考慮靜動力學性能的鋼質壁面作業機器人小臂結構拓撲優化*

梁康養，嚴 謹，龐翠娟

（1.廣東海洋大學海洋工程與能源學院，廣東湛江 524088；2.廣東海洋大學船舶與海運學院，廣東湛江 524005）

0 引言

鋼質壁面作業機器人主要在垂直或傾斜的高空環境下進行作業，具有較高的輕量化和穩定性需求，在設計制造過程中應盡可能對機體部件進行減重和提升結構特性。從本文作者研究的鋼質壁面作業機器人的前期成果得知，機器人機械手小臂是連接大臂和執行末端的部件，具有外形尺寸大、板材厚度小和質量占比高的特點，其在清潔、探傷、焊接、除銹等工況下整體受力大且長期處于振動狀態，對臂體結構的強度、剛度和振動等結構特性有較高要求?？梢?，對機械手小臂的綜合性能進行優化顯得尤為重要。

拓撲優化是結構優化的一種常用方法，主要用于產品初期設計，以提高結構性能或降低結構質量為目標的優化設計技術。目前，拓撲優化技術在結構優化領域得到廣泛應用，如賴欣等[1]引入變密度拓撲優化法對爬壁機器人負載底板、頂層支撐板和側面支撐板等主要結構部件在ANSYS Workbench 軟件中進行結構優化，使得爬壁機器人底板在強度一致的基礎上達到輕量化的目的；史寶強[2]采用變密度法使用ANSYS Workbench 優化軟件對爬壁機器人機身主體關鍵部件進行拓撲優化及靜力學分析，達到機器人機身主體輕量化設計的目標；張國鋒等[3]以RB-10-001 型工業機器人機械臂作為研究對象，利用有限元法，以最小體積權值為優化目標，以位移為約束條件進行拓撲優化，在保證結構剛度不降低的條件下，達到機械臂輕量化設計的目的。

本文利用ANSYS Workbench 軟件，基于變密度法的優化算法，并考慮靜動態特性雙目標，對鋼質壁面作業機器人機械手的小臂結構進行拓撲優化，進行輕量化設計和結構性能優化。

1 拓撲優化問題的基本數學模型

拓撲優化是以材料分布為優化對象，將區域離散成若干個有限單元，在給定的目標和約束條件下，對均勻分布材料的設計空間，反復進行材料分布的計算，并根據刪除策略找到材料的最佳分布方案[4]，目的在于尋求結構材料在設計域空間最佳的分布形式，或在設計域空間尋求結構最佳的傳力路徑，以優化結構的某些性能或減輕結構的質量[5]。

本文使用基于變密度法的拓撲優化方法，其材料插值模型如下：

式中：E（ρi）為插值后的彈性模量；E0為實體材料的彈性模量；p為材料的懲罰因子；ρi為第i個單元的相對密度。

變密度法假定每個單元的剛度矩陣依賴于懲罰因子p相對密度的改變，建立材料相對密度與材料彈性模量間顯示非線性的函數關系[6]，如圖1 所示。通過引入懲罰因子p對材料的中間密度值ρi進行調整，結構剛度逐漸受到懲罰，使得中間密度向0～1兩端聚集，以改變單元的彈性模量E，進而改變材料的剛度矩陣K，最后實現材料的分配和傳力路徑的規劃。

根據機械振動理論，鋼質壁面作業機器人機械手小臂可看成一個振動系統，其動力學基本方程為：

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；x"為加速度矢量；x′為速度矢量；x為位移矢量；F（t）為外力矢量。

圖1 SIMP密度插值函數模型

傳統拓撲優化以盡可能減小優化體的柔度為最終目標，約束條件通常選取材料的體積，尋求優化件的最大剛度，同時達到輕量化目的。本文基于常用的拓撲優化方法，以機械手小臂的材料單元相對密度為設計變量，結構最小柔度為目標函數，體積為約束條件,建立拓撲優化問題的基本數學模型，如式（3）所示。

