考慮層間變形的約束阻尼圓柱殼振動特性分析?

馬宏偉，陳中石，孫 偉

（1.東北大學機械工程與自動化學院 沈陽，110819）（2.東北大學航空動力裝備振動及控制教育部重點實驗室 沈陽，110819）

引言

圓柱殼結構由于比強度、比剛度高，在航空、航天及艦船等裝備中有著廣泛的應用。其在機械、氣動及熱等載荷作用下，很容易引發過大的振動而導致結構本身或者整個裝備的性能失效。眾多減振方法中，在圓柱殼結構的表面貼敷約束阻尼層（通常為局部貼敷）是一種最經濟、最有效的方法［1，2］。

針對圓柱殼結構進行局部貼敷約束阻尼層減振，首先要創建可以預測復合殼結構振動特性的動力學分析模型。當前，相關研究方法主要包括解析法（或者半解析法）和有限元法。Chen 等［3］利用薄殼理論和唐奈爾-穆斯塔里-弗拉索夫（Donnell-Mushtari -Vlasov，簡稱DMV）的假設推導了局部貼敷約束阻尼圓柱殼結構的一般運動微分方程，分析了貼敷厚度對復合圓柱殼振動特性的影響，這是一種典型的半解析法。基于DMV 假設和拉格朗日方程，Zheng 等［4］推導了局部貼敷約束阻尼層圓柱殼結構的動力學方程，分析了不同貼敷方案的約束阻尼層圓柱殼結構振動特性。基于線彈性薄殼理論，向宇等［5］推導了局部貼敷約束阻尼層圓柱殼的一階常微分方程，并分析了貼敷位置對復合殼振動特性的影響。基于Donnell′s 假設和線性黏彈性理論，Zheng 等［6］構造了被動約束層阻尼圓柱殼的本構關系，利用哈密頓原理導出了約束層阻尼處理圓柱殼的運動方程。損耗因子是表征貼敷阻尼材料結構損耗能量的重要指標，張安付等［7］提供了一種多種阻尼處理下圓柱殼損耗參數的解析換算方法。

相對于解析或者半解析法，有限元法具有更廣泛的適用性。Wang 等［8］利用有限元法將局部貼敷約束阻尼層圓柱殼等效為單層后，進行了振動和阻尼分析，并討論了材料性能、厚度、處理區域和位置等參數對復合殼振動特性的影響。Masti 等［9］基于有限元法和一階剪切變形理論，建立了一種4 節點80 自由度的復合殼單元，用于分析局部貼敷約束阻尼層圓柱殼結構的振動特性，并與實驗對比驗證了模型的正確性。經過約束阻尼層處理的圓柱殼部分主要由基體層、黏彈性層和約束層構成，其主要減振原理是在圓柱殼振動時，黏彈性層因基體層和約束層的交錯變形出現剪切效應，導致消耗更多的能量，所以在復合圓柱殼動力學建模過程中，需要考慮這種層間的變形關系。基于層間變形關系和改進的波傳遞法，Gao 等［10］采用瑞利-里茲法求解了貼敷約束阻尼層圓柱殼的自由振動問題。基于半解析法，Song 等［11］在考慮層間變形的基礎上，推導了約束阻尼層圓柱殼在任意邊界條件下的動力學方程。基于薄殼理論，Mokhtari 等［12］在考慮層間變形關系下，利用拉格朗日能量方程和瑞麗-里茲法求解了復合圓柱殼的動力學方程，并分析了厚度和半徑等參數對結構振動特性的影響。利用層間變形關系和經典薄殼理論，Jin 等［13］采用傅里葉級數作為容許函數，推導了約束阻尼圓柱殼的動力學方程，并討論了不同層厚和剪切參數對其振動特性的影響。上述考慮層間變形關系的約束阻尼層圓柱殼動力學建模均屬于解析或者半解析法，如果這種層間變形關系沒有引入到有限元建模分析中，將導致有限元分析結果與實際結果存在偏差。

