波形腹板鋼箱組合梁豎向彎曲振動特性?

張紫辰，王根會，王 興，金學軍

（1.青海大學土木工程學院 西寧，810016）（2.蘭州交通大學土木工程學院 蘭州，730070）

引言

自1986 年法國建成世界上第一座波形鋼腹板組合箱梁橋——Cognac 橋以來，波形鋼腹板組合梁橋在各國公路、鐵路以及城市軌道交通建設領域得到了長足的發展［1-2］。然而，這種組合箱梁在正彎矩作用下，混凝土底板易出現受拉開裂的病害。為此，國內學者對傳統波形鋼腹板組合梁橋進行了優化，提出了采用平鋼板取代混凝土底板的新型組合結構——波形腹板鋼箱組合梁［3］，這種結構可以充分發揮混凝土頂板抗壓、鋼底板抗拉以及波形鋼腹板抗剪屈服強度高的優點，能夠有效地解決溫度應力和收縮、徐變等因素帶來的病害，進一步減輕了結構自重，增大了橋梁的跨越能力［4］。同時，該類結構可進行工廠化制造和裝配式施工，從而大大縮短了施工周期，因而該類橋梁具有廣闊的發展前景，已在我國甘肅省中川機場T2 航站樓立交橋、彭大高速涇河特大橋等一批重點橋梁工程中得到應用。

近年來，針對波形鋼腹板組合箱梁的靜力特性的研究成果已在工程實踐中得到了廣泛的應用［5-6］。學者們也對波形鋼腹板組合箱梁的動力特性進行了研究。張永健等［7］運用能量變分法推導了波形鋼腹板組合箱梁橋的振動頻率解析解。李鵬飛等［8］分析了不同橋墩類型對波形鋼腹板連續剛構橋動力特性的影響。鄭尚敏等［9］對波形鋼腹板PC 組合箱梁的扭轉振動頻率進行了試驗研究。桂水榮等［10］研究了結構參數對大跨徑變截面波形鋼腹板箱梁橋動力特性的影響。胡霖遠等［11］將波形鋼腹板混凝土梁理想化為夾心梁，基于Zig-zag 理論分析了波形鋼腹板梁的自由振動特性。冀偉等［12］基于勢能駐值原理得到了波形腹板鋼箱-混凝土組合梁橋振動頻率的簡化計算方法。Feng等［13］基于Hamilton 原理，綜合考慮剪切剪滯效應和界面滑移等因素，提出了一種用于計算波形鋼腹板組合箱梁固有頻率的改進分析方法。上述研究主要集中在波形鋼腹板組合箱梁的自由振動方面，且未同時考慮鐵木辛柯（Timoshenko）剪切變形、轉動慣量、剪滯翹曲應力自平衡以及腹板褶皺效應等因素對結構振動特性的影響，因而具有一定的局限性。由于橋梁的彎曲振動頻率是計算其沖擊系數的基礎，而結構在地震荷載作用下的破壞也主要源于強迫振動，所以波形腹板鋼箱組合梁的動力學特性研究更為重要。

筆者基于能量變分法和Hamilton 原理，綜合考慮Timoshenko 剪切變形、轉動慣量、剪滯翹曲應力自平衡以及腹板褶皺效應的影響，推導出波形腹板鋼箱組合梁的動力學彈性控制微分方程和自然邊界條件，結合模型試驗和有限元數值模擬對組合箱梁的豎向彎曲振動特性進行了精細化分析。

1 組合箱梁的振動方程

1.1 基本假定

建立組合箱梁振動方程的基本假定如下：

1）波形鋼腹板具有褶皺效應，忽略其縱向抗彎作用；

2）波形腹板鋼箱組合梁發生彎曲變形時，橫截面縱向應變計算服從“擬平截面假定”；

3）混凝土翼板與波形鋼腹板在彈性范圍內協同工作，兩者連接無相對滑移。

1.2 控制微分方程的建立

波形鋼腹板形狀如圖1 所示，其有效剪切模量Gw［14］可表示為

圖1 波形鋼腹板形狀示意圖Fig.1 Shape of corrugated steel webs

其中：L1為平板長度；L2為斜板長度；δ為波折角；Es為鋼材彈性模量；υs為鋼材泊松比。

圖2 所示波形腹板鋼箱組合梁由混凝土頂板、鋼底板及波形鋼腹板組成，其中：b2為懸臂板寬度；t1為上翼板混凝土厚度；2b1為混凝土頂板寬度；t2為鋼底板厚度；h1和h2分別為頂板和底板的中心到形心軸的距離；z軸為組合箱梁的高度方向；y軸為組合箱梁的寬度方向。