式中：ρ為設計變量；N為材料單元的數；i為材料單元的序號；C為結構柔度函數；U為結構的位移向量；K為結構的總剛度矩陣；F為結構載荷矢量；uh為單元位移量；k0為初始單元剛度矩陣；V（ρ）為優化后的體積；V0為結構參與設計部分的總體積；fv為體積約束設定的比例值；ρmin為設計變量的下限；p為密度懲罰系數。

2 小臂結構拓撲優化

構建鋼質壁面作業機器人機械手小臂的三維模型，利用有限元法對模型進行靜力學分析及模態分析并獲取結構特性；確定優化對象，建立優化數學模型；設定拓撲優化條件，選取設計區域，選用ANSYS Workbench 軟件中的Topology Optimization 模塊進行有限元分析；提取拓撲優化模型，對其模型重構，并對重構模型進行特性分析。拓撲優化分析流程如圖2所示。

圖2 拓撲優化分析流程

2.1 有限元特性分析

根據鋼質壁面作業機器人機械手小臂結構的設計要求，選用厚度為4 mm 的鋁合金板材。機械手小臂為焊接及螺栓組合件，本文在三維建模時將其簡化成一體式的實體模型，以便于后續的分析和優化。運用SolidWorks 軟件建立機械手小臂三維實體模型，如圖3所示。

利用ANSYS Workbench 有限元軟件對模型進行靜力學分析及模態分析，得到主要結構特性指標，如表1所示。

位移總變形、等效應力分別如圖4和圖5所示。最大變形量為0.239 59 mm，可知最大變形很小，滿足剛度要求。最大應力值為43.515 MPa，遠小于所選材料的許用應力，在最大許可范圍以內。

圖3 小臂結構實體模型

表1 靜動態特性主要指標

圖4 總體變形云圖

圖5 等效應力云圖

2.2 優化問題描述

由圖4 可知，機械手小臂所產生的最大變形很小，不會對傳遞負載帶來明顯的精度問題，可安全使用，由圖5可知，機械手小臂高應力主要在連接大臂部位區域，是結構的薄弱部分，為重要區域；而低應力區域對承擔載荷的傳遞貢獻較小，為非重要區域。非重要區域的材料沒有得到充分利用，相當于材料冗余，假如去掉該區域材料，其對整個結構的應力影響較小。因此，如何合理減少冗余材料，既使得結構實現輕量化，又能夠滿足結構特性要求，是優化設計考慮的問題。

2.3 有限元拓撲優化分析

本研究通過算例分析，旨在尋求精準的減重區域，以合理減少冗余材料。

算例1：基于靜力學特性的拓撲優化

由式（2）可知，該數學模型反映了結構輕量化與結構剛度性能的關系，搭建“Topology Optimization”拓撲優化分析模塊與有限元特性分析的靜力學分析項目耦合關系，進行基于靜力學特性的拓撲優化。

邊界條件及優化參數設置：小臂結構除安裝孔、定位孔和邊界條件位置等區域外，其余設置為參與優化區域；目標函數C（ρ）定義為最小化，體積約束比fv設計為75%；利用變密度的優化算法，密度懲罰系數p取值為3；密度閾值ρ設計為0.01。

拓撲優化結果如圖6 所示，其中，數值大表示材料必須保留的區域，數值小表示多余材料可以被去除的區域。由圖6（a）得知，減重區域集中兩端部位，中間部位可去除部位不明顯。小臂結構兩端部位主要是連接大臂及執行末端，從裝配和受力角度考慮，此處材料不適宜過多去除。從圖6（b）可看到拓撲過程出現材料斷刃?？梢姶朔桨竷灮Ч粔蚶硐?。

圖6 拓撲優化結果（算例1）

算例2：考慮動力學的雙目標拓撲優化

機械手小臂振動系統的剛度K、質量M、特征向量Xi及特征值ωi2之間的關系可表示為：

由式（4）可知，固有頻率與剛度正相關，與質量負相關?？紤]到小臂結構剛度K包含材料屬性、模型尺寸和約束條件等因素，得知當質量發生變化時，不僅存在體積變化，還存在剛度變化，會引起振動特性變化。而在一般情況下，隨著結構材料的減少，結構在受力情況下的應力值會明顯變大[7]。為能夠減少小臂結構的質量，又不降低其強度、剛度和振動特性，本算例以考慮輕量化和提升振動特性為目的展開研究。

