穩抓線段圖教學,體會數形轉化之妙
——以“畫線段圖解決問題的策略”為例

江支惠 葉心宇

(廬江縣城東小學 安徽合肥 231500)

引言

我國數學家華羅庚曾言:“數無形時少直觀,形無數時難入微?！痹跀祵W問題中,很多數量關系是隱含或比較抽象的,將這些數量關系與相關圖形對應,通過探究圖形直觀地得出數量關系,能夠使問題的解決變得簡單。這就是小學數學中由數轉形、由形助數的數形結合思想。一至四年級數學有不少內容涉及數形結合,大致分為畫實物圖、平面圖和線段圖。但是大部分學生還沒有形成將較復雜的數學問題轉換成直觀的圖形的習慣,甚至有些學生寧愿“想破腦袋”也不愿去畫圖。為此,本文以蘇教版小學數學四年級下冊“畫線段圖解決問題的策略”的教學為例,探析如何引領學生根據題意畫準線段圖,感受畫線段圖解決問題的直觀有效,從而提高學生自主畫圖解決問題的主動性,使其養成自主畫圖解決問題的習慣,達到貫徹數形結合思想的教學目的。

一、畫線段圖解決問題的過程

(一)線段擬人化出示,導出“畫圖”新知

上課伊始,筆者運用多媒體課件將線段比作“筆直又優美的老朋友”,直接引出課題,創設良好的學習氛圍,充分調動學生的興趣,激起他們的好奇心,吸引他們主動參與。然后用“可長可短、可實可虛”給線段下定義,為接下來使用不同長短、虛實結合的線段表達題意埋下伏筆。接著敘述:“同學們,在三年級時利用它畫線段圖解決了不少問題,今天我邀請它再露一次身手,讓你們感受畫線段圖解決問題的魅力!”這既是對舊知的回憶,又交代了本節課的教學內容,使新知與舊知銜接,形成知識鏈。

(二)認真讀題,厘清數量關系

出示例題:小寧和小春共有72枚郵票,小春比小寧多12枚,問小春和小寧各有多少枚?

認真讀題初步了解題中的條件,是把題中數量關系轉化成對應圖形的前提。古人云:“書讀百遍,其義自見。”只有把題中條件和問題讀懂了,才能在腦中重組代數條件,才能轉化成直觀的幾何形象,為找到思路奠定基礎。所以筆者出示例題后提出要求:認真讀題,讀懂題意后思考題中有幾個量、知道題目的條件、求什么,做到心中有“數”。

(三)分層教畫線段圖,初步實現數轉形

為了確保學生敢畫、會畫線段圖,將抽象數學內容轉化為直觀圖畫,同時啟發帶動后進生學會尋找策略,筆者采用分層教學的方法:先畫出代表兩個事物的線段,再讓他們自主思考如何添補出題中其他條件和問題。但是班級學生出現了分化:部分學生經過嘗試添畫完成,而另一部分學生遲遲不敢動筆操作。這時筆者仔細示范題中每一個條件轉化成線段圖的過程,邊畫邊說出相關條件在線段圖中如何表示,特別強調具體的操作:先畫出兩條線段,注意要做到起始端對齊,方便比較;用小括線把多出的量表示出來,再用大括線將上下兩條線段括起來表示一共有72枚,用大括線和問號分別表示小春和小寧各有多少枚。先放手給每位學生動手實踐的機會,讓學生在主動思考中暴露問題;再“幫扶”——示范畫圖,讓學生從模仿中比照自己和教師的操作,加深對范例的印象,從而主動去掌握正確的畫法。雖然這是舊知,但根據四年級學生的學情,有的放矢地教畫線段圖還是很有必要的,因為用線段圖把題中條件和問題準確地表示出來,是學生學會用線段圖解決問題的基石。這樣不僅更正了部分學生自主繪圖時犯的錯誤,更為大部分中等生和后進生提供了“燈塔”,為下一步找思路解決問題打下了重要基礎。

