不對中-碰摩轉子系統動力學響應分析

張凌云，劉忠，劉俊杰，熊中剛，呂勇

(1.桂林航天工業學院機電工程學院，廣西桂林 541004；2.桂林航天工業學院廣西特種工程裝備與控制重點實驗室，廣西桂林 541004；3.塔里木大學機械電氣化工程學院，新疆阿拉爾 843300)

0 前言

隨著機械系統不斷朝著高速化、高精度化的方向發展，軸承-轉子系統作為旋轉機械的重要組成部分，其非線性行為逐漸凸顯，特別是對多重非線性耦合的復雜機制缺少認識，導致對監測系統展現出來的異常振動現象無法作出正確的辨識及解釋，致使旋轉機械系統故障診斷與檢測水平的提高受到了很大的限制，因此，對復雜故障耦合轉子系統動力學特性的研究，在旋轉機械系統異常運行故障診斷和監測領域尤為重要。

近年來，國內外學者針對油膜振蕩失穩、不對中及不平衡故障轉子系統動力學響應開展了一系列研究。陳果[1]研究了不平衡-碰摩耦合故障轉子系統的分岔與混沌特征，分析了系統通過倍周期通向混沌的路徑。李自剛等[2]研究了存在交角不對中和質量不平衡的轉子系統，結果表明：在較低轉速時，系統主要呈現出與轉速同步的周期運動，隨著轉速的提高，周期響應在某些參數域出現分岔、跳躍以及混沌等非線性現象。PATEL、DARPE[3]分析了聯軸器不對中系統在3種不同不對中情況下的振動特性。PENNACCHI等[4]通過分析軸心軌跡和頻譜圖的特征，揭示了不對中轉子系統的一些非線性響應行為。BOUAZIZ等[5]通過對不對中故障轉子系統進行研究發現，角度不對中故障頻譜圖主要由2倍頻與4倍頻成分組成。楊洋等人[6]以存在齒式聯軸器不對中和轉盤不平衡耦合條件下的轉子系統為模型，圍繞聯軸器不對中度、轉軸幾何結構變化時，研究該類轉子系統的幾何非線性行為。肖漢等人[7]利用有限元法對非線性油膜力影響下不平衡-不對中-碰摩耦合故障的滑動軸承-轉子系統展開研究，提出了一種微分耦合經驗模態分解的方法，對耦合故障頻率混疊進行分解，為獲取耦合故障的頻率特性提供了理論基礎。PATEL、DARPE[3，8]利用 Timoshenko 梁理論建立了含平行不對中和角度不對中轉子系統的有限元模型，針對不對中轉子系統的彎曲和扭轉耦合振動特性進行實驗，表明通過軸心軌跡和全譜分析可區分不對中故障和其他故障，從而給出相應的故障診斷依據。

以往的研究大多采用有限元法對此類轉子的振動幅值和頻域進行研究，未對轉子與定子的碰摩類型進行辨識，并且對碰摩力的大小和發生碰摩的占比未進行量化表征。本文作者用四階Runge-Kutta數值積分法對含不對中-碰摩-不平衡耦合的強非線性系統進行求解，得出不同參數下系統對應的響應圖，研究不同轉速時系統對應的振動特征與分岔特性；最后，通過改變軸承間隙、潤滑油黏度等系統參數，辨識出系統參數對轉子系統動力學響應的影響，得到轉子系統參數與系統周期運動合理的匹配區間。

1 系統動力學模型

如圖1所示，轉子系統通過齒式聯軸器與電機相連，以此獲得外部驅動力。此模型中聯軸器存在不對中故障，數學模型見后文。質量分布均考慮為集中質量，轉盤的兩側通過滑動軸承對稱支撐。

圖1 不對中-碰摩耦合轉子系統模型

其中：O為坐標軸中心；O1為軸承內瓦幾何中心；O2為轉子的幾何中心；m1為轉盤集中在軸承處的質量；m2為轉盤的質量；c1為軸承的阻尼系數；c2為轉盤的阻尼系數；e為轉子質心的偏心距；轉軸的剛度系數為k；定子碰摩剛度為kc；δ1表示轉盤與定子的徑向間隙。

