SV 波入射下圓弧形凸起地形地震響應

孫 青， 丁海平， 張如艷

（蘇州科技大學 江蘇省結構工程重點實驗室，江蘇 蘇州 215011）

凸起地形是常見的復雜地形之一，對地震波的傳播有很大影響。 國內[1-3]和國外[4-7]的震后調查均發現不同山區建筑的震害存在明顯差異。 強震儀也經常記錄到山脊地形頂部出現的異常高峰值加速度，如1971 年圣費爾南多6.4 級地震[8]，在靠近Pacoima 大壩的尖銳三角形山脊頂部的PGA 為1.25g；1994 年北嶺地震[9]在Tarzana 山地的PGA 達到1.78g。 由于山區地形和構造的復雜，從強震記錄中很難得到定量和規律性結果。

研究地形對地震動影響的主要方法有解析方法和數值方法，如文獻[11-17]采用這些方法研究了不同入射波形式、不同波長和不同入射角等諸多因素對凸起地形放大效應的影響。 在這些研究中，凸起山脊模型多為均勻半空間[18-20]，而對層狀半空間凸起地形的地震響應的研究相對較少[21-23]。

本文將利用有限元軟件Ansys 計算均勻半空間和層狀半空間圓弧形凸起地形對入射SV 波的地震響應。 為避免采用不同的地震波入射下呈現的地表地震動峰值分布的差異[25-27]，本文對頻域結果進行了分析，通過對不同入射波頻率、入射角度和凸起高寬比情形下凸起地形地表譜放大系數的比較，討論均勻半空間和層狀半空間圓弧形凸起地形對地震波傳播影響差異。

1 計算原理

如圖1 所示由人工邊界和地表包圍的區域結構-地基系統，運動方程為

圖1 結構-地基系統動力反應分析示意圖

式中，M 為質量矩陣，C為阻尼矩陣，K 為剛度矩陣，P 為外力矢量。

在地震波作用下，需要解決好地基無限域界問題，本文采用的人工邊界是多次透射公式（Multi-Transmitting Formula，簡記為MTF）[21，24]。 基于透射人工邊界原理，可得到其動力響應的計算公式

式中，N 為透射階數（文中取2 階）；0 表示人工邊界點；j 為與節點0 相鄰的計算點；u0p+1為邊界節點p+1 時刻的位移；ujp+1-j為p+1 時刻j 計算點的位移。

由于MTF 模擬的是外行波，即散射波us，其表達式為

式中，us散射波位移，u 為全波場位移，ur為參考波場的位移（對底邊界，參考波場可直接取輸入場，對側邊界，則通常取為自由場）。 令多次透射公式（2）中u0=us，0，將式（4）代入式（2）中，則

假定輸入地震波為位移，則輸入面為人工邊界節點所在位置，人工邊界點的全波場位移為

式（6）的u0p+1實際就是結構-地基系統在地震荷載作用下的邊界點的位移反應，同時實現了地震波的輸入。

2 輸入波形與計算模型

假定模型底部入射SV 波，脈沖波采用下式的δ 函數的有限差分近似[28]

其中，G（t）=（τ）3H（τ），τ=t/T，T 為脈沖持時；H（τ）是Heaviside 函數。 波形如圖2（a）所示，對應的傅里葉譜見圖2（b）。

本文的計算模型分別為均勻半空間凸起圓弧山脊模型（見圖3（a））和層狀半空間凸起圓弧山脊模型（見圖3（b））。 均勻半空間凸起圓弧形山脊（模型A）長度為400 m，高度為200 m，介質密度ρ=1 500 kg/m3，剪切波速cs=500 m/s，泊松比μ=1/3，圖中a 是圓弧形凸起山脊的半寬，取a=50 m。

圖3 計算模型示意圖

層狀半空間凸起圓弧山脊（模型B）長度同樣為400 m，高度為200 m，其中土層高度為75 m，基巖高度為125 m。 模型中土層剪切波速cs=500 m/s、密度ρ=1 500 kg/m3，泊松比μ=1/3；基巖的剪切波速cs=800 m/s、密度ρ=2 100 kg/m3， 泊松比μ=1/3； 半圓形凸起山脊半寬a=50 m。 模型的圓弧凸起高度h 分別取a、0.75a、0.5a 和0.25a，即50 m、37.5 m、25 m 和12.5 m。

進行有限元數值模擬時，網格尺寸一般需要滿足在一個有意義的波長內包含有6～10 個單元網格，取

在上述式中，λ 表示為入射波的波長，cs為土層介質中的剪切波速，fcut表示為入射波的截止頻率。在網格尺寸的大小被確定后，可以按照穩定條件來確定時間步距，具體如下

