)列中的隨機(jī)項(xiàng)導(dǎo)致的預(yù)測誤差影響會(huì)越來越明顯，容易降低預(yù)測精度，所以灰色模型在短期預(yù)測上優(yōu)勢明顯，而中長期預(yù)測效果不佳。

2.2 時(shí)間序列模型

在工程項(xiàng)目中，獲取的變形監(jiān)測數(shù)據(jù)通常是按照時(shí)間的先后及位置變動(dòng)的順序進(jìn)行排列的，實(shí)測變形數(shù)據(jù)之間往往存在一定的自相關(guān)性。時(shí)間序列模型正是以此建立數(shù)學(xué)模型對未來的變形量做出分析和預(yù)測。時(shí)間序列模型是一種動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理方法，相較于傳統(tǒng)的回歸分析等靜態(tài)方法，更能準(zhǔn)確描述建筑物的動(dòng)態(tài)變形特征[3]。然而在實(shí)際監(jiān)測工作中，觀測數(shù)據(jù)往往很難達(dá)到要求，故時(shí)間序列建模在實(shí)際操作過程中受到了一定的限制，且只能處理零均值的平穩(wěn)數(shù)列，原始觀測數(shù)據(jù)必須轉(zhuǎn)換成平穩(wěn)零均值數(shù)列才能使用，而此過程中部分有效信息會(huì)被剔除，影響了時(shí)間序列模型的預(yù)測精度。

2.3 灰色—時(shí)間序列組合預(yù)測模型構(gòu)建

單一預(yù)測方法建模研究的角度不同，每種預(yù)測方法都有最佳適用條件，同時(shí)有各自的局限性，難以考慮所有的影響因素，因此實(shí)際應(yīng)用過程中僅使用單一預(yù)測方法難以取得理想的預(yù)測效果。單一預(yù)測方法在各自的優(yōu)勢領(lǐng)域可以提供獨(dú)立的有效信息，可以通過適當(dāng)?shù)慕M合，建立組合模型，充分發(fā)揮各自的優(yōu)勢，取得相輔相成的互補(bǔ)效應(yīng)，從而提高預(yù)測數(shù)據(jù)的精度。組合模型是采用科學(xué)的方法將不同的單一模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕M合，然后對各個(gè)單一模型的預(yù)測結(jié)果賦予合適的權(quán)重，最后將加權(quán)平均值作為組合模型的最終預(yù)測結(jié)果[4]。組合模型能夠充分利用各個(gè)單一模型提供的有用信息，有效減少隨機(jī)因素對預(yù)測模型的影響，與單一模型相比，更全面，更科學(xué)，預(yù)測精度更高，預(yù)測結(jié)果也更可靠。

灰色預(yù)測模型的優(yōu)點(diǎn)是對于實(shí)際觀測值組成的序列沒有嚴(yán)格要求，可直接對序列進(jìn)行處理并建模預(yù)測，缺點(diǎn)則是無法探測到隨機(jī)噪聲對模型的影響程度[5]。時(shí)間序列模型彌補(bǔ)了灰色預(yù)測模型無法探測到的問題，但一般要求觀測值序列的期望為零且穩(wěn)定，導(dǎo)致數(shù)據(jù)序列中的趨勢項(xiàng)被拋棄，造成部分有效信息丟失，預(yù)測精度也不夠理想。因此，結(jié)合兩種模型的各自特點(diǎn)，對實(shí)際變形監(jiān)測數(shù)據(jù)建立灰色—時(shí)間序列組合預(yù)測模型，以增加模型的準(zhǔn)確度，更好地為工程的變形預(yù)測預(yù)警工作提供幫助。

建立灰色—時(shí)間序列組合預(yù)測模型，按照組合模型與子模型之間的函數(shù)關(guān)系，可以將灰色時(shí)序組合模型劃分為線性組合和非線性組合兩種形式。線性組合模型分別利用各子模型建模預(yù)測，對各子模型的預(yù)測值賦予不同的權(quán)重，各子模型加權(quán)后的值相加作為最后預(yù)測結(jié)果。線性組合模型的預(yù)測過程是比較簡單的，各子模型的權(quán)重是確定的，其基本形式為：