1.1 不對中-碰摩耦合轉子系統動力學方程

設左端軸頸的徑向位移為X1和Y1，轉盤的徑向位移為X2和Y2，PX、PY為轉子與定子產生的碰摩力，FX1、FY1為軸承支撐的油膜力，FZX、FZY為聯軸器不對中作用力，ω為旋轉角速度(左視圖順時針為正轉)。通過Lagrange方程得到不對中-碰摩耦合故障作用時系統的動力學方程為

(1)

1.2 非線性油膜力

文中滑動軸承采用CAPONE的短軸承油膜力模型[9]，得到量綱一化后的油膜力：

(2)

式中：σ為Sommerfeld修正系數。

(3)

其中：

(4)

式中：μ為潤滑油黏度；D為軸承直徑；c為軸承間隙；x1和y1分別為軸瓦幾何中心在X軸方向和Y軸方向的徑向位移。

1.3 碰摩力模型

圖2為圖1轉子系統的左視圖，滑動軸承-轉子系統碰摩力模型，轉盤中心的初始位置為O，當轉盤徑向位移δr>δ1時，定子產生碰摩力作用，碰摩過程中產生徑向力Pn和切向力Pt可以表示為

圖2 碰摩力模型

(5)

將以上碰摩力分解到X軸方向和Y軸方向分別為

(6)

1.4 齒式聯軸器不對中模型

聯軸器為電機向轉子傳遞扭矩的橋梁，齒式聯軸器不對中故障分為角度不對中、平行不對中和前兩者均存在的綜合不對中[11-12]，如圖 3 所示。

圖3為聯軸器綜合不對中故障時，聯軸器外殼與兩半聯軸器間的相對運動軌跡模型。圖中，設A為電機主軸的軸心投影，B為轉子轉軸的軸心投影，C為外殼的動態中心，AC為外殼與電機主軸的連線，BC為外殼與轉子轉軸的連線，AC垂直BC，設AB長為ΔE，點C坐標為C(x，y)，夾角不對中量α，則當轉子系統運轉時，點C以綜合不對中量ΔE為直徑做圓周運動，ω為轉速，則點C的坐標C(x，y)可表示為

圖3 齒式聯軸器綜合不對中作用力模型

(7)

式中：ΔE由聯軸器間距ΔL、平行不對中量ρ以及夾角不對中量α共同決定，可表示為

(8)

隨后，為得到點C的加速度，需對式(7)的時間t進行二階求導，即：

(9)

由式(9)可知，聯軸器不對中故障會給轉子系統施加一個額外的激振力F。若將其在O0-X和O0-Y方向上做投影，其分量滿足：

(10)

為了進行系統的動力學研究引入以下量綱一化參數：xi=Xi/b(i=1，2)，yi=Yi/b(i=1，2)，τ=ωt，則原式可化為

(11)

2 數值仿真與分析

2.1 最大碰摩力與占空比

本文作者引入最大碰摩力和碰摩占空比來表征轉子與定子碰撞的激烈程度和持續時間。最大碰摩力描述了轉盤與定子在接觸過程中產生的最大作用力，轉子-軸承系統在運行過程中最大碰摩力的變化影響著轉子-軸承系統的運行穩定性，是決定轉子-軸承系統使用壽命的關鍵因素之一。這里將最大碰摩力定義為轉盤與定子在一個運動周期Tn=2nπ/ω內水平豎直方向碰摩力合力的最大值，最大碰摩力的取值范圍為Pmax≥0，表示為

(12)

另外引入電信系統中的“占空比(Duty Cycle)”，文中用αDC表示碰摩占空比，即在一個運動周期Tn=2nπ/ω內轉子與定子在各接觸階段所耗費時間的總和與運動周期的比值，占空比的取值范圍αDC∈[0，1)，用公式表示為

αDC=(ΔtDC1+ΔtDC2+ΔtDC3+…)/Tn

(13)

2.2 系統的Poincaré截面

文中采用p/n來研究系統的動力學特性，其中p表示轉子系統在一個運動周期Tn=2nπ/ω內的轉盤與定子的碰撞沖擊次數(p=0，1，2，3，…)，反映在周期分岔圖。n表示轉子在一個運動周期Tn=2nπ/ω內轉子的周期數(n=1，2，3，…)，反映在碰撞分岔圖。結合兩種映射，可以辨識在一定參數條件下，不同轉速對應轉子系統可能呈現的旋轉周期數n和碰撞次數p，從而確定p/n振動特性。選擇系統的Poincaré映射圖截面[10]：