圖2 波形腹板鋼箱組合梁Fig.2 Box composite girder with corrugated steel webs

理論計算時，采用換算截面法將組合箱梁混凝土頂板換算為等效鋼板，其等效幾何材料特性為

其中：Ec為混凝土彈性模量；td為換算后等效頂板厚度；ρd為換算后等效頂板材料質量密度；ρc為混凝土質量密度。

在對稱彎曲狀態下設結構的跨度為l，結構的豎向動撓度為w(x，t)，則剪力滯效應引起組合箱梁頂板翹曲位移η1、底板翹曲位移η2和懸臂板翹曲位移η3可分別表示為

其中：f1(y)，f2(y)，f3(y)分別為組合箱梁頂板、底板和懸臂板的不均勻分布函數；u1(x，t)，u2(x，t)分別為結構振動時剪力滯效應引起的組合梁頂、底板和懸臂板的轉角差函數；α為組合梁翼板各自滿足應力自平衡條件求得的常數之和。

且有

組合箱梁頂板應力為

組合箱梁底板應力為

組合箱梁懸臂板應力為

組合箱梁頂、底板和懸臂板變形勢能為

組合箱梁剪切應變能為

其中：Aw為波形鋼腹板的橫截面積。

組合箱梁荷載勢能為

其中：M(x，t) 為x截面的動彎矩；M1(x，t)，M2(x，t)分別為頂、底板和懸臂板剪力滯效應產生的動彎矩。

組合箱梁總勢能為

結構總動能為

依據Hamilton 原理δ∫(T-V)dt=0［15］，可得組合箱梁的振動微分方程為

相應的自然邊界條件為

其中：Isy1=-∫A z[α-zf1(y)]dA；

1.3 控制微分方程的求解

根據組合箱梁的振動特點，若結構振動圓頻率為ω，則有

其中：φ為組合箱梁強迫振動時的初始相位角。

由式（21）可得U(3)1和U(5)1的表達式，對式（22）進行3 次求導后將U(3)1和U(5)1代入，可得到關于U2，W和Ο的微分方程，再結合式（23）可得僅含W和Ο的微分方程。將式（20）代入并消去Ο后，可得關于W(x)的新微分方程為

對式（29）進行分析可知，其特征方程解的形式為r1，2=±(α1+iβ1)，r3，4=±(α2+iβ2)，r5，6=±(α3+iβ3)，r7，8=±(α4+iβ4)。

根據微分方程的性質，可得式（29）的通解為

其中：n1=α1+iβ1；n2=α2+iβ2；n3=α3+iβ3；n4=α4+iβ4；C1～C8為待定常數，可由相應邊界條件求得。由常微分方程組性質和恒等式原理假設Ο(x)解的表達式，結合式（20）和式（30），最終可得Ο(x)的解為

同理可得U1(x)和U2(x)的方程解為

2 邊界條件

簡諧均布力作用下兩端簡支組合箱梁邊界條件為

對于兩端簡支組合箱梁，若跨間r點作用1 個簡諧集中力Pr=P0sin(ωt+φ)，且集中力Pr距左右邊界距離為l1和l2，則r點需引入的連續邊界條件為

其中：U下標括號內數字表示剪力滯效應引起組合箱梁頂、底板和懸臂板的轉角差函數。

在求解組合箱梁的自振頻率時，令均布簡諧力q(x，t)=0，將式（30）～（33）或其求導式代入相應的邊界條件，可以得到結構的固有頻率方程，再通過Matlab 軟件求解其特征值方程，從而得到結構的各階振動圓頻率ωn，將組合箱梁振動的圓頻率轉化成豎向自振頻率，其計算式為

