大概念視角下運算本質一致性教學探索

顧健　任建波

［摘 要］《義務教育數學課程標準（2022年版）》為運算本質一致性教學探索提供了更多學理分析與脈絡梳理。文章是從運算教學角度出發，基于單元整體教學的視角，將“小數乘整數”這一課設計成形成知識鏈、建構知識體系和認知體系的“錨點課”，提煉出屬于這個課時的大概念，并發揮其“魂”的作用，將其自然、無痕地融入學生的遷移性學習，進而利用運算意義支撐“算法” 的多樣性，使學生能在不同“算法”的背后探尋其本質，大膽構建可遷移的路徑。

［關鍵詞］大概念；運算教學；一致性；單元整體教學

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0009-04

【課前思考】

“小數乘整數”是蘇教版教材五年級上冊第五單元第一課時的教學內容，以往的教學目標是“學生能憑借整數乘法的計算方法或運用積的變化規律計算出結果，進一步可以總結出小數與整數乘法之間的關系”。在深入學習《義務教育數學課程標準（2022年版）》的相關課程理念與教學建議后發現，以往教學目標中追求學生計算方法的熟練并不能證明學生對算理已經有了通透的理解，指向學生數學運算能力的形成尚有空間。此時，如果獨立地看待這一課時，可以通過“整數乘法”——“求幾個相同加數的和的簡便計算”類推到“小數乘整數”，但是在教學“小數乘小數”時，比如“0.1×0.2=”，學生會因為兩個因數都是小數而產生認知偏差，以致不能準確理解其得數0.02是單位細分的結果，產生了遷移單一、片面的現象。這限制了學生知識理解和認知發展的全面性、整體性需要。

大概念不僅僅能夠促進學生對于知識縱向上的本質理解以及橫向上的聯結擴展，還能夠發展學生自我建構與自我進化的能力。從運算教學角度來看，這個課時既獨立又與前后知識關聯，可以看成是基于大概念統攝來形成知識鏈、建構知識體系和認知體系的“錨點課”。對此，需要思考：如何提煉出屬于這個課時的大概念，并在單元整體視角下將其自然、無痕地融入學生的遷移性學習？進而利用運算意義支撐“算法”的多樣性，使學生能在不同“算法”的背后探尋其本質，大膽構建可遷移的路徑。

基于以上思考，筆者對這個課時的教學做了如下梳理（如圖1）：

【課堂實踐】

一、激活經驗，理解意義

師（出示情境圖，如圖2）：從圖中可以知道哪些數學信息？

生1：夏天時，每千克西瓜0.8元；冬天時，每千克西瓜2.35元。

師：夏天是西瓜成熟的季節，購買3千克西瓜需要多少元？請列算式。

生2：0.8×3。

師：說說列乘法算式的理由。

生3：每千克0.8元，3千克是3個0.8相加，可以列式0.8×3。

生4：根據數量關系“單價×數量=總價”。

師：是的，既可以聯想到整數乘法的意義——小數乘法也是求幾個相同加數的和，也可以聯系數量關系，得出算式。

【設計意圖】教材的情境設置貼近學生日常生活，有利于學生在真實情境中獲得感悟。學生對小數乘法有一定的認知經驗，這一環節主要是溝通整數乘法與小數乘法意義之間的聯系，引導學生通過數量關系列出乘法算式。這樣既能連接新知與學生的認知起點，也有利于學生積極、主動地展現思維過程。