R8×T|x2=x2n，mod(t=2π/ω)}

取表1參數，采用Runge-Kutta積分法對方程組(11)進行數值求解，得到系統的一系列響應。

2.3 不對中-碰摩耦合轉子隨轉速變化響應分析

文中引用碰撞振子系統的分析方法，研究不對中-碰摩耦合條件下的轉子系統的動力學行為，同時通過碰撞分岔圖對轉子系統的碰摩沖擊轉遷動力學行為進行了量化表征。基于系統參數仿真得到不對中-碰摩耦合轉子的周期分岔圖、碰撞分岔圖、最大碰摩力分布和占空比分布，如圖4所示。

圖4 不對中-碰摩轉子周期分岔圖(a)、碰撞分岔圖(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

圖4(a)看出轉子系統沿著轉速增大的方向依次經歷了P1(周期一)運動-P2運動-P1運動-擬周期運動。圖4(b)轉子系統的碰撞分岔圖直觀表征了不同運動周期內轉子與定子的碰撞次數響應，轉子沿著轉速增大的方向依次經歷了0/1(周期一無沖擊)運動-1/1運動-0/1運動-0/2運動-1/2運動-2/2運動-0/1運動-擬周期運動。圖4(c)進一步量化表征了轉子系統沿著轉速增大方向不同運動形式下對應的碰撞沖擊力大小和持續發生碰摩的運動軌跡占比。為了更清楚地表明該轉子系統的動力學行為特征，結合圖5不同轉速所對應的軸心軌跡、Poincaré截面、時間歷程及頻譜進行對比分析。

圖5 不同轉速對應的系統響應

當ω∈(0～534)rad/s較低轉速時，系統處于楔形油膜間隙的形成階段，系統為P1(周期一)運動，結合碰撞分岔圖、最大碰摩力和占空比分布可看出此時系統為0/1類周期運動，由于不對中的存在，觀察圖5(a)頻譜清晰呈現2×、3×和4×倍頻幅值，Poincaré截面為一個獨立的點，時間歷程呈類周期運動。轉速不斷提高，系統的幅值逐漸增大，轉子和定子發生碰摩，0/1運動轉遷為1/1運動，圖5(b)給出了轉子1/1運動的響應，圖中綠色的虛線表示碰摩邊界，紅色的軸心軌跡辨識為碰摩軌跡，碰摩的介入導致轉子系統3×、4×倍頻幅值發生變化，但由于轉頻占主導地位，轉子此時仍為P1運動。當轉速進一步提高，楔形間隙開始形成，半頻油膜渦動產生的1/2×半頻介入系統的響應，轉速增大到一階臨界轉速后，系統通過倍化分岔轉遷為0/2運動，系統響應如圖5(c)所示，其中碰摩的不斷加劇導致系統出現3/2×次諧波分量。由于轉子系統的振動幅值隨著1/2×半頻幅值持續增大，系統的運動類型經轉子和定子一系列擦切分岔發生轉遷，圖5(c)—(e)清晰地給出了0/2運動-1/2運動-2/2運動的轉遷過程。當轉速繼續升高，系統通過逆倍化序列轉遷為P1運動，同時系統的幅值減小，此時為0/1無碰摩沖擊運動，對應的響應如圖5(f)所示，轉子系統的1/2×半頻油膜渦動消失，對應圖4(c)中的最大碰摩力和占空比值均為0，系統進入穩定運行區域。當轉速增大到ω=1 490 rad/s，此轉速達到系統的二階臨界轉速范圍，油膜渦動重新形成，此時的1/2×半頻渦動轉速與轉子的一階臨界轉速重合達到共振，通過圖4可直接觀察到此時表現為強烈的共振現象，觀察圖5(g)可知，系統進入擬周期運動，油膜渦動轉變為油膜振蕩，油膜振蕩幅值超過系統轉頻，并保持該頻率不變。