3 模型梁試驗

為驗證本研究所得波形腹板鋼箱組合梁彎曲振動頻率分析方法的有效性，設計制作了一跨簡支組合箱梁模型，其橫截面形狀見圖2，梁高為0.4 m，跨徑為6 m，b1=0.3 m，b2=0.25 m，t1=0.05 m，t2=4 mm。組合箱梁頂板混凝土材料按照C50 混凝土設計，波形鋼腹板和底板均采用Q390 鋼，共設置了2 道端橫隔板和3 道中橫隔板，波形鋼腹板厚度為3 mm，波折角δ=37°，平板長度L1=40 mm，斜板長度L2=40 mm。

采用錘擊法對簡支組合箱梁自振特性進行測試，采樣頻率為512 Hz。根據試驗模型振型的分析結果，豎向拾振器布置在混凝土頂板六分點處（即L/6，2L/6，3L/6，4L/6 和5L/6 位置），敲擊點避開豎向拾振器位置，試驗現場照片如圖3 所示，頻率測試結果如圖4 所示。

圖3 試驗現場照片Fig.3 Photo of test site

圖4 頻率測試結果Fig.4 requency test results

4 有限元模型

采用ANSYS 15.0 軟件建立波形腹板鋼箱組合梁的有限元模型，如圖5 所示，其中混凝土采用SOLID65 單元模擬，波形鋼腹板選用SHELL63 單元模擬，同時增加目標單元TARGE170 和接觸單元CONTA175，以實現鋼混連接部位的多點耦合接觸，這樣可對頂、底板和腹板獨立劃分網格，從而保證了模擬的精度。

圖5 有限元模型Fig.5 Finite element model

5 對比分析

簡支組合箱梁自振頻率對比見表1。其中：f1為本研究理論方法自振頻率；f2為傳統理論方法自振頻率，其在本研究理論的基礎上忽略了剪滯翹曲應力自平衡條件的影響；f3為Timoshenko 梁理論自振頻率，其同時忽略了剪力滯效應和剪滯翹曲應力自平衡條件的影響；f4，f5，f6分別為歐拉梁理論、三維有限元和模型試驗自振頻率；f7為在本研究理論的基礎上忽略了轉動慣量影響的組合箱梁自振頻率。

表1 簡支組合箱梁自振頻率對比Tab.1 Comparison of natural frequencies of simply supported composite box girderHz

由表1 可以看出：本研究理論計算所得簡支組合箱梁彎曲自振頻率與有限元計算結果和實測值吻合良好，驗證了該方法的準確性和有效性；根據歐拉梁理論所得組合箱梁自振頻率與本研究理論和Timoshenko 梁理論相差較大，4 階自振頻率差值分別達到32.913%和27.623%，這主要是由于剪力滯效應和剪切變形降低了組合箱梁的豎向抗彎剛度，與剪力滯效應相比，剪切變形對結構抗彎剛度的影響更大；受剪力滯效應的影響，組合箱梁的各階固有頻率普遍減小，隨著頻率階數的增加，剪力滯后效應的影響逐漸增大；剪滯翹曲應力自平衡和轉動慣量對組合箱梁各階自振頻率的影響均小于5%。分析可知，本研究剪力滯理論所得結構自振頻率值<傳統理論值

采用3 種方法得到的簡支組合箱梁前2 階振型如表2 所示，表現出梁的豎向振動特性，理論振型和其他2 種方法得到的2 階豎向振型吻合良好。

表2 簡支組合箱梁前2 階振型Tab.2 First two mode shapes of simply supported composite girder

為進一步分析簡支組合箱梁的豎向動力反應特性，定義動剪力滯系數為本研究理論計算的動應力與Timoshenko 梁理論計算的動應力之比。在結構跨中作用一簡諧集中力，該簡諧力幅值為P0=19.6 kN。跨中截面上E點和F點的坐標位置如圖2所示，運用有限元法計算組合梁E點和F點的動應力幅值，如圖6 所示。

圖6 有限元法計算組合梁E 點和F 點的動應力幅值Fig.6 Calculation of dynamic stress amplitude at E and F points of composite girder by finite element method

運用本研究計算方法求解組合箱梁動應力幅值流程如下：已知跨中作用簡諧力幅值為P0，將不同簡諧力頻率ω代入式（29）后可得其8 個特征值；聯立邊界條件式（34）和式（35），得到8 個待定常數C1～C8的值；最后結合式（9）～（13），可得組合箱梁跨中截面兩點（E，F）的動應力幅值對比見圖7。

