平面滾珠絲杠副多結合面建模與動態特性分析?

李中凱，孫 冉，2，鄒光宇

（1.中國礦業大學機電工程學院 徐州，221116） （2.徐州威卡電子控制技術有限公司 徐州，221009）

引言

滾珠絲杠進給系統由于其高靈敏度、高效率、高精度等諸多優點，已成為當代進給系統中最常用的直線傳動機構。然而，滾珠絲杠是一種細長、低剛度元件，在外力作用下極易產生變形、振動和噪聲，這種絲杠傳動系統的位置精度和穩定性通常受到機械部件結構振動模態的限制，其動態特性對設備定位精度、傳動性能和故障診斷有著重要影響［1］。國內外許多學者圍繞滾珠絲杠進給系統進行了動力學建模與分析。陳勇將等［2］基于絲杠滾道面力與力矩的平衡方程，推導出載荷作用下滾珠絲杠副的剛度數學模型。蔣書運等［3］借助赫茲（Hertz）接觸理論計算滾珠絲杠副的結合面剛度，建立了動力學模型，并基于有限元法分析該模型的動態特性。楊勇等［4］基于鐵木辛柯梁假設，考慮絲杠軸的橫向剪切，建立絲杠與工作臺系統動力學模型。朱堅民等［5］建立進給系統結合面等效彈簧的有限元模型，討論了機械結構參數變化對進給系統動態特性的影響。現有研究方法雖然較好地分析了滾珠絲杠副動態特性，但還存在一些不足，例如：結合面接觸剛度考慮不充分，有限元建模時簡化較大，沒有模態試驗佐證理論模型或沒有對之前的試驗結果對比分析等。針對上述問題，筆者以x-y平面滾珠絲杠副為研究對象，基于吉村允孝法和Hertz 接觸理論計算結合面剛度，忽略阻尼對固有頻率的微小影響，使用等效彈簧單元將模型簡化，建立進給系統的多結合面動力學模型。進一步根據有限元法、對比研究和應用研究，驗證了所建立模型的正確性。

1 進給系統動態建模

圖1 所示為帶滾珠絲杠副的x-y軸進給系統結構，通過滾珠絲杠副和直線導軌副的組合實現工作臺x-y方向的進給。其中：S為滑塊間距；D1為下導軌間距；D2為上導軌間距。S，D1，D2與系統總質量M，共同構成平面滾珠絲杠副的主要可調節參數。

圖1 x-y 軸進給系統結構示意Fig.1 Structure of x-y axis feeding system

1.1 固定結合面接觸剛度與等效彈簧單元

固定結合面接觸壓力源于其上結構部件的重力和螺栓聯結的預緊力，預緊力的大小取決于螺栓組的強度和聯結要求。螺栓設計的原則是保證所要求的預緊力，并且連接的結構尺寸不宜過大。螺栓預緊力的推薦值為

其中：σL為螺栓材料屈服點；，為螺栓應力截面積，dL為螺紋的基本小徑。

平均接觸壓力為

其中：n為結合面聯結螺栓數量；M為結合面承受結構部件重力；A為實際結合面積。

運用吉村允孝法［6］可以計算出固定結合面之間的參數，假設接觸面上任意無窮小接觸面為N，接觸面積為dxdy，其上所受壓力可認為均布為P，則接觸面N上動態特性等效剛度參數值為

其中：k1，k2分別為結合面相應等效參數系數，可根據壓力P查到［7］；A為結合面的面積。

每個固定結合部采用4 組并聯彈簧單元將兩接觸面相連。

1.2 滾動結合面接觸剛度與等效彈簧單元

滾珠絲杠副在外載荷作用下，滾珠與接觸面發生彈性變形，此時在壓力作用下形成的接觸變形可看作兩曲面的點接觸形式。基于Hertz 接觸理論［8］探究平面進給系統滾動結合面的受力方向與受力類型，將其等效為接觸面彈簧單元。點接觸的兩物體，在負載Q的作用下，由Hertz 理論得

接觸剛度為

其中：K，a為Hertz 接觸系數，與主曲率函數F(ρ)的值有關，可在文獻［9］中查到；u1，u2為泊松比；E1，E2為彈性模量；ρ為接觸處主曲率。

1.2.1 單螺母組件接觸剛度與等效彈簧單元

滾珠絲杠受力與變形如圖2 所示。由圖2（a）可知，滾珠與絲杠滾道面、螺母滾道面的接觸點分別為S和N，滿足Hertz 接觸理論的假設條件。根據靜力學平衡，當螺母受載荷作用力F時，假設法向力大小為P，接觸角為β，螺旋角為λ，根據滾珠受力均等，得

