任意荷載作用下梁-柱的新型實用算法

郭春霞，李銀山，孫永濤，李子瑞

(1.西安建筑科技大學(xué) 理學(xué)院，陜西 西安 710055；2.河北工業(yè)大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300401；3.天津大學(xué) 機械工程學(xué)院，天津 300072)

工程中將同時承受軸向壓力和橫向荷載的梁稱為梁-柱[1]，梁-柱在工程中的應(yīng)用非常廣泛.例如受風(fēng)荷載、地震荷載、預(yù)應(yīng)力等軸向壓力作用的梁[2-3]，油氣工程中的懸跨管道往往可以簡化為有軸向力影響的簡支梁模型[4]，加筋機身蒙皮元件在機身彎曲條件下往往還同時承受軸向壓縮荷載[5]，而作用在梁上的軸向壓力，對梁的彎曲特性有較大的影響.此時，梁的內(nèi)力、應(yīng)力及變形并不與軸向壓力的大小成正比[6]，梁-柱本質(zhì)上是一個非線性靜不定問題.因此，準(zhǔn)確快速地計算出梁-柱的內(nèi)力和變形對工程中梁-柱的安全設(shè)計具有重要意義.

工程設(shè)計人員在設(shè)計梁-柱結(jié)構(gòu)時需要計算梁-柱的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩.具有均勻彎曲剛度的梁同時受軸向壓力和橫向荷載時，其彎曲變形微分方程是一個四階線性非齊次微分方程，其精確解較為復(fù)雜.若采用精確解來分析實際問題則存在計算過程復(fù)雜繁瑣、計算量大的缺陷[7～9].關(guān)于梁-柱的變形分析及應(yīng)用，已有很多文獻(xiàn)從不同的角度進(jìn)行了研究.陳林靖等[10]基于綜合剛度原理和雙參數(shù)法推導(dǎo)了考慮樁的縱橫彎曲的有限差分解，采用 MATLAB 程序語言編制了相應(yīng)的計算程序，指出對于外露長度和樁頂豎向荷載較大的樁，重力二階效應(yīng)是不容忽視的.黃文君等[11]將梁-柱理論的經(jīng)典解答應(yīng)用于石油工程中帶接頭管柱的分析，完整地描述了帶接頭梁-柱彎曲的三種狀態(tài).洪迪峰等[12]結(jié)合有限元法和梁-柱的經(jīng)典解答，提出了廣義縱橫彎曲法，用牛頓迭代法進(jìn)行數(shù)值求解，分析了非連續(xù)性旋轉(zhuǎn)導(dǎo)向鉆具的造斜能力.蔡銘等[13]采用初始參數(shù)法結(jié)合傳遞矩陣求解了幕墻支撐梁-柱問題并結(jié)合實際工程進(jìn)行了穩(wěn)定性分析.Mohri等[14]用能量法推導(dǎo)了雙對稱工字型截面梁-柱在各種橫向荷載和軸力聯(lián)合作用下的解析解，并分析了梁-柱的后屈曲行為.

隨著計算機的發(fā)展，出現(xiàn)了一系列求解梁-柱問題的新方法.Dado等[15]提出了一種基于非線性控制微分方程的積分最小二乘法，將梁的轉(zhuǎn)角用多項式表示，可分析棱柱式和非棱柱式懸臂梁-柱的彎曲問題；Arboleda等[16]采用經(jīng)典矩陣法研究了軸向力對雙參數(shù)彈性地基上梁-柱變形的影響.Hatami等[17]利用微分變換法將梁的變形表示為多項式，研究了懸臂梁-柱彎曲時的撓度；Ressell[5]利用梁-柱的經(jīng)典解答，討論了兩種處理廣義梁-柱問題的數(shù)值解法.李曉姣[18]提出了分析梁-柱問題的辛本征值法.Areizo等[19]基于微分變換方法對橫向荷載和軸向約束作用下的錐形梁-柱進(jìn)行了大撓度分析，提高了計算效率.連續(xù)分段獨立一體化積分法是李銀山等[20-22]提出的一種求解力學(xué)中有關(guān)微分方程問題的有效方法，與計算機軟件相結(jié)合，具有求解精度高、速度快的特點.

