一種進(jìn)給伺服系統(tǒng)非線性PID交叉耦合控制

路勇良，趙軍，李莉莉，張振，劉青華

(1.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東濟(jì)南 250061；2.山東大學(xué)機(jī)械工程國家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心，山東濟(jì)南 250061；3.山東蒂德精密機(jī)床有限公司，山東濟(jì)寧 272000)

0 前言

數(shù)控機(jī)床輪廓跟蹤控制涉及到位置伺服控制和輪廓誤差控制等相關(guān)方面[1-2]。截至目前，針對(duì)位置伺服控制已有多種控制策略，如PID控制[3]、最優(yōu)控制[4]、迭代學(xué)習(xí)控制[5]、模糊邏輯控制[6]等，這些控制策略均以提高位置環(huán)的跟蹤控制性能作為首要任務(wù)。因?yàn)槎噍S運(yùn)動(dòng)中伺服進(jìn)給系統(tǒng)各軸在動(dòng)態(tài)性能方面存在著較大的差異，所以僅對(duì)單軸位置伺服控制進(jìn)行研究無法保證加工過程中的輪廓跟蹤精度。針對(duì)上述問題，目前最常用的方法即為交叉耦合控制(Cross-Coupled Control，CCC)[7-8]。

自抗擾控制 (Active Disturbance Rejection Control，ADRC)由韓京清[9]提出，相對(duì)于傳統(tǒng)PID控制，該控制策略在減小信號(hào)擾動(dòng)、實(shí)現(xiàn)信號(hào)擾動(dòng)估計(jì)和補(bǔ)償?shù)确矫嫘阅芏加酗@著的提升。

交叉耦合控制主要分為以下4類：基于任務(wù)坐標(biāo)系的多變量的CCC，基于無源性的CCC，基于輪廓誤差傳遞函數(shù)的CCC和基于頻域法的傳統(tǒng)CCC。其中基于頻域法的傳統(tǒng)CCC結(jié)構(gòu)中大多采用PID控制器，但是相對(duì)于多軸運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，傳統(tǒng)PID控制器在信號(hào)抗干擾、輪廓跟蹤控制方面均存在一定的不足之處。

本文作者結(jié)合自抗擾控制原理，設(shè)計(jì)一種適用于位置閉環(huán)反饋控制和輪廓誤差補(bǔ)償控制器的新型自抗擾非線性PID控制器 (TNP-ADRC)。與傳統(tǒng)PID控制器進(jìn)行比較，在MATLAB/Simulink中完成對(duì)2種控制方法的伺服進(jìn)給系統(tǒng)建模，并進(jìn)行位置信號(hào)跟蹤和理論圓軌跡輪廓誤差的仿真模擬，從而驗(yàn)證所設(shè)計(jì)的控制器在信號(hào)跟蹤和提高輪廓加工精度方面具有良好的性能。

1 交叉耦合輪廓控制

交叉耦合輪廓控制模型系統(tǒng)地闡述了基于兩軸運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)輪廓誤差補(bǔ)償?shù)慕徊骜詈峡刂疲和ㄟ^輪廓誤差計(jì)算模型對(duì)輪廓誤差ε進(jìn)行實(shí)時(shí)估算，并將ε值作為交叉耦合控制器的輸入量進(jìn)行控制，然后經(jīng)由輪廓誤差分配模型將誤差修正量分配到各運(yùn)動(dòng)軸，從而實(shí)現(xiàn)各軸的協(xié)同控制。

在基于位置環(huán)的頻域法交叉耦合控制結(jié)構(gòu)中，位置環(huán)與CCC相互分離，故可以將CCC應(yīng)用到已有的位置控制系統(tǒng)中，且無需對(duì)位置環(huán)內(nèi)部做任何調(diào)整。

1.1 直線型輪廓誤差模型

當(dāng)理論軌跡為一條直線時(shí)，數(shù)控機(jī)床執(zhí)行末端當(dāng)前位置點(diǎn)到理論軌跡的距離可以精確獲得。直線型輪廓誤差模型如圖1所示，計(jì)算公式如下：

ε=-Exsinθ+Eycosθ=-ExCx+EyCy

(1)

式中：θ是直線與x軸的夾角；Ex和Ey分別為x軸與y軸的跟隨誤差。

1.2 圓弧型輪廓誤差模型

圓弧型輪廓的輪廓誤差是位置點(diǎn)到圓心的實(shí)際距離和圓弧半徑之間的差值，如圖2所示，其幾何關(guān)系可以依據(jù)下式來確定：

圖2 圓弧軌跡輪廓誤差模型

(2)

式中：θ是瞬時(shí)切線參考位置與x軸之間的角度。上式可通過泰勒展開式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(3)

通常軸向跟蹤誤差比圓半徑小得多，因此，公式中的高階項(xiàng)Ex、Ey可以忽略不計(jì)，從而便可以得到式(1)。針對(duì)小半徑或高速圓形輪廓的進(jìn)行輪廓誤差計(jì)算時(shí)，采用式(4)代替式(1)計(jì)算輪廓誤差[10-11]：

(4)

(5)

(6)