建立以固有頻率最大化的目標函數的數學模型，如式（5）所示。

式中：G為特征值函數；F為外部載荷；ωi2為第i階特征值；Xi為與第i階特征值對應的特征向量；fi為第i階固有頻率。

聯合式（3）和式（5）的數學模型，建立結構最小柔度C（ρ）和頻率最大化G（-ωi2）為優化目標的雙目標數學模型，如式（6）所示。該數學模型揭示了結構輕量化與結構剛度性能、振動特性之間的關系。

基于式（6）基本數學模型，“Topology Optimization”拓撲優化分析模塊與有限元特性分析的靜力學、模態分析項目耦合，定義雙目標函數參數，柔度函數C（ρ）為最小化，頻率函數G（-ωi2）為最大化，約束條件為體積約束比fv為75%。

運算求解后得到拓撲優化結果，如圖7 所示。從圖7（a）中能夠準確判斷出材料冗余分布，由圖7（b）得到材料可去除的部位，結構連續不斷刃，可知本方案優化效果理想。

圖7 拓撲優化結果（算例2）

拓撲迭代歷程如圖8 所示。由圖8（a）可判斷出體積約束響應在第5 次迭代時已到達響應收斂標準，由圖8（b）可知在第32次迭代時，優化區域計算完成，組合目標在收斂標準附近且趨于穩定。從拓撲迭代歷程穩定性和收斂程度可知，拓撲優化計算結果是相對穩定可靠的。

圖8 拓撲迭代歷程

2.4 基于優化結果重構模型

針對拓撲優化后模型重構的去“材料”方法，彭上乾[8]提出了在相關部位局部挖空的方法，史寶強[2]采用了孔洞處理方式?；谛”劢Y構的薄壁特征，本文利用“孔洞”的切除方法，去除小臂冗余體積。多孔結構的作用不僅能實現減重，還能提高機械小臂的散熱、減振性能。根據圖7所示的減重區域，綜合考慮機械加工工藝和裝配空間布置實際需要，重構后小臂結構模型如圖9所示。

2.5 優化前后性能分析與評估

由于材料削減，結構的剛度、強度和固有頻率發生改變，需要對優化前后的模型的結構特性進行驗證。對小臂結構的重構模型進行靜力學和模態分析，主要靜動態特性結果如表2所示。

圖9 小臂結構重構模型

表2 優化前后的靜動態特性主要指標

優化后的總質量為0.345 59 kg，降幅6.84%，達到了較好的輕量化效果；等效應力為25.805 MPa，降低了40.70%，總變形縮小14.43%，強度和剛度明顯增加，說明結構的力學性能得到了提升；1 階固有頻率增幅1.73%，表明結構抑制外界激勵的能力增強。

基于上述分析，考慮動力學的雙目標拓撲優化方案，能夠較好地對小臂結構進行優化，實現輕量化的降重效果，同時使得結構特性得以明顯改善。與算例1 方案相比，算例2 方案的計算求解時間較長，也對計算機性能配置要求較高，這是與算例1方案相比存在的不足之處。

3 結束語

本文根據鋼質壁面作業機器人機械手小臂結構的設計要求，運用SolidWorks軟件建立機械手小臂三維實體模型，利用ANSYS Workbench 有限元軟件對小臂結構進行特性分析。在小臂結構減重和改善結構特性的需求基礎上，采用基于變密度法的拓撲優化技術，并聯合多目標優化理論，對小臂結構完成輕量化設計。小臂結構在優化設計后的質量下降6.84%，等效應力降低40.70%，總變形縮小14.43%，1階固定頻率增幅1.73%，輕量化降重效果明顯，結構特性大幅度改善，有效避免了結構優化設計的盲目性。本研究方法為機器人其他零部件及整體結構的優化設計，如機械手大臂、機器人底盤架的輕量化，提供了思路。本研究結合算例方案分析給出的一種薄殼體結構輕量化處理方法，可為類似結構的優化設計提供參考。