對于局部貼敷約束阻尼層的圓柱殼結構，既存在包含3 層結構的復合殼單元，也存在僅包含基體的單層殼單元。在有限元法建模中，如何將這種不同類型的單元組集在一起，實現正確的單元組集非常重要。筆者采用有限元法對局部貼敷約束阻尼層圓柱殼結構進行了動力學建模方法研究。在建模中考慮了層間變形關系，推導了復合單元的剛度及質量矩陣，構造了一種過渡單元來實現局部貼敷約束阻尼層圓柱殼總剛度及總質量矩陣的有效組集。

1 考慮層間關系復合圓柱殼單元推導

本研究的局部貼敷約束阻尼層圓柱殼模型如圖1 所示，底部為彈性約束，并在自由端貼敷約束阻尼層。其中：R為復合圓柱殼的等效半徑；L為圓柱殼總高度；L1為約束阻尼層貼敷的寬度；hs，hv和hc分別為基體、黏彈性層和約束層厚度。在圓柱殼中心建立柱坐標系（x，θ，z），對應的復合圓柱殼的等效中性面上局部位移用u，v和w來表示。

圖1 局部貼敷約束阻尼層圓柱殼模型Fig.1 Cylindrical shell model with partially attached constrained damping layer

其中：E(k)，Hk分別為第k層材料的彈性模量和上表面到圓柱殼內表面的距離，且H0=0；k=1，2，3 分別表示基體層、黏彈性層和約束層

1.1 層間變形關系

基于Donnell's 薄殼理論，復合圓柱殼中基體層和約束層內任意一點位移場可表示為

約束阻尼層圓柱殼層間變形如圖2 所示，假設復合結構基體層和約束層中性面分別由A-A'處沿周向變形了vs和vc，變形至B-B'處。這時，通過B-B'處的C-C'和D-D'層面可以看出，各層間位移變化是協調連續的［11］。

圖2 約束阻尼層圓柱殼層間變形示意圖Fig.2 Diagram of interlayer deformation of cylindrical shells with constrained damping layers

以周向變形為例，黏彈性層的位移uv和vv及轉角位移可表示為

1.2 復合單元推導

復合圓柱殼單元如圖3 所示，其中Rs，Rv和Rc分別為基體、黏彈性層和約束層的幾何中面半徑。

圖3 復合圓柱殼單元Fig.3 Shell element of composite cylindrical shell

該復合殼單元包含4 個節點，設每個節點具有15 個自由度，任一節點位移qi為

其中：i=1，2，3，4。

由層間關系描述可知，黏彈性層的位移變形可由基體層和約束層的位移變形來表達。在單元推導過程中，可以先確定基體層、約束層的位移和應變等，再引入層間變形關系確定黏彈性層的上述參數。