式(4)對(duì)線性輪廓和圓形輪廓均有效，Cx、Cy為交叉耦合增益。

2 基于NLPID的自抗擾交叉耦合控制

傳統(tǒng)的PID控制形式為誤差的現(xiàn)在(P)、過去(I)和將來(變化趨勢(shì)D)的線性組合，顯然這種線性組合不是最佳的組合形式，可以在非線性范圍內(nèi)尋求更合適、更有效的組合形式。

2.1 基于NLPID的自抗擾位置伺服控制器

針對(duì)傳統(tǒng)PID控制器所存在的起始誤差大、對(duì)強(qiáng)耦合的系統(tǒng)控制效果差、控制精度不理想等缺陷，結(jié)合實(shí)際生產(chǎn)加工需求，提出了一種基于NLPID的自抗擾位置伺服控制器 (TNP-ADRC)。其結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 TNP-ADRC結(jié)構(gòu)

其中：vi(k) 是x、y軸的參考輸入位置；vix(k)是vi(k)的位置跟蹤信號(hào)；viy(k)是vix(k)的微分信號(hào)；yi(k)是x、y軸實(shí)際的位置輸出點(diǎn)；b0是信號(hào)的已知部分參數(shù)；ui(k)是x、y軸的控制量；zix(k)是yi(k)的位置跟蹤信號(hào)；ziy(k)是zix(k)的微分信號(hào)；ui(k)為x、y軸的控制量。

2.2 非線性跟蹤微分器(NLTD)

對(duì)輸入?yún)⒖嘉恢眯盘?hào)進(jìn)行預(yù)處理，引入非線性微分跟蹤器Ⅰ[12]。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(7)

式中：h是采樣周期；δ為決定跟蹤快慢的參數(shù)；v(k)是第k時(shí)刻的輸入信號(hào)。fst(*)是最速控制綜合函數(shù)：

(8)

(9)

為實(shí)現(xiàn)對(duì)x、y軸實(shí)際的位置輸出點(diǎn)yi(k)的跟蹤，并且獲得實(shí)際速度信號(hào)ziy(k)的精確估計(jì)值，引入微分跟蹤器Ⅱ[13]。其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

(10)

式中：ri2是速度因子；hi2是濾波因子。

2.3 非線性擴(kuò)張觀測(cè)器

為實(shí)現(xiàn)對(duì)未知不確定性和外加干擾的補(bǔ)償，引入非線性擴(kuò)張觀測(cè)器[14]。其數(shù)學(xué)表達(dá)式：

(11)

式中：βi>0(i=1，2，3)；α1=0.5；α2=0.25。fal(e,α,δ)為飽和函數(shù)，其作用是抑制信號(hào)抖振，數(shù)學(xué)表達(dá)式為

(12)

可推得：z1(t)→x1(t)，z2(t)→x2(t)，z3(t)→x3(t)=f1(x1，x2)+(b-b0)u(t)。

2.4 非線性控制

依據(jù)跟蹤微分器Ⅰ、跟蹤微分器Ⅱ所輸出的信息，可得到3個(gè)變量，分別為ei0(k)、ei1(k)、ei2(k)，其分別對(duì)應(yīng) PID控制中的比例、積分和微分，各自表達(dá)式如下：

(13)

對(duì)其進(jìn)行非線性組合可以得到：

ui(k)=β0fal(e0(k),α0,δ)+β1fal(e1(k),α1,δ)+β2fal(e2(k),α2,δ)

(14)

式中：β0、β1、β2分別為P、I、D非線性項(xiàng)的增益系數(shù)；δ是常數(shù)并且滿足δ>0，0≤α0≤α1≤1≤α2；fal函數(shù)的形式為

(15)

2.5 基于NLPID的變?cè)鲆娼徊骜詈峡刂撇呗?/h3>

采用非線性PID作為補(bǔ)償控制器，設(shè)計(jì)基于NLPID的變?cè)鲆娼徊骜詈峡刂破?CNP)結(jié)構(gòu)代入傳統(tǒng)交叉耦合(CCC)結(jié)構(gòu)中，見圖4。

圖4 基于NLPID的按比例分配輪廓誤差變?cè)鲆?交叉耦合控制

根據(jù)式(4)得到當(dāng)前時(shí)刻的輪廓誤差ε(k)，進(jìn)而得到：

(16)

(17)

u(k)=βc0fal(ε0(k)，αc0，δc)+βc1fal(ε1(k)，αc1，δc)+βc2fal(ε2(k)，αc2，δc)

(18)

ucx(k)=Cxu(k)，ucy(k)=Cyu(k)

(19)

Ux(k)=ux(k)-ucx(k)，Uy(k)=uy(k)-ucy(k)

(20)

式中：u(k)為非線性誤差耦合控制量；ucx(k)和ucy(k)分別為x軸和y軸的輪廓誤差反饋控制量；ux(k)和uy(k)分別為x軸和y軸的位置跟蹤控制量；Ux(k)和Uy(k)分別為x軸和y軸的最終補(bǔ)償控制輸入量；βc0、βc1、βc2分別為P、I、D非線性項(xiàng)的增益系數(shù)。