公式（1）中，t=1，2，…，n；m為單一預(yù)測模型總數(shù)，n為每點(diǎn)的真值；fit是第i個(gè)預(yù)測模型在t點(diǎn)的預(yù)測值，li是第i種預(yù)測模型的權(quán)重；yt是t點(diǎn)的組合預(yù)測值。

定權(quán)是組合模型預(yù)測的核心環(huán)節(jié)，權(quán)重的準(zhǔn)確度直接影響預(yù)測結(jié)果的精度[6]。組合模型中確定各子模型權(quán)重的方法很多，采用的賦權(quán)方法不同，得到的預(yù)測結(jié)果也不盡相同。如何確定一種更精確的定權(quán)方法來提高組合模型的預(yù)測精度是組合模型的研究重點(diǎn)。常用的方法有等權(quán)重法、方差倒數(shù)定權(quán)法、均方差倒數(shù)定權(quán)法、簡單加權(quán)法、最小二乘加權(quán)法等。本研究選取等權(quán)重法對沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，等權(quán)重法又稱算術(shù)平均值法，即對各子模型賦予相同的權(quán)重，權(quán)重計(jì)算公式如下：

公式（2）中，m是獨(dú)立預(yù)測模型的總數(shù)。

2.4 組合預(yù)測模型精度評定

組合預(yù)測模型建立后，將預(yù)測值與實(shí)際觀測值進(jìn)行對比分析，從而確定組合模型預(yù)測的精度，組合模型預(yù)測精度評價(jià)指標(biāo)有很多，例如誤差、相對誤差、平均絕對誤差、均方誤差、均方根誤差、平方和誤差等[7]，本次研究選取平均絕對誤差MAE、均方誤差MSE 以及平方和誤差SSE 對組合預(yù)測模型的預(yù)測精度進(jìn)行評定。

平均絕對誤差是單個(gè)觀測值與算術(shù)平均值的偏差絕對值的平均值，與平均誤差相比，由于偏差被絕對值化，不會(huì)出現(xiàn)正負(fù)相抵消的情況，因而，能更好地反映預(yù)測值誤差的實(shí)際情況[8]，設(shè)Xt為實(shí)際觀測值，為組合模型預(yù)測值，N為預(yù)測的期數(shù)（下同），則平均絕對誤差計(jì)算公式為：

均方誤差是衡量 平均誤差的一種較方便的方法，可以評價(jià)數(shù)據(jù)的變化程度，均方根誤差是均方誤差的算術(shù)平方根，均方誤差計(jì)算公式為：

平方和誤差表示實(shí)驗(yàn)誤差大小的偏差平方和，在相同的條件下，各次測定值對真實(shí)值的偏差平方后再求和，平方和誤差能充分利用測量數(shù)據(jù)所提供的信息，平方和誤差計(jì)算公式為：

通過以上三式計(jì)算相應(yīng)的精度指標(biāo)，就可以對灰色—時(shí)間序列組合預(yù)測模型的精度進(jìn)行評定，從而比較模型之間的精度高低。

3 工程實(shí)例

3.1 數(shù)據(jù)選取

以某建筑的沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，選取該建筑的5 號樓#4 監(jiān)測點(diǎn)連續(xù)50 期累計(jì)沉降數(shù)據(jù)為例進(jìn)行變形預(yù)測，其中前40 期監(jiān)測數(shù)據(jù)用于建模，后10 期監(jiān)測數(shù)據(jù)作為預(yù)測數(shù)據(jù)期望值，研究灰色系統(tǒng)模型、時(shí)間序列模型以及灰色—時(shí)間序列組合預(yù)測模型的精度，對三種模型預(yù)測的效果進(jìn)行檢驗(yàn)。