本文在連續(xù)分段獨立一體化積分法的基礎(chǔ)上，采用漸進(jìn)積分法研究了梁-柱的彎曲變形問題，得出了簡支梁-柱在各種荷載作用下的最大彎矩和最大撓度、最大轉(zhuǎn)角關(guān)于軸力放大系數(shù)的表達(dá)式，所得解答為簡單的多項式，便于理解和計算.并將漸進(jìn)積分法的計算結(jié)果與經(jīng)典的精確解進(jìn)行比較驗證，在迭代僅6次的情況下即可達(dá)到滿足工程需要的精度，大大提高了計算速度.

1 橫向分布力作用下的簡支梁-柱

1.1 基本方程和邊界條件

設(shè)長為l、抗彎剛度為EI的梁，僅承受橫向分布荷載q(x).軸向坐標(biāo)為x，撓度為v.梁的小撓度四階導(dǎo)數(shù)微分方程為[1]

(1)

設(shè)長為l、抗彎剛度為EI的桿，僅承受軸向集中荷載F.軸向壓力作用下桿的四階導(dǎo)數(shù)微分方程為[1]

(2)

歐拉臨界力公式為

(3)

其中：Fcr為臨界壓力；μ為與支承有關(guān)長度系數(shù)；α為集中力臨界力系數(shù).

若略去剪切變形和梁軸線縮短的影響，由式(1)和式(2)疊加得到，同時承受橫向分布荷載和軸向集中力F作用下梁-柱的微分方程為

(4)

簡支梁邊界條件

v(0)=0，EIv″(0)=0

(5a)

v(l)=0，EIv″(l)=0

(5b)

為將方程(4)無量綱化，令

(6)

將式(6)代入式(4)，可得梁-柱的無量綱微分方程

(7)

本節(jié)研究同時承受橫向均布荷載 (此時q(x)=-q)和軸向集中力F作用下的直梁，如圖1所示.

圖1 橫向均布荷載作用的簡支梁-柱

由式(7)可知無量綱微分方程為

(8)

式中

α=π2

(9)

則無量綱化后邊界條件(5)可簡寫為

V(0)=0，V″(0)=0

(10a)

V(1)=0，V″(1)=0

(10b)

1.2 漸進(jìn)積分法

為求解微分方程(8)，構(gòu)造迭代方程如下.

(11a)

(11b)

第一次近似：選取無軸向力作用的簡支梁的撓度為初始曲線V[0](X).

結(jié)合邊界條件

(12a)

(12b)

由連續(xù)分段獨立一體化積分法可得方程(11a)的解為

(13)

將(13)代入(11b)，可求出第一次近似變形曲線.基本方程為

(14)

邊界條件

(15a)

(15b)

由連續(xù)分段獨立一體化積分法可解出迭代一次后的撓度函數(shù)為

(16)

1.3 彎矩和變形的最大值

由(16)式可求出跨中的最大撓度為

(17a)

(17b)

根據(jù)EIv″(l/2)可得最大彎矩為

(17c)

(18)

η[1](κ)、χ[1](κ)和λ[1](κ)均為大于1的數(shù)，表示軸力對最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩的影響，稱為軸力放大系數(shù).

同理可得，第二次迭代后的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩的放大系數(shù)分別為

η[2](κ)=1+1.003 4κ+1.003 8κ2

(19a)

χ[2](κ)=1+0.986 96κ+0.985 69κ2

(19b)

λ[2](κ)=1+1.028 1κ+1.031 6κ2

(19c)

依次類推，可得迭代六次后的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩放大系數(shù)

η[6](κ)=1+1.003 4κ+1.003 8κ2

+1.003 9κ3+1.003 9κ4+1.003 9κ5+1.003 9κ6

(20a)

χ[6](κ)=1+0.986 96κ+0.985 69κ2

+0.985 55κ3+0.985 54κ4+0.985 53κ5+0.985 53κ6

(20b)

λ[6](κ)=1+1.028 1κ+1.031 6κ2+1.032 0κ3+

1.032 0κ4+1.032 0κ5+1.032 0κ6

(20c)

根據(jù)本文的方法，無論迭代幾次，梁-柱的內(nèi)力和變形均可表示為類似于式(20)的簡單多項式，很容易求出其數(shù)值.

本問題的精確解[1]如下

(21a)

(21b)

(21c)

式中：

(22)

本文迭代6次的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩與精確解的對比情況如圖2所示.

圖2 前六次迭代時最大轉(zhuǎn)角、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩與精確解的對比

從圖2可以看出，橫向均布荷載作用下的兩端鉸支梁-柱迭代計算出的最大變形和彎矩均隨迭代次數(shù)的增加而逐漸趨近于精確解.