式中，Cmax為入射波的最大波速。根據計算模型和介質參數，網格大小取Δx=1.25 m，時間步長Δt=0.001 25 s。

解析方法給出的場地地震響應一般是基于無量綱頻率的譜比（或稱譜放大系數），無量綱頻率定義為

其中，a 為凸起地形半寬，λs為土層介質中剪切波波長，cs為土層剪切波速，ω 為圓頻率。 無量綱頻率η 由凸起地形寬度與土層介質中剪切波波長之比決定，η 值越大，其入射波波長越小，對應的頻率f 越高。

由于在圖2 脈沖波作用下得到的是實際頻率的地震動放大效應，需要轉換為無量綱頻率下的結果。根據計算模型中凸起半寬與土介質特性，由式（10）可得無量綱頻率與實際頻率對應關系，見表1。

表1 無量綱頻率對應的實際頻率

為了驗證本文計算方法的正確性，采用與文獻[13]相同的均勻半空間凸起半圓模型作為算例（圖3 模型A，h=a），計算垂直入射脈沖波（θ=0°）時的地表響應。選取上述模型地表的73 個觀測點（編號為0-72）水平方向和豎直方向的位移時程，并進行傅里葉變換，再計算與入射波位移的傅里葉幅值譜的比值，得到地表各點的譜放大系數。 圖4 為本文計算結果與文獻[13]（入射角θ=0°，無量綱頻率η=1 的解析解）的比較，二者結果吻合，因此本文的計算方法是可行的。

圖4 本文計算結果與文獻[13]結果的比較

3 圓弧形凸起地形地震響應結果與分析

3.1 頻域結果分析

采用本文提出的有限元模擬方法，首先得到了SV 波分別以0°和30°入射均勻半空間圓弧形山脊（圖3模型A）和層狀半空間圓弧形山脊（圖3 模型B）地表各個點的位移時程，并進行傅里葉變換，計算其與入射波位移的傅里葉幅值譜的比值，即譜放大系數β，圖5 至圖8 給出了無量綱頻率分別為η=0.5、1 和2， h/a 分別為1.0、0.75、0.5 和0.25 的譜放大系數β 結果。

圖5 不同入射角度的半圓形凸起地表位移譜放大曲線（h=50 m，h/a=1.0）

從圖5 至圖8 可以看出，不同無量綱頻率、入射角度和凸起高寬比對圓弧形凸起地形地表位移譜放大系數β 的影響不同。 當SV 波垂直入射（θ=0°）時，由于地形的對稱性，均勻半空間和層狀半空間的凸起地形兩側地表的位移譜放大系數β 呈對稱分布，隨著無量綱頻率η 和入射角度θ 的增大，地表觀測點位移譜放大曲線變化更加復雜強烈，譜放大系數β 的最大值向右側偏移，但偏移的幅度不大；在=1 時，凸起地形山腳處的譜放大系數β 比附近其它值都小，基本小于0.5；當1＜＜4 時，譜放大系數β 在2.0 上下波動。 圖6 至圖8 為模型A（h=37.5、25、12.5 m）在SV 波以不同入射角度下地表觀測點的譜放大系數。 在高寬比較小（h/a=0.25），η≤1.0 的情況下， 凸起山脊對附近地震響應的放大作用較小； 而h/a=0.5，η=2，x/a=0.26時，譜放大系數β=7.53。 因此凸起地形地震危險性評價既要認真考慮高寬比，又要考慮入射波的頻譜特征。

圖7 不同入射角度的圓弧形凸起地表位移譜放大曲線（h=25 m，h/a=0.5）

圖8 不同入射角度的圓弧形凸起地表位移譜放大曲線（h=12.5 m，h/a=0.25）

SV 波入射下層狀半空間與均勻半空間圓弧形凸起地形的地表位移譜放大系數β 相比， 存在明顯差異：在≤1.0 范圍內， 層狀半空間的地表位移譜放大系數明顯大于均勻半空間的譜放大系數， 如圖5 所示，當η=1，θ=0°，x/a=-2 時，均勻半空間凸起地形的β=2.59，對應層狀半空間凸起地形的β=5.10，譜放大系數值增大了0.97 倍。 隨著無量綱頻率和入射角度的增大，兩種情況的差異逐漸減小。 但在＞1.0 范圍內，有層狀半空間的地表位移譜放大系數小于均勻半空間的譜放大系數的情形出現，如圖7 所示，η=0.5，θ=30°，x/a=2 時，層狀半空間的β=1.94，而對應均勻半空間的β=2.81，譜放大系數值減小了0.31 倍。