(四)細審線段圖,自主找尋解題思路

認真讀題,“畫”出條件和問題,這只是將題中數量關系直觀地在線段圖上表示出來,真正解決問題還是要對圖形進行分析,把線段圖隱含的數量關系用等式表示出來。于是筆者引導學生細致地觀察,先獨立思考再合作探究,在思維碰撞中多角度解決問題。最終師生從線段圖的觀察、比較中總結出三種解決問題的方法。

去多法:因為圖中代表小春郵票數的線段比小寧的長,所以把小春多的部分去掉,使代表小春郵票數的線段變得和小寧的同樣長,這時圖中他們的總枚數變成72-12=60(枚),這60枚也可以說是小寧郵票數的2倍,所以小寧的郵票數為60÷2=30(枚),小春的為30+12=42(枚)。這一解法我們稱之為“去多法”。

添少法:把圖中代表小寧郵票數的線段比小春少的部分補上,讓代表小寧郵票數的線段變得和小春的同樣長,這時圖中他們的總枚數變成72+12=84(枚),這84枚也可以說是小春郵票數的2倍,所以小春的郵票數為84÷2=42(枚),小寧的為42-12=30(枚)。這一解法我們稱之為“添少法”。

均分法:通過線段圖可以看出如果把小春多的部分平均分成兩份,也就是12÷2=6(枚),自己留下一份,另一份送給小寧,讓小寧的和小春的變得同樣多。這時圖上他們的總枚數沒有變,但72÷2=36(枚)是小春和小寧的郵票變得同樣多后的枚數,所以小寧實際的郵票數應該是36-6=30(枚),小春的應是36+6=42(枚)。這一解法我們稱之為“均分法”。

整個解決問題的過程以學生自主表達為主,以教師引導為輔。教師將手機和大屏幕連接,適時展示學生代表解決問題的過程。在新技術的支持下,學生觀察、比較并改變線段圖,推導出各種新的數量關系,非常便捷又高效地呈現出不同方法,突破了線段圖中各種關系及變化的難點。學生通過直觀的線段圖,在思維的碰撞中找出更多的新條件,想出不同的解決問題的方法。這樣一個看似簡簡單單的線段圖經過不斷改變,不僅給學生帶來視覺上的沖擊,還能發掘隱含的數量關系和多樣的解決方法,使問題化難為易。學生從中真切感受到畫線段圖解決問題的巧妙之處,自覺意識到畫線段圖的重要性,從而發展數形結合思想。

(五)歸納反思利用線段圖解決問題的過程,探討解決問題的策略

例題的教學讓學生經歷從抽象的題文到直觀的線段圖的轉化過程,但學生還缺乏對解題方法的總結和思考。學會舉一反三才是高效教學的體現,所以教師還要適時引領學生回顧反思方法,重點思考三種方法的相同和不同之處,由方法的探究上升到策略的總結。

筆者同時展示三種方法的線段圖(見圖1),在集中觀察、對比下學生會發現三種方法都是把小寧和小春的郵票變得同樣多,這是解決問題的關鍵,也是學生在觀察和運用線段圖的過程中解決問題的重要突破口,抓住了這個思路,線段圖的作用才能充分發揮出來。

圖1 三種方法的線段圖

有的學生通過觀察圖片總結:去多法是讓小春的郵票減少12枚,變得和小寧的同樣多;添少法是給小寧的郵票增加12枚,變得和小春的一樣多;均分法是把小春多的12枚平均分,讓小春送6枚給小寧,兩人郵票數都變化后才同樣多。這些都是讓兩個不同的量變得相同,然后用和倍的關系計算出一個量,最后解決所有問題。

有的學生總結:三種變得同樣多的方法中,他倆的總枚數是不一樣的。去多法中總枚數減少12枚,變成(72-12)枚,是小寧郵票數的2倍;添少法中總枚數增加12枚,變成(72+12)枚,是小春郵票數的2倍;均分法中總枚數沒有變,但72枚既是小寧增加6枚后的2倍,又是小春減少6枚后的2倍。