二、理解算理，構建概念

師：怎么計算0.8×3？

生1：把0.8×3看成0.8+0.8+0.8，也就是3個0.8相加，和是2.4。因此0.8×3=2.4。

師（出示圖3）：利用小數加法和小數乘法之間的關系進行推理是個好辦法！

生2：把0.8元看成8角，這樣就變成了整數乘法8×3=24（角），再把24角換算成2.4元，所以0.8×3=2.4。

師（出示圖4）：借助已經學過的“元、角”知識，將小數轉化成整數再進行計算，你真會思考！

生3：還可以把0.8擴大10倍，看成8。我們會計算整數乘法，想8×3=24，再把得到的結果24除以10，是2.4，所以0.8×3=2.4。

師（出示圖5）：利用積的變化規律進行計算，一個因數乘10，另一個因數不變，積除以10，得到的積大小不變。比較這兩種計算方法，有什么相同的地方嗎？

生4：一種是單位換算，另一種是積的變化規律，它們都是把小數乘法轉化成整數乘法進行計算。

師：會觀察，善總結，還有其他方法嗎？

生5：還可以列豎式計算。0.8是8個0.1，乘3，得24個0.1，所以0.8×3=2.4。還可以變豎式為橫式，用乘法分配律。

師（出示圖6）：結合圖示更方便理解。每個正方形表示1，平均分成10份，每一份是0.1，其中的8份是0.8。0.8×3表示這樣的幾份？是多少呢？

生6：表示這樣的24份，是24個0.1，就是2.4。

生7：0.8表示8個十分之一，乘3得到24個十分之一，也就是2.4。

師：這樣看來，可以先算8×3=24，表示這樣的24份，從圖示可以看出，合起來是2.4。豎式計算是有道理的！

師（出示圖7）：這兩種豎式書寫方法，哪一種更合理呢？

生8：我覺得第②種更合理，在進行加法豎式計算時，要求數位對齊。

生9：我覺得第①種更合理，在計算整數乘法時，要末尾對齊。

師：聽著都有道理，這可怎么辦？

生10：我也支持第①種寫法。因為剛才用單位換算、積的變化規律計算時，都把小數0.8看成整數8，再乘3，這樣就看成整數乘法，所以8和3對齊。

師：對比研究是個好辦法！加法計算中只有相同數位對齊才能相加；小數乘法轉化成整數乘法，所以末尾對齊更方便計算。我們習慣用第①種方式。

【設計意圖】本環節注重聯系學生已有知識，在追問中激活學生的已有經驗，在質疑中激發學生主動建構算法。首先，從小數乘整數的意義入手，學生自然能想到用“連加”解決問題。其次，學生從單位換算角度將小數0.8轉換為整數8后，初步體悟小數乘法與整數乘法之間的關系。最后，學生從積的變化規律和乘法結合律角度理解小數轉化成整數的合理性。多樣的算法表征促使學生在同化和順應中完善已有認知，逐漸建立起小數乘法的計算結構。而利用豎式計算，借助圖形直觀展現算理，“算法抽象”建立在“算理直觀”基礎之上，能貫通多種表征形式，為學生理解兩位小數乘整數的方法做鋪墊。

三、溝通算理，歸納算法

師：冬天時，西瓜價格發生了變化。買3千克西瓜要多少錢？6元夠嗎？

生1：2×3=6，2.35大于2，6元肯定不夠。

師：估算是個辦法，買3千克究竟需要多少錢？

生2：先算235乘3，3乘個位上的5，得15，寫5向十位進一；再用3乘十位上的3，得9，加上進上來的1是10，寫0向百位進一；然后用3乘百位上的2，得6，加上進上來的1是7，得705后；最后，添上小數點是7.05。

師：剛才計算0.8×3時，得數2.4是一位小數，2.35×3得數7.05是兩位小數。7.05的小數點位置是怎么確定的？

生3：2.35表示235個百分之一，再乘3，得到705個百分之一，所以是7.05。

師：回答得有理有據。現在回頭看這兩道小數乘整數的豎式計算（略），它們在計算方法上有什么相同之處嗎？

生4：都是先看成整數乘法進行計算，算出得數后再添上小數點。

生5：列豎式時，都是末尾對齊。

生6：一位小數乘整數，得數是一位小數，兩位小數乘整數，得數是兩位小數。

師：順著生6的思考，你還能聯想到什么？

生7：幾位小數乘整數算得的積就是幾位小數。

【設計意圖】本環節重點解決兩個問題，一是通過對小數乘整數意義的理解確定積的小數點位置。在計算得出705后利用問題“7.05的小數點位置怎么確定的？”幫助學生回到源頭進行思考。二是概括小數乘整數的計算方法。先通過比較兩道豎式，從形式上判斷出小數位數與積的位數關系；再通過類比推理，感悟一位小數乘整數就是計算有多少個十分之一，兩位小數乘整數就是計算有多少個百分之一，依此類推，幾位小數乘整數的實質是計算有多少個單位“1”。這樣的過程，既有算理思考的深度，又有算法概括的高度。