3.2 時域結果分析

采用本文提出的有限元模擬方法，首先得到了SV 波分別以0°和30°入射均勻半空間圓弧形山脊（圖3模型A）和層狀半空間圓弧形山脊（圖3 模型B）地表各個點的時程。 圖9 至圖12 給出了幾個特殊點即圓弧凸起的左腳點（點24）、頂點（點36）和右腳點（點48）的時程，進行比較。

圖9 圓弧高度h=50 m 的地表觀測點24（左）、36（中）、48（右）時程比較

圖10 圓弧高度h=37.5 m 的地表觀測點24（左）、36（中）、48（右）時程比較

圖11 圓弧高度h=25 m 的地表觀測點24（左）、36（中）、48（右）時程比較

圖12 圓弧高度h=12.5 m 的地表觀測點24（左）、36（中）、48（右）時程比較

從圖中對地表觀測點24、36、48 位移時程的比較看出，同一圓弧高度的凸起地形層狀半空間的地表位移峰值大于均勻半空間的地表位移的峰值，并且層狀半空間內出現峰值的時間要晚于均勻半空間；地震響應持時明顯延長，表明層狀半空間凸起地形能增強對地震動的散射和反射效應并延長地震動持時，層狀半空間凸起地形的放大效應比均勻半空間更加顯著，如圖9 所示，當h=50 m，x=0.55 s 時，觀測點36 均勻半空間的位移峰值為2.16 m，對應層狀半空間的出現位移峰值時間延遲到0.76 s，位移峰值為3.04 m，增大了40.7%左右。 因此，在進行凸起場地對地震波傳播影響研究時，需要綜合考慮地表地形和地下波速結構的因素。

對比這三個觀測點，頂點36 的位移峰值始終大于兩個腳點24、48，圓弧高度對地面運動的影響顯著，在θ=0°時，兩腳點24、48 的時程結果呈對稱分布；當h=25 m 時，頂點在層狀半空間的最大位移值為3.97 m，比圓弧高度為50 m、37.5 m、12.5 m 的凸起地形的位移峰值分別增加了23.4%、9.8%、13.6%； 當h=50 m 時，兩腳點在均勻半空間的最小位移值為1.37 m，隨著圓弧高度的增加，對地面運動的削弱作用更加明顯，比圓弧高度為37.5 m、25 m、12.5 m 的凸起地形的位移峰值分別降低了2.8%、6.4%、15.4%， 但隨著入射角度的增大，山脊右腳點48 比點24 晚出現地震響應且峰值更大，位移時程變化更復雜。

4 結論

本文采用有限元數值方法計算了均勻半空間和層狀半空間圓弧形凸起山脊地形對入射SV 波的放大效應。 討論分析了不同入射波頻率、入射角度和不同的凸起高寬比等因素對均勻半空間和層狀半空間圓弧形凸起山脊地形的不同影響，得到如下結論：

（1）不同的無量綱頻率η、入射角度θ 和高寬比h/a 對圓弧形凸起的位移譜放大系數的影響顯著，隨著η、θ 和h/a 的增大，地表觀測點位移譜放大系數變得復雜，因此對復雜場地進行地震危險性分析時既要認真考慮高寬比，又要考慮入射波的頻譜特征。

（2）圓弧形凸起地形對于地震動的影響非常顯著，圓弧形凸起地形頂點的位移放大效應顯著大于兩腳點的，在山頂處對地震動具有非常顯著的放大作用，隨著圓弧高度h 的增加，山腳處對地表地震動的削弱作用更加明顯，并且隨著入射角度θ 的增大，山脊右側腳點出現地震響應的時間晚于左側腳點且峰值更大，位移時程曲線變化更復雜。

（3）SV 波入射下層狀半空間與均勻半空間圓弧凸起地形的地震響應存在明顯差異，層狀半空間的放大效應比均勻半空間的放大效應更加顯著，在|（x/a）|≤1.0 范圍內，層狀半空間的地表位移譜放大系數明顯大于均勻半空間的譜放大系數；在|（x/a）|＞1.0 范圍內，有層狀半空間的地表位移譜放大系數小于均勻半空間的放大系數的情形出現。 因此，在進行復雜場地對地震波傳播影響研究時，需要綜合考慮地表地形和地下波速結構的因素。