利用漸進(jìn)積分法求解，迭代六次時最大撓度放大系數(shù)η(κ)、最大轉(zhuǎn)角放大系數(shù)χ(κ)和最大彎矩放大系數(shù)λ(κ)的計算結(jié)果如表1所示，并與精確解進(jìn)行了對比.

表1 放大系數(shù)η(κ)，χ(κ)和λ(κ)

從表1可以看出，當(dāng)κ∈[0，0.5]時，即當(dāng)梁所受的軸向力是歐拉臨界力的1/2以內(nèi)時，本文計算出的結(jié)果與精確解的誤差在1%以內(nèi)，且軸力對最大變形和最大內(nèi)力的影響均隨κ的增加而增加，當(dāng)κ=0.5時，梁的最大變形和內(nèi)力均約是沒有軸向力時的2倍.

2 橫向集中力作用下的簡支梁-柱

2.1 基本方程和邊界條件

本節(jié)研究同時承受橫向集中力Q和軸向集中力F作用的簡支梁-柱，如圖3所示.

圖3 有一橫向集中荷載作用的縱橫彎曲梁

由式(7)可知此時無量綱微分方程為

(23)

式中

α=π2

(24)

無量綱邊界條件為

V(0)=0，V″(0)=0

(25a)

V(1)=0，V″(1)=0

(25b)

2.2 漸進(jìn)積分法

構(gòu)造迭代方程如下.

(26a)

(26b)

第一次近似：選取無軸向力作用的梁撓度為初始曲線v[0](x).基本方程

(27a)

(27b)

邊界條件和連續(xù)光滑條件

(28a)

(28b)

(28c)

(28d)

式中

(29)

由連續(xù)分段獨立一體化積分法解得

(30a)

(l-c

(30b)

由式(26b)求第一次近似變形曲線，基本方程為

(31a)

(31b)

邊界條件和連續(xù)光滑條件為

(32a)

V1，[1](1-C)=V2，[1](1-C)，

(32b)

(32c)

(32d)

由連續(xù)分段獨立一體化積分法解得撓度函數(shù)為

(33a)

(33b)

2.3 彎矩和變形的最大值

將x=c=l/2代入式(33a)，得迭代一次后的最大撓度為

(34a)

(34b)

由EIv″(l/2)得最大彎矩為

(34c)

(35)

將(33)式代入(26b)式，進(jìn)行第二次迭代，可得最大撓度放大系數(shù)、最大轉(zhuǎn)角放大系數(shù)和最大彎矩放大系數(shù)分別為

χ[2](κ)=1+0.986 96κ+0.985 69κ2

(36a)

λ[2](κ)=1+1.028 1κ+1.031 6κ2

(36b)

ξ[2](κ)=1+0.822 47κ+0.811 74κ2

(36c)

同理迭代六次后可得最大撓度放大系數(shù)、最大轉(zhuǎn)角放大系數(shù)和最大彎矩放大系數(shù)分別為

χ[6](κ)=1+0.986 96κ+0.985 69κ2+0.985 55κ3+

0.985 54κ4+0.985 53κ5+0.985 53κ6

(37a)

λ[6](κ)=1+1.028 1κ+1.031 6κ2+1.032 0κ3+

1.032 0κ4+1.032 0κ5+1.032 0κ6

(37b)

ξ[6](κ)=1+0.822 47κ+0.811 74κ2+0.810 70κ3+

0.810 58κ4+0.810 57κ5+0.810 57κ6

(37c)

本問題的精確解[1]如下.

(38a)

(38b)

(38c)

式中：

(39)

迭代六次后，每次迭代的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角、最大彎矩與精確解的對比情況如圖4所示.利用漸進(jìn)積分法求解，迭代六次時最大撓度放大系數(shù)χ(κ)、最大轉(zhuǎn)角放大系數(shù)λ(κ)和最大彎矩放大系數(shù)ξ(κ)的計算結(jié)果如表2所示，并與精確解進(jìn)行了對比.

表2 放大系數(shù)χ(κ)、λ(κ)和ξ(κ)

圖4 前六次迭代時最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩與精確解的對比

從圖4和表2可以看出，當(dāng)κ∈[0，0.5]時，本文的解答與精確解的誤差在1%以內(nèi)，說明在這一范圍內(nèi)，漸進(jìn)積分法的計算結(jié)果可以滿足實際工程需要，是計算梁-柱問題的一種可靠方法.