圖2 滾珠絲杠受力與變形圖Fig.2 Stress and deformation diagram of ball screw

在法向力P的作用下，滾珠與絲杠滾道面、螺母滾道面接觸點所產生的位移如圖2（b）所示，則軸向總變形量δL與徑向變形量δJ分別為

對于滾珠絲杠副而言，滾珠與絲杠滾道面、螺母滾道面接觸處的主曲率和分別為

其中：r為單個滾珠直徑；t為滾道曲率比；d為滾珠絲杠直徑。

根據文獻［10］，取滾珠絲杠螺母承受軸向載荷為12.75 kN，徑向載荷為0.436 kN，由式（7）得其軸向剛度與徑向剛度。考慮到絲杠螺母有3 列滾珠環繞，因此用3 個截面等效，則絲杠螺母軸向和徑向均勻分布6×3 根等效彈簧單元將絲杠與螺母相連，每個彈簧單元的剛度為結合部剛度的1/18。

1.2.2 軸承的接觸剛度與等效彈簧單元

在滾珠絲杠進給系統中，固定端采用成對角接觸軸承串聯安裝方式，支撐端采用單個角接觸軸承。

1）單軸承剛度計算。假設軸承軸向預緊力為Fa，根據單個軸承水平方向受力平衡，各滾珠法向接觸載荷為

軸承徑向受力，相鄰兩滾珠夾角為ψ，軸向預緊力Fa作用下，滾珠的等效徑向作用為FJ。根據豎直方向受力平衡，得各滾珠徑向接觸載荷為

滾珠與外圈滾道面、內圈滾道面接觸點所產生的接觸變形δS，δN如式（9）和式（10）所示，得出滾珠與軸承內外接觸面的變形量為

其中：kn為軸承接觸變形常數。

查閱軸承相關參數，根據式（7）和式（15）可得載荷作用下軸向位移和軸向剛度。

2）配對軸承剛度計算。配對軸承串聯安裝，兩軸加載預緊力為F，軸承的形變量為δa。當在軸承I上作用軸向力Fa時，產生軸向變形δx，此時軸承Ⅰ，Ⅱ總的軸向變形量和總的軸向載荷為

由式（19）可得F1和F2，根據力平衡條件得

當配對角接觸軸同時承受軸向預緊力F和徑向力Fr時，軸承外圈中線相對內圈中心，在軸向和徑向相對平移了δx和δr，軸承內圈滾道上距離最大載荷滾珠ψ處相對軸承外圈的最大形變量為

由式（15）可得

根據徑向力平衡條件可得

根據式（7）可得配對軸承軸向剛度和徑向剛度。考慮到單軸承有1 列滾珠，用1 個截面等效。絲杠和軸承結合部均勻分布4 根等效彈簧單元，將絲杠與軸承相連，每個彈簧單元剛度為結合部軸向剛度和徑向剛度的1/4，配對軸承有2 列滾珠，用2 個截面等效。絲杠和軸承結合部均勻分布4×2 根等效彈簧單元將絲杠與軸承相連，每個彈簧單元剛度為結合面軸向與徑向剛度的1/8。軸承彈簧單元模型如圖3 所示。

圖3 軸承彈簧單元模型Fig.3 Bearing spring unit model

1.2.3 導軌副結合面建模及其特性參數獲取

導軌副彈簧單元模型如圖4 所示。由圖4（a）可知，滑塊受到力Fn作用，各滾珠的受力分別為F1，F2，F3和F4，其中：F1=F2；F3=F4；α為滾珠與滾道面間的接觸角。由靜力平衡條件得

圖4 導軌副彈簧單元模型Fig.4 Guide rail pair spring unit model

由Hertz 接觸理論與力學疊加原理得

其中：n為單列滾道的滾珠數；F0為預緊力作用下單個滾珠的法向力。

在預壓載荷Fn作用下，上排滾珠的變形量為δs，下排滾珠的變形量為δn，滑塊在豎直方向的位移為δv，由變形協調方程得

由式（27）可得單個滾珠在預緊力作用下的初始變形量δ0。滾珠與導軌滾道面、滑塊滾道面接觸處的主曲率和分別為∑Ps和∑Pn，由式（11）、式（12）可計算其值。滾珠與滾道面接觸處的4 個主曲率中，ρ22的值應為0，繼而求得δs和δn。

根據已知參數與公式，導軌副結合部的法向剛度為

滾動導軌副結合部的切向剛度為

根據滾動導軌副相關計算參數，由式（29）可得其結合面剛度計算的結果。因此，滾動導軌副均勻分布4 根等效彈簧單元將滑塊與導軌相連，每個彈簧單元的法向剛度與切向剛度分別為結合部剛度的1/4，如圖4（b）所示。