可以假定任意方向位移，例如z方向位移w在曲面坐標x和θ方向上的位移場為

其中：a1，a2，…，a12為多項式系數。

復合殼單元等效中性面上任意一點的位移場為

其中：Ni為節點i=1，2，3，4 對應的形函數。

為方便構造黏彈性層的形函數，式（7）中形函數Ni也可改寫為

式（8）對應基體及約束層的形函數。將式（6）代入描述層間變形關系的式（3）中，并進行相應的整理，得到黏彈性層的形函數。

復合殼單元某層任意一點應變與位移的關系為

整理可得復合殼單元各層中性面應變-位移關系為

其中：L 為矩陣微分算子；各層形函數Ns=；qe為單元節點位移向量；Bk為第k層應變矩陣。

黏彈性層的剪切應變為

同理可得黏彈性層的剪切應變-位移關系為

黏彈性層在x和θ方向的剪切應力可表示為

其中：χ為剪切修正因子，一般取。

由廣義胡克定律，得到復合圓柱殼與基體及約束層相關的力與彎矩為

其中：Dk為第k層彈性矩陣。

黏彈性層所受的剪力為

因此，可得各層單元剛度和質量矩陣表達式為

其中：ρk為各層材料的密度；“?”表示矩陣為復矩陣。

復合殼單元的剛度矩陣和質量矩陣為

上面推導了考慮層間變形關系下的復合殼單元的單元矩陣，而對于不考慮變形關系建模時，可假設為3 層均滿足Donnell's 薄殼理論，并令單元節點位移自由度為

這里黏彈性層的變形不再由基體層和約束層所表征，所以不再單獨考慮式（11）中黏彈性層剪切變形。各層的單元剛度矩陣和質量矩陣可表示為

2 基體單元和過渡單元推導

對于局部貼敷約束阻尼層圓柱殼結構，除包含貼敷約束阻尼層區域外還包含未貼敷區域。由于未貼敷區域的基體單元不包含約束層自由度，假如均利用復合單元進行組集，會出現總剛度矩陣奇異而無法求解的情況，故需要分開考慮這2 種單元。另外，由于有限元模型中貼敷區的復合單元和未貼敷區的基體單元的自由度不一致，直接將這2 種單元進行組集同樣存在困難。因此，本研究在貼敷區和未貼敷區之間構造了一種過渡單元來連接復合單元和基體單元，形成如圖4 所示的局部結構單元分布。

圖4 局部結構單元分布Fig.4 Element distribution of local structure

2.1 基體單元構造

圖4 中的未貼敷區只含有基體層，首先將復合殼單元中黏彈性層和約束層的參數設為0，得到矩陣，其維度為60×60。由于單矩陣格式較大，這里只列出單元內的第1 號節點的矩陣形式

2.2 過渡單元構造

圖4 中的過渡區也僅包含基體層，但此處的單元要同時與約束阻尼層單元和基體單元相連接。為確保相容性，在構造過渡單元時，需要保證5 號和6 號節點與約束阻尼單元節點自由度一致（每個節點15 個自由度），3 號和4 號節點與基體自由度一致（每個節點9 個自由度），這樣過渡單元各節點就存在不同的自由度。

3 有限元方程的建立及求解

3.1 彈性邊界條件的模擬

本研究的局部貼敷約束阻尼層圓柱殼的一側是通過螺栓固定在夾具上，因而圓柱殼受到的是一種彈性約束。參照文獻［15］，可將底部設置多個周向連續分布的彈簧組來模擬該彈性邊界條件，周向連續非均勻分布彈性約束圓柱殼模型如圖5 所示，彈簧組對應的彈簧剛度分別為kx，kθ，kw，kux和kwθ。

圖5 周向連續非均勻分布彈性約束圓柱殼模型Fig.5 Cylindrical shell model with circumferential continuous nonuniform distribution of elastic constraints

螺栓約束本質上是非均勻的，為模擬圓柱殼底部實際周向的非均勻性，假設連續分布的各彈簧剛度滿足余弦函數分布，即

其中：spr表示各邊界彈簧的方向；Kspr為彈簧單元剛度值的幅度；m為底部螺栓個數；?為螺栓影響區分布因子。

Kx，Kux，Kθ，Kw，Kwθ和?可通過實驗結果并基于分解的多目標進化算法（multi objective evolutionary algorithm based on decomposition，簡稱MOEA/D）進行反推辨識得到。

3.2 有限元分析

將復合圓柱殼單元、基體單元、過渡單元以及模擬彈性邊界的彈簧單元組合在一起，可形成局部貼敷約束阻尼層圓柱殼的自由振動頻域方程為

其中：K*為復合圓柱殼整體復剛度矩陣；Kspr為邊界彈簧剛度矩陣；M為整體質量矩陣；X?為特征向量；ω為自由振動角頻率。

4 實 例

4.1 問題描述

這里以局部貼敷約束阻尼層圓柱殼為例驗證本研究有限元建模方法。圖6 為自由端貼敷約束阻尼層圓柱殼結構，其基體層中性面直徑為450 mm，高度為210 mm，約束阻尼層貼敷在圓柱殼自由端，其高度為總高度的1/3，底部由18 個M12 規格的螺栓將圓柱殼固定在夾具上。復合圓柱殼各層材料參數如表1 所示。

