動中明定 定中求變
——例談解題教學中如何引導學生深度學習

四川省攀枝花市第十二中學校 李 丹 張勇輝

運動變化是數學學習中重要的思想方法之一,很多數學問題都呈現出“動中有定、動定相倚”的特點,教學中教師若能敏銳抓住這些特點,從“動”中尋找規律,從“定”中尋求突破,引導學生深度學習,對夯實學生數學基礎、開闊數學思維、提升解題能力將大有裨益.

下面,筆者從一道圓錐曲線試題的解題探究說起,談談解題教學中如何巧抓“動定關系”,引導學生進行深度學習.

1 試題呈現,條分縷析

(1)求橢圓C的標準方程.

(2)橢圓C的上、下頂點分別為點M和N,動點A在圓x2+y2=1上,動點B在橢圓C上,直線MA,MB的斜率分別為k1,k2,且k1=5k2.

(ⅰ)證明:N,A,B三點共線;

(ⅱ)(略).

這是臨近高考的一次統測中的解析幾何壓軸題.筆者所教授的班級屬于中等層次,多數學生第(2)問只能草草書寫一些方程,蹭一些步驟分.一個中等難度的試題成了本班學生的難題.

對于第(2)(i)問,從試題條件和結論分析,在前提條件下,“k1=5k2”是“N,A,B三點共線”的主要條件,條件與結論中的“動”“定”關系如表1.

表1 條件與結論中的“動”“定”關系

因此,只要抓住主動點A,設出直線MA的方程,解出點A的坐標,同法解出從動點B的坐標,再比較直線AN,BN的斜率,問題便得以解決.第(2)(i)問的解答通法如下.

學生失分的主要因素有以下三個方面:(1)學生普遍對解析幾何大題有一種畏懼之心,長期的碰壁使其逐漸降低了得分的心理預期,不少學生抱著繞著走的心態;(2)圓錐曲線相關知識方法、重要二級結論等儲備不足,對一些條件不熟悉,不知如何破題,缺乏題感;(3)也是最重要的一點,雖然做過不少題,但缺乏深度學習,解題方法零散、碎片化,不成系統,下次遇到同類型的問題仍然重復犯錯,解題自信心屢受打擊,從而喪失信心.

2 逆向思考,存疑設問

對于這道試題的學習,如果到此為止,學生的解題思維和能力仍然得不到提高,因此有必要把探究引向深入.評講之后,筆者問了學生兩個問題:條件“k1=5k2”中的定值為什么恰好是“5”?這個“5”從何而來?立馬引得了幾個學生的附和,之后學生們陷入沉思.筆者將這些問題留給他們課后研討,準備第二天針對此題上一堂探究課.

3 展開實驗,初步探究

為了探究“5”的來由,筆者制作了幾何畫板課件,便于隨時改換條件進行動態研究和展示,以數學實驗的方式展開探究之旅.以下是課堂上的一些片段.

片段一：

師:誰能告訴大家,這個“5”從何而來?

生甲:我認為,這個“5”就是橢圓方程中的a2=5.

師:能給個理由嗎?

生甲:說不太清楚,直覺.

圖1

片段二：

師:能確保你們的運算是正確的嗎?

生丁:能,我和同學丙都算過兩遍.

圖2

片段三：

師:通過前面的探究,我們有必要把前面討論的重點問題重新歸結一下,可以得到以下命題.

圖3

(把時間留給學生,思考該如何證明,教師巡視.)

師:同學們如果仿照通法證明,運算量將非常大!有些同學已經開始怠工了.我發現同學乙找到了簡潔的證明方法,請他給大家展示一下.

生乙:由題意,得

①

②

師:多么簡潔!(全班鼓掌!)同學乙用到了我們以前學過的關于橢圓的一個重要的二級結論.雙曲線也有類似的性質,我們再一起回顧一下:

師:圓錐曲線的一些重要的二級結論在解決相關問題時非常有用,請同學們多總結,多運用,這樣一定能提高解題能力!

4 深度探究,精彩紛呈

針對本試題的課堂探究到此為止,但意猶未盡.作為課后作業,筆者要求學生模仿本題的命題思路及證明方法,命制一些類似的新命題.以下是學生的部分作品:

圖4

圖5

圖6

5 教學反思,啟迪智慧

(1)本課從試題條件“k1=5k2”中的“動”與“定”——k1,k2的關聯變動和定值5的分析入手,明辨出“5”是“N,A,B三點共線”的決定性因素.問題“為什么恰恰是5?5從何而來?”則撓到了學生思維的“癢癢處”,激起了共鳴,激發了探究的熱情,引出了一系列真實有效的探究.

(2)探究的過程符合認知規律,經歷了驗證、試錯、證偽、猜測、論證等過程,從特殊到一般,從簡到繁又以簡馭繁,用一個二級結論輔助證明歸納出的命題,不僅避免了繁雜的運算,還將探究引向深入.

(3)拓展探究把整個探究過程推向一個新高度.學生從一般性命題的簡潔證明中,找到了與其他背景知識的契合點,有效遷移,命制出了嶄新的命題.若將這些命題作為“題源”,將字母系數數值化,再更換背景,又能命制出成串的數學試題!

(4)本課運用《幾何畫板》輔助教學,以數學實驗的方式展開探究之旅,形象地展示了問題中的“動”“定”關系,為快速證偽、猜測驗證提供了幫助.

6 結語

高中數學各知識板塊,特別是函數、數列、三角、向量、立體幾何、解析幾何大量問題中都蘊含著“動定關系”.通過動與定的轉化,加深對問題本質的理解,培養思維的深刻性.對動與定的關系的觀察,便于尋求規律,培養思維的靈活性與廣闊性.靈活處理數學中動與定的關系,動中明定,定中求變,是創造性思維的一個體現.

深度學習具有以下特征:淺層加工與深層加工的統一,多重理解與整體建構的統一,掌握知識和提升能力的統一,自主學習與合作學習的統一.教師只有熟悉這些特征,才能有效制定策略,設計實施路徑,把學生的學習和探究引向深入.

《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》在闡述高中數學的課程目標中指出,要讓學生獲得“四基”,提高“四能”,發展“數學核心素養”.教師不僅要把這些理念深深植根于腦海,更重要的是踐行于每一次數學活動、每一個教育細節中,而引導學生深度學習就是很好的途徑之一.安于心而敏于行,點滴浸潤,長期堅守,方能見穿石之效,收尺寸之功!