基于Lyapunov-MARC 算法的礦用乳化液配比方法分析

范抑伶

（唐山學院智能與信息工程學院， 河北 唐山 063000）

0 引言

乳化液作為綜采面液壓設備的壓力源，其配比濃度會直接影響液壓支架的工作性能和使用效果[1]。乳化液濃度過高則會提高生產成本，反之，則會大幅度降低液壓元件的潤滑性、防銹性和穩定性，從而影響設備壽命和安全生產。因此設計一個準確、穩定、快速、高效的乳化液自動配比系統是非常重要的。目前，國外對于礦用乳化液的配比技術多采用離散式的控制方法，如雷波公司所采用的分布式多泵疊加乳化液配比控制方法。而國內針對乳化液配比控制技術主要有以下幾類方法，文獻[2]提出了一種雙缸定比的乳化液自動配比系統，該方法通過利用雙作用油缸活塞和活塞桿面積的固定比值關系，實現乳化油和水定量定比供給，但是，該方法沒有反饋環節，機械機構復雜，且不能夠連續調整乳化液的配比濃度；文獻[3]提出了一種以井下壓風為動力的自動配液裝置，這種配比系統操作繁瑣，受到井下水壓、風壓變化的影響，濃度無法在線調節，由此配比的精度無法保證；另外，還有相關研究人員利用模糊控制理論以及PID 控制等方法來實現礦用乳化液的自動配比[4-7]。

針對現有礦用乳化液配比方法存在的各類問題，根據已有的乳化液自動配液的理論，結合井下礦用乳化液配液特點，進行電動機與柱塞泵的建模。針對在實際工程應用中，柱塞泵動態響應滯緩導致流量精度不準的問題，提出利用Lyapunov-MARC 自適應控制方法對乳化液配比進行控制的方法。

1 油路柱塞泵流量模型分析

乳化油密度受溫度影響，將溫度對油路的影響考慮在內，為此經過大量的實驗數據采集并進行整理分析后，可得到如表1 所示的乳化油濃度/溫度數據表。

井下工作面作業溫度一般在零上幾度到二十幾度，乳化油油箱中液體溫度和環境溫度幾乎一致，而水的密度隨溫度的變化微乎其微，因此在設計過程不考慮其密度變化。通過梯度下降算法對乳化液濃度進行線性擬合，實時乳化液濃度（浮化液濃度為浮化液中溶質的質量分數，全文相同）與實時溫度線性擬合結果可由公式（1）表示。

式中：x為溫度；h（x）為擬合所得的溫度- 乳化液濃度函數；擬合所得相關系數為0.902，擬合效果良好，由此利用如公式（1）所示的乳化油密度與溫度的函數關系式，在反饋控制結構中加入乳化油隨溫度變化密度自動調節的模塊。

給出所選擇的軸向柱塞泵技術參數如表2 所示，將技術參數導入公式（2）所示的理想柱塞泵輸出流量模型。

表2 柱塞泵技術參數

式中：A為單個柱塞泵截面面積；ω 為缸體轉動角速度；R為柱塞分布圓半徑；γ 為柱塞傾角；φi為第i個柱塞泵轉角；α 為兩個柱塞之間的夾角，其中柱塞泵個數為z的α 計算如公式（3）所示。

通過化簡系統，油路系統輸入的頻率與最終流量呈線性關系，乳化油流量與頻率的比值約為0.13655，對油路輸出的流量進行積分得到輸出油量體積。設計此環節用于模擬延時時間τ，最后進行泰勒展開。通過計算得出柱塞泵理想參考模型的傳遞函數如公式（4）所示：

實際被控柱塞泵模型的二階傳遞函數如公式（5）所示：

式中：ku為變量。由上可得具體乳化液配液控制系統仿真模型如圖1 所示。

圖1 乳化液配液控制系統仿真模型

2 Lyapunov-MRAC 控制器的設計

針對井下環境作用使柱塞泵角速度和流量控制系統的動態響應滯緩的問題，提出基于Lyapunov 穩定性理論的可調增益MRAC 方法控制的乳化液配比方法，求出參數調節的自適應規律，以保證系統的穩定運行[8-9]。圖2 為Lyapunov-MRAC 系統結構，設自適應增益γ0/s，參考模型和對象模型的傳遞函數分別如公式（6）與公式（7）所示：

式中：ku為未知增益，kr、a0、b1與b0均已知，具體大小如公式（4）與公式（5）所示。根據Lyapunov 穩定性理論，計算可調增益的調節式，使被控對象實際輸出無限趨近理想模型的輸出，即輸出誤差趨近于零。由圖2 可知系統輸出誤差計算如公式（8）所示：