2.4 不同軸承間隙對轉子系統動力學響應的影響

通過式(4)可看出，軸承間隙的改變會對轉子系統產生直接影響，因此對軸承間隙進行離散取值。針對若干軸承間隙c的取值，計算出不同c值時轉子系統的幅值分岔、最大碰摩力和占空比隨轉速改變的分布。圖6、圖7給出了基準參數μ=0.018 Pa·s下2組c值對應的響應，同時結合圖4中c=0.005 mm進行對比分析。當c值由小變大時，轉子系統的分岔特性趨于復雜化，并且振動幅值逐漸增大，對應的混沌運動窗口逐漸增大，說明軸承間隙的增大直接影響轉子系統的周期運動分布和分岔特性。同時碰摩力和占空比幅值明顯增大，并出現αDC=1的全周期碰摩區域，因此在軸承設計過程中應盡量選用較小的軸承間隙。

圖6 c=0.11 mm周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

圖7 c=0.22 mm周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

進一步研究軸承間隙對轉子系統的影響，選取轉速ω=900 rad/s時對軸承間隙進行離散取值，軸承間隙分別為c=0.055 mm、c=0.11 mm和c=0.22 mm得到轉子系統的頻譜，如圖8所示。當軸承間隙由小變大時，由油膜渦動產生的1/2×次諧波幅值發生明顯變化，并且出現了連續的次諧波頻率幅值，導致轉子系統的穩定性降低。同時系統轉頻幅值和由不對中產生的2×倍頻幅值未產生改變。因此，可以通過分析故障轉子的振動信號組分來對轉子系統存在的故障類型進行有效的診斷。

圖8 ω=900 rad/s時不同軸承間隙對應的頻譜圖

2.5 不同潤滑油黏度對轉子系統動力學響應的影響

圖9和圖10代表性地給出了2組不同潤滑油黏度值對應的系統響應，并通過與圖4所示結果進行對比分析，發現潤滑油黏度μ的變化對系統的運動類型、存在區域和分岔特性有較大影響。系統的一、二階臨界轉速與潤滑油黏度的改變正相關，潤滑油黏度的增大使得轉子系統的分岔特性和周期運動類型簡單化，同時系統的幅值隨潤滑油黏度的增大顯著減小，進而對應的最大碰摩力和占空比幅值明顯變小。當μ=0.036 Pa·s時，系統的振動幅值較小，其中0/1無碰撞運動占據了較大分布域，對應的最大碰摩力和占空比幅值為0的區域較大，說明轉子系統能在較廣的轉速分布范圍內平穩運行。

圖9 μ=0.009 Pa·s周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

圖10 μ=0.036 Pa·s周期分岔(a)、碰撞分岔(b)、最大碰摩力和占空比分布(c)

進一步研究潤滑油黏度改變對轉子系統的影響，選取轉速ω=900 rad/s時對潤滑油黏度進行離散取值，潤滑油黏度分別取0.009、0.018、0.036 Pa·s，得到轉子系統的頻譜，如圖11所示。當潤滑油黏度發生變化時，油膜渦動產生的1/2×次諧波幅值發生明顯變化，主要表現為1/2×頻率幅值隨著潤滑油黏度的增大而減小，轉子系統的穩定性持續提高。同時系統轉頻幅值和由不對中產生的2×倍頻幅值未產生改變。

圖11 ω=900 rad/s時不同潤滑油黏度對應的頻譜

3 結論

以不對中-碰摩耦合的滑動軸承-轉子系統為研究對象，基于多參數協同仿真方法，研究系統參數改變對轉子系統響應的影響，得出以下結論：

(1)不對中故障導致碰摩轉子系統產生了2×、4×等偶數倍頻率，并且2×頻率幅值不隨轉速的改變發生變化。

(2)由油膜渦動產生1/2×半頻渦動隨著系統轉速的提高發生變化，當轉速超過二階臨界轉速后該頻率保持不變，并且幅值超過系統轉頻而成為影響系統穩定性的主要因素。

(3)當軸承間隙由小變大時，1/2×半頻幅值減小的同時周圍出現連續的次諧波，導致系統的穩定性隨著軸承間隙的增大而降低，不對中故障2×頻率幅值未發生改變。

(4)當潤滑油黏度由小變大時，1/2×半頻幅值顯著減小，不對中故障2×頻率幅值未發生明顯改變，同時導致系統的一、二階臨界轉速大幅增大，表現為系統的穩定性隨著潤滑油黏度的增大而提高。