圖7 組合梁E 點和F 點的動應力幅值對比Fig.7 Comparison of dynamic stress amplitudes at E and F points of composite girder

由圖6，7 可以看出：在強迫振動分析中，剪力滯效應對組合箱梁翼板動應力幅值的影響較大，當簡諧集中力作用頻率相同時，F點的動應力幅值明顯大于E點，即結構跨中橫截面上各點的動應力幅值呈不均勻分布，其特點與文獻［16］中關于該類結構的靜力分析結果類似，因而動力分析時組合箱梁的平截面假定不再適用；同時，簡諧集中力的頻率值對組合箱梁的動剪力滯系數的影響普遍小于3.52%，分析時可忽略不計。

考慮結構寬跨比（2b1/L）對組合箱梁豎向彎曲振動特性的影響，保持組合箱梁其他尺寸不變，選取模型的寬度2b1為60 cm，其跨度從200～1 000 cm依次變化，研究寬跨比對簡支組合箱梁固有頻率比的影響，結果見圖8。由圖可以看出，簡支組合箱梁的固有頻率比隨著寬跨比的增大而減小。當寬跨比小于0.15 時，固有頻率比小于0.95，表明該條件下采用Timoshenko 梁理論計算結構基頻可滿足實際工程的精度要求；當寬跨比增大時，剪力滯效應對組合箱梁頻率的影響逐漸增大；當寬跨比大于0.15 時，剪力滯效應對組合箱梁的第4 階頻率貢獻值達到10.42%以上，所以在計算寬跨比較大的組合箱梁高階自振頻率時，剪力滯效應的影響不可忽略。

圖8 寬跨比對簡支組合箱梁固有頻率比的影響Fig.8 Influence of width span ratio on natural frequency ratio of simply supported composite girder

寬跨比對簡支組合箱梁動剪力滯系數的影響如圖9 所示。由圖9 可以看出：與傳統剪滯理論相比，本研究理論所得E點和F點的動剪力滯系數與有限元解吻合更好；當寬跨比為0.3 時，F點的動剪力滯系數增大了9.4%，E點的則減小了8.7%，說明引入剪滯翹曲應力自平衡條件可提高組合箱梁翼板動應力幅值的計算精度；在強迫振動分析中，F點的動剪力滯系數隨寬跨比的增大而增大，E點的隨寬跨比的增大而減小，說明寬跨比越大時剪力滯效應對組合箱梁翼板動應力幅值的影響越大，剪滯翹曲應力自平衡的影響亦隨之增大。

圖9 寬跨比對簡支組合箱梁動剪力滯系數的影響Fig.9 Influence of width span ratio on dynamic shear lag coefficient of simply supported composite girder

6 結論

1）以能量變分法和Hamilton 原理為基礎，提出一種能準確分析波形腹板鋼箱組合梁彎曲振動特性的解析法，計算結果與ANSYS 有限元計算值和模型試驗值吻合良好，且具有較高的計算精度。本研究計算方法編寫Matlab 計算程序后操作方便且用時較短，避免了ANSYS 有限元模型求解的復雜性，因而具有一定的工程實用價值。

2）在強迫振動分析中，剪力滯效應對組合箱梁翼板動應力幅值的影響較大，在簡諧集中力作用下，結構跨中橫截面上各點的動應力幅值分布特點與其靜力分析結果類似，而簡諧集中力的頻率值對組合箱梁的動剪力滯系數的影響普遍小于3.52%，分析時可忽略不計。

3）剪力滯效應對組合箱梁自振頻率的影響隨寬跨比的增大而變大，當寬跨比小于0.15 時，采用Timoshenko 梁理論計算結構自振頻率可滿足工程精度要求；當寬跨比大于0.15 時，剪力滯效應對組合箱梁的第4 階頻率貢獻值達到10.42%以上。

4）雖然剪滯翹曲應力自平衡對組合箱梁各階自振頻率的貢獻值較小，但本研究理論所得E點和F點的動剪力滯系數與有限元解吻合更好，說明引入剪滯翹曲應力自平衡條件可提高組合箱梁翼板動應力幅值的計算精度。剪力滯效應對組合箱梁翼板動應力幅值的影響隨寬跨比的增大而變大，剪滯翹曲應力自平衡的影響亦隨之增大。