3.2 數(shù)據(jù)分析

首先，分別采用單一的灰色系統(tǒng)模型和時(shí)間序列模型對5 號樓#4 監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行分析處理，基于灰色系統(tǒng)模型的基本理論知識(shí)，利用該監(jiān)測點(diǎn)前40 期的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，計(jì)算得出后10 期的沉降預(yù)測值；同理，基于時(shí)間序列模型的基本理論知識(shí)，利用監(jiān)測點(diǎn)前40期的監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，計(jì)算得出后10 期的沉降預(yù)測值。

然后，根據(jù)等權(quán)重法確定灰色模型和時(shí)間序列模型的權(quán)重，權(quán)重分配過程如下：設(shè)灰色系統(tǒng)模型權(quán)重系數(shù)為l 灰色，時(shí)間序列模型權(quán)重為l 時(shí)間，根據(jù)等權(quán)重法公式對各子模型賦予權(quán)重，由于本項(xiàng)目采用灰色系統(tǒng)模型和時(shí)間序列模型預(yù)測的期數(shù)相同，因此，組合模型的權(quán)重結(jié)果最終確定為：l 灰色=0.5，l 時(shí)間=0.5，根據(jù)權(quán)重值，再利用線性組合預(yù)測模型的公式，計(jì)算出預(yù)測結(jié)果，三個(gè)模型的預(yù)測成果對比如圖1 所示。

圖1 5號樓#4監(jiān)測點(diǎn)不同模型預(yù)測結(jié)果與原始觀測值對比

3.3 精度評定

采用平均絕對誤差MAE、均方誤差MSE、平方和誤差SSE 對三個(gè)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行評定，三個(gè)模型的預(yù)測值精度如表1、表2 所示。

表1 三個(gè)模型的預(yù)測值精度

表2 三個(gè)模型預(yù)測值評定成果

從預(yù)測結(jié)果可以看出：

（1）單一模型和組合模型的預(yù)測曲線走向趨勢與實(shí)測數(shù)據(jù)曲線趨勢基本保持一致，說明單一模型和組合模型都可在一定程度內(nèi)反映建筑物變形發(fā)展趨勢。時(shí)間序列模型預(yù)測曲線與實(shí)測值曲線走向趨勢變化一致，呈逐步上升趨勢，長期預(yù)測精度優(yōu)于短期預(yù)測精度?；疑到y(tǒng)預(yù)測曲線基本浮于實(shí)測值的下方，短期內(nèi)的預(yù)測值與實(shí)測值基本吻合，但隨著預(yù)測期數(shù)的不斷增加，預(yù)測誤差越來越大，預(yù)測精度逐步降低。

（2）組合模型的曲線較灰色系統(tǒng)、時(shí)間序列模型這兩種單一預(yù)測模型的預(yù)測曲線更加接近實(shí)測數(shù)據(jù)曲線，說明灰色—時(shí)序組合預(yù)測模型具有更高的預(yù)測精度和穩(wěn)定性，在中長期預(yù)測方面較單一預(yù)測模型更具優(yōu)勢?；疑獣r(shí)序組合預(yù)測模型整合了灰色系統(tǒng)和時(shí)間序列單一模型的優(yōu)勢，充分發(fā)揮了灰色系統(tǒng)的趨勢項(xiàng)擬合特點(diǎn)，又結(jié)合了時(shí)間序列模型對隨機(jī)項(xiàng)數(shù)據(jù)預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的特點(diǎn)，從而提高了整體預(yù)測精度。

（3）利用不同權(quán)重分配方法獲得的組合模型的預(yù)測精度效果各不相同，隨著預(yù)測期數(shù)的變化，預(yù)測精度也發(fā)生變化。權(quán)重分配方法的選取對于組合模型非常關(guān)鍵，在建立線性組合模型時(shí)應(yīng)合理選擇最優(yōu)的權(quán)重分配方法以期獲得最佳的預(yù)測效果。

4 結(jié)束語

針對灰色系統(tǒng)和時(shí)間序列模型在建筑沉降預(yù)測方面的不足，構(gòu)建了灰色—時(shí)間組合預(yù)測模型，并將該模型應(yīng)用到建筑物沉降預(yù)測實(shí)例中，提高了預(yù)測精度和穩(wěn)定性，具有一定的應(yīng)用價(jià)值。