兩個不同的量的和倍關系,從題目的文字描述中是很難發現的,而通過觀察和改變原來的部分線段圖就能清楚地看出來。由此可知,這三種方法的共同之處就是把兩個不同的數量變得同樣多,然后通過兩數之和求出其中一個數,但是為了變得同樣多,其他的數量關系就要做出變化。這樣復雜的變和不變的數量關系只要我們在線段圖上添一添、刪一刪就可以直觀地呈現,這就是畫線段圖解決問題的策略。

以上利用線段圖解決問題的過程,引導學生思考不同方法背后的異同之處,探尋其中的規律,抓住解決問題的關鍵。學生認識到線段圖不僅能直觀清晰地表示題意,還能挖掘出題目中隱含的信息,從而讓我們輕松地找到解決問題的思路?！笆谌艘贼~不如授人以漁”,只有幫助學生把已有經驗上升到策略的層面,才能真正培養學生分析問題和解決問題的能力,使其形成數形結合的意識和思維。

二、畫線段圖解決問題的策略應用

(一)實戰:練習畫圖之歷程,培養運用策略的意識

學生只有在實戰練習中才能逐漸內化策略,逐步自覺熟練地運用策略來解決實際問題。因此,教師要設置合適的練習給學生經歷由數轉形的機會,使其進一步熟悉畫線段圖解決問題的策略。練習時充分利用手機拍照投屏,適時展示成果,引導學生多問“為什么這樣做”,梳理自我思考的過程,真正掌握方法,增強運用線段圖分析問題的能力,進一步培養運用此策略的意識。

(二)拓展:靈活挖掘圖中隱含條件,提升運用策略的能力

練習的目的是把思路越練越活,安排的練習不僅要適合運用畫線段圖的策略,還要在數量關系、結構和解題方法上做出改變,既讓學生感受到此策略的普遍性,又不斷給學生帶來挑戰,使其意識到數形結合的多樣和多變,避免學生機械片面地理解和運用策略。所以課堂練習不能僅僅停留在熟練掌握已有方法上,還要拓展延伸應用,增強應變能力,深化數形結合思想。

拓展類習題提供的條件不如基礎類習題明晰,給學生解決問題設置了障礙、增加了難度,學生在畫線段圖時容易陷入“山重水復疑無路”的境地。這就需要引導學生分析、挖掘線段圖中隱含的數量關系。比如對于拓展題中“書架上層書的本數是下層書的三倍”這個條件,學生先要推斷出上層與下層的差倍關系,才能用兩條線段來表示相對應的兩個量,接著需要思考:為什么搬60本書能使上下層書的數量正好相等?這時學生由相差的線段圖能直觀感受到從上層書多出的兩份中“搬”一份到下層書中就實現“同樣多”,也能看出其中一份就是60本,那么上下層書的本數就顯而易見了,可謂是“柳暗花明又一村”。這樣的拓展練習讓學生明白在畫圖、看圖時要靈活運用所學到的方法,真正做到學以致用;并且解決更難的問題必然會讓學生對新策略的運用產生更濃厚的興趣。

學生經歷了畫線段圖解答多種題型的過程,學會了思考如何改變以及為什么這樣變化題中的數量關系,進而綜合運用策略創造性地分析線段圖,提高了認識,真正將策略內化為自身解決問題的能力,初步形成了數形結合的思想。相信學生今后在解決問題的過程中能自然想到且樂于使用線段圖,最終養成良好的解決問題的習慣。

三、結語

在數學課堂教學中,教師要充分了解學生的學情,引導學生經歷畫線段圖解決問題的過程,為學生初步形成數轉形意識打下基礎,努力讓學生的思維在嚴謹又愉快的環境中得到訓練和拓展。要想使數形結合的數學思想有效植根于學生的學習思路,需要長期的、多樣的教學引導,需要教師堅持不懈地探索更多更好的方法。