2 物理試驗驗證

2.1 有限元建模與模態分析

根據上面提出的彈簧單元模型，將滾珠絲杠進給系統在ABAQUS 軟件中設置面與面的接觸，將結合面看作是中間有彈簧連接。仿真彈簧單元參數設置數據來源于上述關于結合面接觸剛度的計算，不同物體在接觸時都不是完全固定住的，其聯結強度取決于結合面上的壓力與螺栓預緊力。分布壓力與螺栓預緊力越大，計算的彈簧接觸剛度也越大，連接的越緊固；結合面剛度越大，則有限元仿真模型的固有頻率越大。在ABAQUS 中使用Complete analysis 提交作業，對模型進行模態分析，進給系統理論模態分析結果如表1 所示（以圖1 坐標系為參考）。

表1 進給系統理論模態分析結果Tab.1 Theoretical modal analysis results of feed system

2.2 模態試驗驗證

對滾珠絲杠進給系統進行模態試驗，現場試驗如圖5 所示，使用的測試系統主要有LC02 型力錘、1A116E 型和1A108 型IEPE 壓電式單向加速度傳感器、DH59220D 動態數據采集儀和DHDAS 動態信號模態分析系統。

圖5 現場試驗圖Fig.5 Field test diagram

采用沖擊錘單點激勵法，試驗選用單自由度傳感器，布置了52 個測試點，共測得390 個頻響函數，經過重復分析計算，最終建立的試驗穩態圖如圖6所示。

圖6 試驗穩態圖Fig.6 Test steady state diagram

模態仿真與試驗結果對比如表2 所示。為了進一步驗證誤差結果的可靠性，分別建立集中質量與反向間隙+動態特性響應試驗（方法1［11］）、分形理論與Hertz 理論+模態試驗（方法2［12］）以及Hertz 理論、吉村允效法+模態試驗（方法3，即本研究方法），不同方法對結合面理論模型驗證方案對比如表3 所示。通過分析發現，文獻［11］運用集中質量建模與反向間隙研究固有頻率誤差偏小，分形理論+Hertz 理論研究［12］與Hertz 理論+吉村允效法對比結果較近，但由于方法1 與方法2 計算模型非常小，所以方法3 的結合面剛度計算誤差較小，對幾何模型的簡化效果較好。

表2 模態仿真與試驗結果對比Tab.2 Comparison of modal simulation and test results

表3 不同方法對結合面理論模型驗證方案對比Tab.3 Comparison of verification schemes of theoretical model of joint surface by different methods

仿真與試驗模態振型對比如圖7 所示，可以看出，每階理論模態振型與對應仿真模態振型沿固定方向的扭轉與振動基本一致，為研究進給系統動態特性影響因素提供了基礎。

圖7 仿真與試驗模態振型對比圖Fig.7 Comparison between simulation and test modes

3 動態特性影響因素

3.1 工作臺質量的影響

工作臺的位置見圖1，保持其他參數不變，在ABAQUS 中分別計算不同工作臺質量下對應的各階固有頻率。工作臺質量的影響如圖8 所示。

圖8 工作臺質量的影響Fig.8 The influence of workbench mass

可以看出，各階頻率隨著工作臺質量的增大而下降。第1，3 階固有頻率受工作臺質量的影響較小，而第2，4，5 階受工作臺質量的影響較大。這是由于固有頻率正比于，各階頻率下降的快慢反映了工作臺質量對各階頻率值影響的權重。

3.2 滑塊間距的影響

設置滑塊間距離為S（40～120 mm），其他參數不變，在ABAQUS 中分別計算不同間距下的各階固有頻率變化，滑塊間距的影響如圖9 所示。在滑塊間距變化的過程中，第1，3，4 階固有頻率基本保持不變，而第2，5 階固有頻率隨著滑塊間距的增大明顯上升。第1 階振型為繞z軸的扭轉振動和沿z軸的軸向振動的耦合，第3 階振型為沿y軸的軸向振動，第4 階振型為沿z軸的軸向振動和繞y軸的扭轉振動的耦合，這3 階振型受滑塊間距影響較小，所以固有頻率變化很小。當滑塊間距小于40 mm 時，每階固有頻率變化與上述規律一致，當滑塊間距大于120 mm 時，受到底板和連接板尺寸的制約，其固有頻率變化需重新分析有限元模型。