聯立公式（6）、公式（7）與公式（8）可得公式（10）。

式中k計算如公式（11）所示：

對于如公式（12）所示的狀態方程：

其中狀態向量x可由公式（13）表示：

而Λ、B與c分別可由公式（14）、公式（15）以及公式（16）表示：

若齊次系統=Λx穩定，則存在正定矩陣P和Q滿足如公式（17）所示的Lyapunov 方程：

綜上可知所設計控制系統Lyapunov 方程可由公式（18）表示：

對式（18）求導可得公式（19）：

為使公式（19）小于零，由此取增益調整律為：

由于控制器執行周期較短，k_u 變化相對較為緩慢，因此其可視為一常數，由此增益自適應律可用公式（21）表示。

由公式（21）可知，增益自適應律受限于狀態變量x，由此聯立公式（12）與公式（21）可得可調增益自適應律如式（22）所示：

最后結合圖2可得系統控制律可如公式（23）所示：

3 系統仿真驗證

為驗證所設計系統的有效性，首先以方波信號作為輸入信號，設置整體仿真時間為10 s，進行如下三組仿真實驗。

1）給定流量控制系統幅值r=3 L 方波信號，自適應增益γ0=0.1；

2）保持增益不變，將幅值提高至6 L；

3）將增益改變為0.3，幅值為3 L。

給出三組系統仿真相應地輸出、控制增益及偏差分別如圖3—圖5 所示。

圖3 r=3 L，γ0=0.1 時系統輸出情況

由圖3—圖5 可知，在0~1 s 內實際的輸出流量與期望值誤差較大，但是在1 s 后，系統通過對自適應律的調節，被控模型能夠很好地跟蹤參考模型，輸出誤差e趨近于零，系統達到穩定。對比圖3 與圖4 可知，增大輸入信號幅值，初始絕對誤差峰值由1.2 L 升至1.5 L，穩定時間由0.8 s 縮短至0.6 s，說明控制系統初期的精度降低，但是提高了系統響應速度。對比圖4 和圖5 可知，增大自適應增益初始值，可以同時提高自適應精度和系統響應速度。由三組仿真均可以看出系統具有良好的跟蹤能力。

圖4 r=6 L，γ0=0.1 時系統輸出情況

圖5 r=3 L，γ0=0.3 時系統輸出情況

4 系統整體實驗驗證

由前節可知，Lyapunov-MRAC 算法可以很好地實現對油路柱塞泵理想模型的跟蹤，為驗證基于Lyapunov-MRAC 算法的礦用乳化油配液方法的有效性以及優越性，將Lyapunov-MRAC 算法應用于基于PLC 的礦井配液系統中，并且同時與傳統PID 乳化液配液方法進行對比。實驗中，乳化液配液系統采用西門子S7-1200 作為控制器，設置傳統PID 比例、積分以及微分參數分別為1.5、0.5 以及239，具體控制系統結構如圖6 所示，給出具體實驗結果如圖7 所示。

圖6 乳化液配比智能控制系統結構圖

圖7 乳化液配液系統濃度輸出曲線

根據圖7 可知配液系統利用傳統的PID 控制算法，系統大約在4 s 時才達到穩態，在達到穩定之前十分不平滑，整定效果欠佳。PID 控制適合線性系統，在實際井下配液過程中往往具有非線性、時變不確定，這種常規的PID 控制器不能達到理想的控制效果，對運行工況的適應能力較差。Lyapunov-MRAC 控制結果大約在1 s 處就實現了穩定，并且一直穩定在濃度設定值。因此對柱塞泵流量進行Lyapunov-MRAC 算法控制，能夠使乳化液配液系統中乳化液的濃度快速、準確的響應。

礦用乳化液配液濃度檢測值與標準值的最大誤差滿足煤礦生產要求。提出的算法適用于實際工程應用，提高了乳化液配液的效率，保證了乳化液配液的質量，促進了礦業乳化液配液的速度與自動化程度的提升。

5 結論

針對礦用智能乳化液配液系統展開研究，在詳述智能乳化液自動配液系統原理的基礎上，提出了符合該類系統的Lyapunov-MRAC 自適應控制策略，并以此為出發點展開了如下工作：

1）采用乳化油密度與溫度自適應的增益補足，使乳化油密度可以根據作業中實際溫度而調整，減輕了溫度對乳化液濃度結果的影響。

2）在闡述Lyapunov-MRAC 自適應控制理論的基礎上，深入分析了增益自適應控制算法，給出了自適應控制算法的總體結構圖，并利用MATLAB/Simulink進行了控制器模型的設計。

3）采用Lyapunov-MRAC 自適應控制算法對柱塞泵流量控制的二階非線性系統進行補償，通過最終的仿真與實驗分析得出了油路柱塞泵通過Lyapunov-MRAC自適應控制算法在配液系統的加快調穩等方面明顯優于PID 控制的結論，為實現對時變、非線性系統進行準確快速穩定的控制提供了很好的解決。