基于矩陣對策的編隊攻防試訓方案優化設計?

李湘寧

（中國人民解放軍92941部隊 葫蘆島 125001）

1 引言

水面艦艇是未來海上作戰的最小單元，在驅護編隊或航母編隊中承擔重要的作戰任務，可實施打擊作戰和防御作戰［1］。目前，以編隊為基礎的攻防能力檢驗已成為海上演訓的主要模式，可檢驗基于動態實兵的對抗效能、基于任務的指揮流程以及基于精算的戰法體系［2～3］。海上編隊演訓任務需動用大量的實兵、實彈，花費大量的人力、物力，因而需要預先制定精密的演訓方案，對實兵、實彈進行統籌規劃。本文利用運籌學中的矩陣對策理論，借助線性規劃算法對編隊攻防演訓中所需的實彈射擊分配方案進行精算［5～6］，以期以最小的經濟代價達到最大的軍事訓練效益［7］。

2 矩陣對策基本理論［1］

對策現象就是帶有沖突、競爭、對抗等性質的現象。一般都是兩個或兩個以上的具有決策權的參加者在某種對抗性或競爭性的場合下各自做出決策，使己方得到盡可能有利的結果［8］。矩陣對策又稱為二人零和有限對策［9］。

在矩陣對策中具備攻防雙方α和β，雙方的策略集分別為Sα=(α1、α2、…αm)、Sβ=(β1、β2、…βn)，當α選定策略αi且β選定策略βj，則形成了一個局勢(αi，βj)。對于任一局勢(αi，βj)，可記α的得失函數值為aij，于是由得失函數構成m×n維的矩陣。

矩陣對策簡記為G=|Sα，Sβ，A|。設α方以概率xi選取策略αi，β方以概率yi選取策略βj，則

求解矩陣對策G=|Sα，Sβ，A|的最優混合策略解x*和y*從及對策期望值ν*即可獲得攻防問題的最優策略。其中，ν=E（x，y）=Σ(aij?xi?yj)。

針對式（2），令x′i=x′i/ν，y′j=y′j/ν，則式（2）變換成如下形式：

由于α方希望對策期望值越大越好，也即希望1ν越小越好；β方希望對策期望值越小越好，也即希望1ν越大越好，于是有目標函數如下：

于是將矩陣對策轉化為線性規劃方程，求解線性規劃方程（3）、（4）即可獲得矩陣對策G=|Sα，Sβ，A|的最優混合策略解從及對策期望值ν*。

3 線性規劃基本理論

線性規劃是當約束條件及目標函數均為線性函數時的規劃，可用于解決對作戰目標或作戰地域進行同類兵力火力分配的問題［10］。線性規劃模型具有如下特征：

1）每一個問題均可用一組決策變量x1，x2，…xn來表示某個實施方案，這組決策變量的每一組取值，就代表某一個具體的方案。通常情況下，這些決策變量的聚會都是非負的；

2）存在一定的限制條件，這里稱為約束條件，這些約束條件可用一組線性等式（或不等式）來表示；

3）都有一個要求達到的目標，它可用決策變量的函數來表示，稱為目標函數。根據問題的性質不同，目標函數要實現的目標可能是最大化，也可能是最小化。

滿足以上三個條件的數學模型就是線性規劃模型，其一般形式如式（5）。

對線性規劃數學模型進行求解的方法主要有圖解法、單純形法和單純形表法。圖解法主要適用于2×2 元簡單的數學模型；單純形法涉及大量的數值計算，且各數值之間關系復雜、種類繁多，不適用于工程應用。為簡明計算過程，通過列表的形式進行求解的過程為單純形表法。