3 由力偶引起的簡支梁-柱的彎曲

利用漸進(jìn)積分法也可求解由力偶引起的簡支梁-柱的彎曲，方法與前兩節(jié)相同，只是基本方程和邊界條件略有區(qū)別，文中不做詳細(xì)推導(dǎo)，僅對計算過程進(jìn)行簡要說明，并附計算結(jié)果.

3.1 基本方程和邊界條件

本節(jié)研究力偶引起的梁-柱的彎曲問題，如圖5所示，簡支梁-柱若有兩個力偶Ma，Mb分別作用于桿的A，B兩端.

由式(7)可知無量綱微分方程為

(40)

無量綱邊界條件為

V(0)=0，V″(0)=ma

(41a)

V(1)=0，V″(1)=mb

(41b)

式中

(42)

3.2 漸進(jìn)積分法

構(gòu)造迭代方程，選取無軸向力作用的梁撓度為初始曲線V[0](X).

由連續(xù)分段獨立一體化積分法解得

(43)

第一次近似變形撓度函數(shù)為

(44)

3.3 彎矩和變形的最大值

為討論方便，假設(shè)Mb=Ma=M0，則最大撓度出現(xiàn)在跨中截面

(45a)

最大轉(zhuǎn)角為

(45b)

最大彎矩為

(45c)

(46)

依次進(jìn)行迭代，迭代六次后可得最大撓度放大系數(shù)、最大轉(zhuǎn)角放大系數(shù)和最大彎矩放大系數(shù)分別為

λ[6](κ)=1+1.028 1κ+1.031 6κ2+1.032 0κ3+

1.032 0κ4+1.032 0κ5+1.032 0κ6

(47a)

ξ[6](κ)=1+0.822 47κ+0.811 74κ2+0.810 69κ3+

0.810 58κ4+0.810 57κ5+0.810 57κ6

(47b)

ζ[6](κ)=1+1.233 7κ+1.268 3κ2+1.272 7κ3+

1.273 2κ4+1.273 2κ5+1.273 2κ6

(47c)

本問題的精確解[1]如下，

(48a)

(48b)

(48c)

迭代六次后，每次迭代的最大撓度、最大轉(zhuǎn)角、最大彎矩與精確解的對比情況如圖6所示.

圖6 前六次迭代時最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩與精確解的對比

利用漸進(jìn)積分法求解，迭代六次時最大撓度放大系數(shù)λ(κ)、最大轉(zhuǎn)角放大系數(shù)ξ(κ)和最大彎矩放大系數(shù)ζ(κ)的計算結(jié)果如表3所示，并與精確解進(jìn)行了對比.

表3 放大系數(shù)λ(κ)、ξ(κ)和ζ(κ)

從圖6和表3可以看出，當(dāng)κ∈[0，0.5]時，本文的解答與精確解的誤差在1%以內(nèi)，說明在這一范圍內(nèi)，漸進(jìn)積分法的計算結(jié)果可以滿足實際工程需要，是計算梁-柱問題的一種可靠方法.

4 結(jié)論

(1)本文從力學(xué)模型研究入手，建立了小撓度簡支梁-柱在各種荷載作用下求解的通用模型，推導(dǎo)出梁-柱變形的一般方程和程序化求解內(nèi)力和變形的通用程序，用 Maple語言開發(fā)出相應(yīng)的求解程序；

(2)采用漸進(jìn)積分法求解了橫向分布力、橫向集中力和力偶等三種荷載情況下簡支梁-柱的變形問題，得出了最大撓度、最大轉(zhuǎn)角和最大彎矩的簡單多項式表達(dá)式；

(3)關(guān)于梁-柱的彎曲問題，以鐵摩辛柯為代表的復(fù)雜三角函數(shù)的精確解，需查表使用，不便于工程應(yīng)用；有限單元法只能得到數(shù)值解，無法得到解析式.本文用漸進(jìn)積分法進(jìn)行求解，采用橫向均布載荷作用下滿足基本方程和邊界條件的梁彎曲函數(shù)作為初函數(shù)，開始迭代計算，得到結(jié)果是簡單的多項式函數(shù).由于采用計算機求解計算速度快，荷載和剛度不需要簡化，可以得到解析解，求解過程簡潔方便、快速準(zhǔn)確；

(4)本文提出的漸進(jìn)積分法對實際工程中的梁-柱計算具有重要的指導(dǎo)意義.此方法可以推廣到任意荷載和一般邊界條件的梁-柱，另文介紹.