表1 復合圓柱殼各層材料參數Tab.1 Material parameters of each layer of composite cylindrical shell

圖6 自由端貼敷約束阻尼層圓柱殼結構Fig.6 Cylindrical shell structure with constrained damping layer attached on free end

對復合圓柱殼的振動進行測試，測試結果用于校驗所提的有限元模型。貼敷后圓柱殼錘擊實驗測試系統如圖7 所示。采用PCB 模態力錘對復合殼進行激勵，Polytec PDV-100 激光測振儀對圖示激光位置進行拾振，LMS SCSDAS 便攜式數據采集前端用于獲取激勵和響應信號，基于測試獲得的頻響函數反推辨識出光殼的邊界條件，貼敷前后應確保邊界條件不發生改變。

圖7 貼敷后圓柱殼錘擊實驗測試系統Fig.7 Test system for hammering test of cylindrical shell after attached

4.2 模型驗證

分別使用ANSYS 工程有限元分析軟件及上述實驗來驗證考慮層間變形關系的復合殼有限元分析程序的合理性。選用Solid186 實體單元對局部貼敷約束阻尼層復合圓柱殼進行建模，共劃分7 392個單元，包含40 100 個節點。自編程序共劃分了288 個單元，包含336 個節點。針對2 種模型，圓柱殼底部均采用完全固定的約束，ANSYS 仿真模型如圖8 所示。固支狀態下復合圓柱殼前5 階固有頻率如表2 所示，其中fan和ffi分別為ANSYS 和自編程序獲得的固有頻率。

表2 固支狀態下復合圓柱殼前5 階固有頻率Tab.2 The first five natural frequencies of a composite cylindrical shell under clamped conditions

圖8 ANSYS 仿真模型圖Fig.8 ANSYS simulation model diagram

由表2 可以看出：基于這2 種模型計算的固有頻率結果較一致，前5 階固有頻率最大偏差為0.19%，但自編程序的單元數遠小于ANSYS 創建模型的單元數；在求解系統固有頻率方面，自編程序運算時間為36.325 s，ANSYS 仿真模型運算時間為61.3 s。由此可見，所研發的程序可顯著提升該類復合殼結構動力學計算的效率。

采用實驗結果進一步驗證含有彈性邊界約束時的自編有限元程序的合理性。通過實驗測得光殼前5階固有頻率，利用MOEA/D 算法反推辨識出用于模擬彈性約束的彈簧剛度值和分布因子，如表3 所示。

表3 模擬彈性約束的彈簧剛度值和分布因子Tab.3 Simulation elastic restraint spring stiffness values and distribution factors

將表3 中的彈簧單元參數及分布因子代入到考慮彈性邊界的貼敷約束阻尼層圓柱殼有限元分析程序中，復合圓柱殼前5 階固有頻率及與實驗的對比如表4 所示，實驗與理論計算獲得的前5 階模態振型對比如表5 所示。表4 中列出了2 種自編有限元分析結果，其中：fign和fctd分別為不考慮及考慮層間變形關系時計算獲得的復合圓柱殼固有頻率；fexp為實驗測得的固有頻率；為相應計算結果與實測值之間的偏差。

表4 彈性邊界復合圓柱殼前5階固有頻率及與實驗的對比Tab.4 The first five natural frequencies of composite cylindrical shells with elastic boundaries and comparison with experiments

表5 實驗與理論計算獲得的前5 階模態振型對比Tab.5 Comparison of the first 5 modes obtained by experiment and theoretical calculation