利用單純形表求解線性規劃問題，需對線性規劃方程組進行標準化處理，基本原則如下：

1）對于“ ≤”形式的不等式，需在約束方程的左端“+”一個非負的松弛變量；

2）對于“ ≥”形式的不等式，需在約束方程的左端“-”一個非負的松弛變量，再“+”上一個非負的人工變量；

3）對于“=”形式的等，需在約束方程的左端再“+”上一個非負的人工變量；

4）將目標方程轉換為求最大解。

單純形表法的基本形式見表1。

表1 單純形表基本形式

單純形表的線性規劃問題求解過程如下：

1）首先將線性規劃基本模型中的相關參數代入初始單純形表中，θi列和σj行暫時空著后行處理；

3）在所有的σj>0 中，若有某個σk>0，且對應的aik≤0，則可判定該規劃問題無解，停止運算，否則轉下一步；

4）根據max{σj|σj>0}=σk，確定xk為換入變量，按最小比法則θi=min{θi|θi=bi/aik且aik>0}，以確定xBr=xr為換出變量，轉下一步；

5）令bi=br/ark，以ark為主元進行旋轉運算，把xk對應的列向量Pk變成單位列向量求得新的基可行解；

6）重復步驟2）～5），直至獲得最優可行解。

4 實例分析

本工程實例目的在于介紹矩陣對策在試訓工程中的應用，涉及的指標和試驗數據都經過處理。

某海域將組織水面艦艇編隊實施攻防對抗演練，藍方預計組織2 型超音速反艦導彈形成高低混合的水面攻擊態勢，紅方預計組織中遠程、中近程、近程三型防空武器實施對抗，三型武器攔截區域和殺傷能力不同［11～12］。現擬利用矩陣對策部署攻防雙方兵力的數量，以期以最小的經濟代價獲得最大的訓練效果。紅方三型防空武器對抗藍方兩型攻擊武器的殺傷概率見表2。

表2 防空武器殺傷概率一覽表

依據表2獲得對策矩陣為

1）紅方最優策略求解

設三型防空武器的使用比例分別為x1、x2、x3，根據對策矩陣紅方以獲勝為目的的線性規劃方程及其變形方程為

依據單純形表求解的基本原則，引入松弛變量和人工變量，獲得標準化線性規劃方程為

依據式（8）形成的單純形表求解過程見表3。

表3 紅方單純形表求解過程一覽表

依據單純形表求解原則，當σj≤0 時得到最優解由式（7）可知ν=

2）藍方最優策略求解

設兩型反艦導彈的使用比例分別為y1、y2，根據對策矩陣藍方以獲勝為目的的線性規劃方程及其變形方程為

依據單純形表求解的基本原則，引入松弛變量，獲得標準化線性規劃方程為

依據式（8）形成單純形初始表：

依據單純形表求解原則，當σj≤0 時得到最優解由式（9）可知ν=

3）最優策略分析

由表1 的計算結果可知，紅方三型防空武器的使用比例最優策略解為在高空超音速反艦導彈和低空超音速反艦導彈實施聯合攻擊的條件下，中遠程防空武器與近程防空武器即可實現對空聯合防御，兩型武器在2：1 的配比下可以達到最佳的防御效果。也就是說在中遠程防空武器與近程防空武器實施聯合防空的過程中，防御重點是中遠程防空，同時中遠程防空力度的加大將會大大降低近程防空的壓力。

由表2 的計算結果可知，藍方兩型反艦導彈的使用比例最優策略解為：中高空超音速反艦導彈與低空超音速反艦導彈兩型武器在1：2.3 的配比下，對敵艦實施聯合攻擊可達到最佳的突防效果。也就是說低空超音速突防是反艦導彈攻擊策略的重點，低空超音速突防比例的加大將會大大增加突防概率。

5 結語

目前，在大型的海上試驗、訓練和演習任務中，編隊攻防演訓對象已不僅限于水面艦艇編隊，還包括空中編隊、水下編隊以及聯合編隊。基于矩陣對策的攻防設計理論，可以指導多型武器聯合攻防試訓演實彈射擊分配方案的設計，為實彈射擊方案的設計提供科學的理論輸入。