四、變式練習，靈活應用

師：根據148×23=3404，能直接寫出“14.8×23”“148 × 0.23” “1.48×23”的積嗎？

生1：14.8×23=340.4。

生2：148 × 0.23和1.48×23的積都是34.04。

師（出示圖8）：有意思！算式不同結果卻相同，這是巧合嗎？

生3：都是兩位小數乘整數，結果也都表示3404個百分之一，積當然也相同了。

師：數學是講道理的，你一下就找準了問題的關鍵。根據上面的算式，再寫一道得數是340.4的算式。

生4：148×2.3。

師（出示圖9）：請計算這個豎式。

師：35×0.24，其中一個因數是兩位小數，積怎么是一位小數呢？

生5：先算35×24=840，點上小數點，根據小數的基本性質，末尾去掉0，小數的大小不變。

【設計意圖】改編教材中的一道習題，目的是讓學生對因數與小數點之間抽象關系的理解具體化。得出3道算式結果后，學生在問題“為什么算式不同，結果卻相同？”中進一步理解了算法。隨后，在比較中引起認知沖突——“其中一個因數是兩位小數，積怎會是一位小數呢？”，使學生感受如何運用新知解決問題。

五、拓展延伸，整體關聯

師：今天學習了小數乘法，之前學過整數乘法，上一單元還學了小數加法，比較一下，它們有什么相同之處嗎？

生1：整數乘法的結果表示幾個一、幾個十、幾個百……

生2：小數加法和小數乘法的結果表示幾個十分之一、幾個百分之一……

師：一、十、百……，十分之一、百分之一……都是什么？

生3：計數單位。

師：是呀，其實不管哪一種計算，它們的共同之處都是計算有多少個計數單位。

【設計意圖】本環節通過對不同“數”運算的回顧，引領學生體會不同“數”運算的內在一致性，幫助學生建構整體認知，實現對小數乘法的深度理解。

【教后反思】

大概念在整個知識結構和學生認知系統中均具有很強的附著力，依托大概念可以在原有的知識和現有的知識之間，以及在學生舊的認知結構和新的認知生長點之間都能找到同化和順應的“錨點”。在計算教學體系中，小數乘整數與整數、分數乘整數有何異同？本次的教學探索得出以下兩點：

第一，多元表征，尋關聯。從學生熟悉的情境出發，從乘法的意義、計量單位的轉化、積的變化規律等角度，順其自然地歸納出0.8×3都是轉化成8×3進行計算，進而借助乘法結合律進行推演，即0.8×3=0.1×（8×3）。為了方便學生更直觀地理解，筆者展現了3個0.8通過累加變成2.4，也就是24個0.1。至此，學生的關注點聚焦在“計數單位”上，實現了從對運算本質的認識回溯到對數的認識上（數的組成）。

第二，回歸原點，定“錨點”。在計算兩位小數乘整數時，學生能從計數單位的角度進行解釋，體現了大概念的靈活性與可遷移性。練習中，根據整數乘法的結果深度探究另外三道算式，數字雖不同結果卻相同的過程，推動了學生運算思維的進階可視化。更難能可貴的是，總結時，學生在整數乘法、小數乘法、小數加法計算體系中感受到了知識遷移過程中“錨點”（計數單位）的固著力。可見，教學建立在這個大概念基礎上，有效降低了學生的思維負荷，拓寬了學生認知運算本質的“算理域”，豐富了學生掌握運算技能的“方法場”。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 李剛，呂立杰.大概念課程設計：指向學科核心素養落實的課程架構[J].教育發展研究，2018（Z2）：35-42.

【本文系2022年江蘇省研究生教育教學改革一般課題“大概念視域下小學教育專業碩士教學想象力生長路徑研究”（編號：JGKT22_C082）和2022年度江蘇高校哲學社會科學研究重大項目“大概念的教學意蘊與統攝機制研究”（編號：2022SJZD044）基金項目的研究成果。】

（責編 金 鈴）