由表4，5 可知，采用本研究提出的考慮層間變形關系編制的有限元程序計算獲得的固有頻率與實驗最大偏差為3.75%，計算獲得的模態振型與實測基本一致，進一步證明了所研發的有限元程序的合理性。另外，從考慮及不考慮這種層間變形關系的分析結果對比來看，在約束阻尼復合殼動力學分析中，考慮層間變形關系得到的結果明顯更接近實驗結果，因而在實際分析時不應該忽略約束阻尼復合結構中黏彈性層的剪切變形。

4.3 參數影響分析

4.3.1 約束層厚度的影響

在僅改變分析模型約束層厚度的前提下，進行振動與阻尼分析。定義約束層與基體的厚度比，并取0.5，0.8，1.0 和1.5 這4 個值，固有頻率和模態損耗因子隨約束層厚度變化如圖9 所示。由圖可知：隨著約束層厚度hc的增加，復合殼的固有頻率在低階（1～2 階）有微小波動，而在高價（3～5階）表現出隨著約束層的厚度增加而變大的趨勢；損耗因子隨著約束層厚度hc的增加，在低階（1～2 階）逐漸增大，在高階（3～5 階）則出現隨著約束層的厚度增加先增大再減小的現象，即產生閾值效應。因此，并不是約束層越厚越有利于減振，這可能是由于較大的約束層阻尼厚度剛度較大，反而削弱了黏彈性層剪切變形。

圖9 固有頻率和模態損耗因子隨約束層厚度變化Fig.9 The natural frequency and modal loss factor vary with the thickness of the constrained layer

4.3.2 黏彈性層厚度的影響

不改變其他參數，僅改變模型的黏彈性層厚度，進行復合殼的振動與阻尼計算。定義黏彈性層與基體的厚度比為，并取0.5，0.8，1.0 和1.5 這4 個值，固有頻率和模態損耗因子隨黏彈性層厚度變化如圖10 所示。由圖可知：隨著黏彈性層厚度hv的增加，固有頻率值略有減少，說明黏彈性層厚度對固有頻率影響不大；損耗因子各階次均表現波動式增加，即當h'v等于0.5 和0.8 時，損耗因子變動不明顯，僅當厚度比h'v的變化梯度變大時，損耗因子才有明顯增加。可見，黏彈性阻尼層厚度只有達到較厚時，厚度增加才對減振有利，否則影響并不明顯。

圖10 固有頻率和模態損耗因子隨黏彈性層厚度變化Fig.10 The natural frequency and modal loss factor vary with the thickness of the viscoelastic layer

5 結論

1）針對局部貼敷約束阻尼圓柱殼，構造了一種4 節點60 自由度的復合殼單元，并進行了復合圓柱殼振動特性求解。計算結果分別與ANSYS 和實驗相比較，前5 階固有頻率值最大偏差分別為0.19%和3.75%，驗證了所提出有限元模型的合理性，可以在劃分較少單元的前提下獲得較高的精度。

2）為適應局部貼敷約束阻尼層圓柱殼結構有限元建模的需要，構造了過渡單元來連接復合殼單元和僅有基體的單層單元，實現了局部貼敷約束阻尼層圓柱殼總剛度及總質量矩陣的有效組集。該過渡單元是在不改變節點個數的前提下進行了自由度的縮減，實踐表明，該過渡單元可以很好地解決不同單元類型之間的連接問題。

3）在約束阻尼復合殼動力學分析中，考慮層間變形關系得到的結果與實驗結果的接近程度明顯好于不考慮的情況，因此在實際分析時不應該忽略約束阻尼復合結構中黏彈性層的剪切變形。

4）分析了約束層、黏彈性層厚度變化對局部貼敷約束阻尼圓柱殼結構振動特性的影響，結果表明：約束層達到一定厚度后，復合殼固有頻率會隨著厚度的增加而增大，部分模態損耗因子會隨著厚度的增大而減小；黏彈性層厚度對固有頻率影響不大，僅當厚度達到一定程度，才會出現隨著厚度的增加模態損耗因子顯著增大的現象。