采用按比例分配輪廓誤差，這種方法能夠保證各軸附加的補(bǔ)償作用沿輪廓誤差方向，而且不需要通過試湊不斷修改權(quán)值，避免盲目性操作。

比例系數(shù)C′x、C′y：

C′x=εx/|ε|

(21)

C′y=εy/|ε|

(22)

式中：

(23)

3 仿真驗(yàn)證

TNP-ADRC交叉耦合控制方法中單軸跟蹤控制器TNP-ADRC結(jié)構(gòu)如圖3所示，Simulink結(jié)構(gòu)建模見圖5，交叉耦合控制器采用圖4所示的變?cè)鲆娼Y(jié)構(gòu)。

圖5 TNP-ADRC在MATLAB/Simulink中的建模

將所提出的方法 (以下簡(jiǎn)稱TNP-ADRC交叉耦合控制)與基于傳統(tǒng)PID單軸跟蹤控制器交叉耦合控制 (TPCP)分別進(jìn)行位置指令信號(hào)跟蹤和模擬理論圓軌跡輪廓誤差變化情況2組對(duì)比仿真實(shí)驗(yàn)。

3.1 位置指令信號(hào)跟蹤

所針對(duì)的被控對(duì)象為

(24)

(25)

取位置指令為幅值1.0的方波信號(hào)。

取采樣間隔為h=0.01，非線性微分器Ⅰ參數(shù)取δ=10；非線性微分器Ⅱ的參數(shù)r12=r22=500，h12=h22=0.01；擴(kuò)張觀測(cè)器中，取β11=β21=100，β12=β22=300，β13=β23=1 000，δ=0.002 5，α11=α21=0.5，α12=α22=0.25；非線性PID控制器中，α10=α20=-0.5，α11=α21=0.75，α12=α22=1.5，β10=β20=0，β11=β21=300，β12=β22=5，δ=0.02。

基于傳統(tǒng)PID控制的單軸跟蹤控制器參數(shù)選取為Kp1=Kp2=260，Kd1=Kd2=5，Ki1=Ki2=5。基于PID的交叉耦合控制器參數(shù)選取Kpc=90，Kic=5，Kdc=5。

在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行位置信號(hào)跟蹤，仿真結(jié)果如圖6和圖7所示。

圖6 基于TNP-ADRC控制的方波響應(yīng)

圖7 位置跟蹤誤差波動(dòng)對(duì)比

3.2 輪廓誤差軌跡跟蹤

將整個(gè)數(shù)控機(jī)床進(jìn)給伺服系統(tǒng)近似為一個(gè)五階系統(tǒng)。由于高階系統(tǒng)的分析研究比較繁瑣，因此對(duì)高階系統(tǒng)進(jìn)行降階處理，轉(zhuǎn)化為一個(gè)等效低階系統(tǒng)[15]：

G(s)=

(26)

對(duì)上述進(jìn)給伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，見圖8。

圖8 傳遞函數(shù)極點(diǎn)分布(a)和伺服系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性(b)

從圖8中可以看出：進(jìn)給伺服系統(tǒng)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)都分布在復(fù)平面的左半部分，由此可知進(jìn)給系統(tǒng)穩(wěn)定。

將文中所提出的TNP-ADRC交叉耦合系統(tǒng)和TPCP交叉耦合系統(tǒng)分別在MATLAB/Simulink環(huán)境下進(jìn)行建模，見圖9和圖10。理論圓軌跡和輪廓誤差的變化如圖11所示。

圖9 TPCP交叉耦合控制模型

圖10 TNP-ADRC交叉耦合控制模型

圖11 理論圓軌跡(a)和輪廓誤差的變化(b)

通過上述仿真試驗(yàn)及對(duì)比表1中的相關(guān)數(shù)據(jù)可知：相比于傳統(tǒng)TPCP交叉耦合控制，采用TNP-ADRC的控制結(jié)構(gòu)在平均值、最大值和均方根上分別減小了28.9%、20.9%、13.3%，這是因?yàn)門NP-ADRC在自抗擾控制結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，還增加了非線性觀測(cè)器Ⅱ來實(shí)現(xiàn)對(duì)位置信號(hào)的快速追蹤。

表1 理論圓軌跡運(yùn)動(dòng)實(shí)驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié)論

文中設(shè)計(jì)了一種TNP-ADRC交叉耦合控制方法，并利用MATLAB/Simulink仿真平臺(tái)與傳統(tǒng)PID單軸控制器交叉耦合控制 (TPCP)進(jìn)行了位置信號(hào)跟蹤和針對(duì)理論圓軌跡加工輪廓進(jìn)行對(duì)比仿真。 實(shí)驗(yàn)證明相比于傳統(tǒng)TPCP交叉耦合控制，采用TNP-ADRC：的控制方法在平均值、最大值和均方根上分別減小了28.9%、20.9%、13.3%，這是因?yàn)門NP-ADRC在自抗擾控制結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，還增加了非線性觀測(cè)器Ⅱ來實(shí)現(xiàn)對(duì)位置信號(hào)的快速追蹤。