圖9 滑塊間距的影響Fig.9 The influence of the distance between sliders

3.3 導軌間距的影響

設置下導軌的間距為D1，上導軌的間距為D2，其他參數不變，在ABAQUS 中分別計算上下導軌間距變化對各階固有頻率的影響。導軌間距D1變化的影響如圖10 所示，由圖可知，增大導軌間距D1，系統第1，3 階固有頻率上升較快，而第2，4，5 階頻率基本保持不變。這是由于導軌間距D1影響繞z軸扭轉剛度，同時間距增大使得進給系統y軸的軸向剛度增大，所以第1，3 階固有頻率變化顯著，而對x和y軸扭轉以及z軸軸向位移影響較小，所以第2，4，5 階固有頻率變化曲線平直。

圖10 導軌間距D1變化的影響Fig.10 The influence of the change of the distance between guide rails D1

增大導軌間距D2，系統第2，4 階固有頻率上升較大，而第1，3，5 階頻率基本保持不變。這是由于導軌間距D2影響繞y軸的扭轉，所以第2，4 階頻率變化顯著，而對x和z軸的扭轉以及y軸的軸向位移影響較小，所以第1，3，5 階固有頻率變化較小。

3.4 結果分析

1）進給系統第1，3 階振型為絲杠的彎曲形變，對其固有頻率影響最大的是導軌間距D1，增大D1能有效地提高其固有頻率，工作臺質量對其有影響，而滑塊間距S和導軌間距D2對其影響甚微。

2）進給系統第2 階振型為繞y軸的扭轉，工作臺質量、滑塊間距S和導軌間距D2對其影響很大，減小工作臺的質量，增大S與D2均能有效地提高其固有頻率。

3）進給系統第4 階振型為沿z軸的軸向振動和繞y軸的扭轉振動的耦合，工作臺質量和導軌間距D2對其影響很大，減小工作臺的質量，增大D2均能有效地提高其固有頻率。

為滿足結構運行尺寸需要，避免結構共振情況，保證系統運行穩定性，給出進給系統結構設計范圍值如表4 所示。

表4 進給系統結構設計建議值Tab.4 Suggested values for the structure design of the feed system

3.5 實例驗證

筆者設計了醫用剪刀毛坯上料設備，根據以上模態分析與動態特性影響因素的研究，因各階固有頻率隨著工作臺質量的增大而下降，應盡量使工作臺質量小一些，同時還需要考慮承載件規格與結構穩定性。因滑塊間距S的變化對系統1，3，4 階固有頻率影響甚小，在滑塊間距設計時應考慮配合構件尺寸與空間利用率。因導軌間距D1增大時，系統第1，3 階固有頻率上升較快，設計時應盡量使D1大一些，同時要考慮工作現場的尺寸范圍與結構構件之間的配合。導軌間距D2變化時，系統第1，3，5 階固有頻率影響相對較小，設計D2時應考慮協同配件規格與空間的合理利用。

優化平面進給系統設計尺寸和設法減小結構的質量，擬定平面進給系統設計參數如表5 所示。交流伺服電機的固有頻率為50 Hz，前文已使用錘擊法依據此進給系統驗證了有限元模型的正確性，即驗證了本研究給出的工作臺質量、滑塊間距及導軌間距等的建議值。采用雙滾珠絲杠副平面進給系統改變物體輸送軌跡，將其從初始位置放置到目標位置，現場試驗測試如圖11 所示。絲杠運行速度為200～600 mm/s，經過150 次反復試驗，沒有出現位置偏差與結構共振，且保持運行平穩、高效率和低噪聲，滿足高質量、高可靠性和低成本的設計要求。

表5 平面進給系統設計參數Tab.5 Plane feed system design parameters

圖11 現場試驗測試Fig.11 Field test

4 結論

1）建立帶滾珠絲杠副的x-y軸平面進給系統各固定結合面和滾動結合面的等效彈簧單元模型，基于吉村允孝法和Hertz 接觸定理計算得到各結合面的接觸剛度。

2）建立進給系統有限元模型，該模型考慮到各結合面的接觸剛度，采用結構化或掃掠中性軸算法劃分網格，仿真得到前5 階固有頻率和模態振型，對系統進行模態試驗驗證，固有頻率的誤差在10.7%以內，驗證了有限元模型的合理性。

3）基于有限元模型，分析了工作臺質量、滑塊間距以及導軌間距對平面進給系統動態特性的影響。依據所獲得的合面剛度物理規律，開展了醫療剪刀滾珠絲杠平面進給機床的設計工作，所獲得的設計參數有效避免了各階固有頻率的共振，保證了滾珠絲杠副進給系統工作的穩定性。