思辨中彰顯關聯　演繹中由表及里

潘夢瑤

［摘 要］經歷演繹推理的過程是培養學生嚴謹思考、學會辯證看待事物的重要途徑之一。以反思“四邊形的認識”一課為例，梳理教材和學情，在此基礎上以圖形的邊角為切入點，帶領學生經歷“證據”提煉、論證及梳理的過程，使學生在觸及本質的推理表達中，不斷發展演繹推理能力，逐漸養成理性的思考方式，形成對立統一的辯證思維。

［關鍵詞］四邊形；演繹推理；關聯視角

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0034-04

推理是數學思維的主要表現之一，“會用數學的思維思考現實世界”的核心素養的落實離不開推理意識的培育與發展。推理可分為從特殊到一般的合情推理和從一般到特殊的演繹推理。當前，小學階段的推理教學更多地將關注點落在合情推理的滲透上，演繹推理的教學則主要集中于初中和高中。實際上，小學許多知識點的背后也暗含著演繹推理的思想，下面將以“四邊形的認識”教學為例進行論述。

一、全局視角，深度剖析，探尋關鍵的思想理念

滲透重論據、講邏輯的演繹推理能夠有效促進學生理性思維的成長，助力學生辯證思維的萌發。

1.為“源”而理，著眼整體聯系

首先，對認識四邊形這一內容進行了單元內的橫向梳理（如圖1）?！八倪呅蔚恼J識”是人教版教材三年級上冊第7單元“長方形和正方形”的教學內容，這一單元的教學分為四邊形和周長兩部分：四邊形→長方形→正方形，四邊形周長→長方形周長→正方形周長。可以發現，這兩條教學主線都是從一般走向特殊，這實際上就是演繹推理的過程。

其次，對這一內容進行了縱向對比（如圖2），發現“平面圖形的認識”這一板塊的教學編排上也體現著這樣一條思想暗線：三年級本單元的內容是從一般走向特殊，后面平行四邊形、三角形的教學也是如此，最后是從“一般”的直邊圖形走向“特殊”的曲線圖形。可見，“四邊形的認識”是圖形認識領域演繹推理思想的初次滲透，是后續圖形關系推理的基礎。

再從學習方法來看，掌握四邊形、長方形、正方形的特征提煉技巧是本課的重點。在一年級時，學生已經有了根據外觀辨認圖形的經驗，本課則是要幫助學生從表象認知水平進入到依托特征判斷的定性分析水平。在二年級時，學生已經有了基于邊、角認識圖形的經驗，本課以及后續的平行四邊形、梯形、三角形都可以從這兩個要素出發去研究。因而，在教學中凸顯“邊”和“角”這兩個判斷圖形特征的要素，既能讓學生的推理有依據、有方向，也能為學生的后續學習打下基礎。

2.為“診”而測，把握教學起點

為了更精準地把握學生對于四邊形、長方形以及正方形的已有經驗，以學定教，筆者抽取了城鎮中心小學三年級全體學生（共225人）進行前測，結果見表1。

從第1題的作答情況中可以發現，學生借助點子圖畫一個任意四邊形的正確率是較高的。問題在于，多數學生只能畫出生活中常見的特殊四邊形。這表明，學生對四邊形的認知是不全面的。從第2題和第3題的作答情況可以看出，在辨認正向擺放的長方形和正方形時學生是沒有問題的，將長方形和正方形傾斜放置后會對部分學生的判斷產生一定的干擾，而那些非常近似長方形或正方形的四邊形（打*的選項）是學生最容易錯選的。這就反映出學生對這些看似熟悉的圖形有一定的認識，但在辨別時缺少理性的判斷方法和依據。可見，教學素材的選取以及判斷依據的提煉是本課需要關注的點。

整體考量教材和學情可以發現，本課在整個“圖形與幾何”領域起著承上啟下的作用。因此，本課僅止步于知識點的教學是遠遠不夠的，知識背后的思想方法也尤為重要。挖掘與凸顯方法的相似性，緊抓邊和角，展開由表及里的演繹推理，既能幫助學生走出僅憑直覺判斷的前經驗，也能讓學生形成圖形關系探究的自主遷移能力。

二、站穩學生立場，強化推理，搭建有效的學習路徑

如何讓抽象的演繹推理在學生的腦海中鮮活起來呢？讓學生完整地經歷演繹推理的過程，是使其領悟并發展推理能力的有效途徑。

1.順藤摸瓜——拾“證據”基礎，孕伏演繹推理

演繹推理是借助邏輯推演獲取結論的一種思維方式，需要有一般性“證據”作為推理前提。四邊形、長方形、正方形的特征便是本課演繹推理的關鍵證據。而邊和角作為構成平面圖形的兩個基本要素，能為學生提煉特征、展開推理指明方向，以保證學生能夠快速地尋得并列舉出符合目標的“證據”。

（1）寓學于趣——著眼起點，凸顯邊角明方向

演繹推理的過程是抽象的，數學知識本身又較為枯燥，因此筆者以“四邊形派對”為主情境展開教學（如圖3）。

“你心目中的四邊形有怎樣的特征？”這一問題，能促進學生新舊知識的銜接，讓學生初步感知研究圖形的要素，為后續的分類活動提供一定的標準和方向。

分類活動則是將學生“原認知”中的誤區和難點直接暴露在課堂中，通過辨析幫助學生的思維逐漸聚焦到圖形的邊和角的特點分析上，使“證據”的提煉更具指向性。

（2）返璞歸真——巧選素材，去除干擾明本質

演繹推理需要學生具有一定的抽象能力，讓學生經歷去除外在非本質要素、明確內在本質特征的過程，是提升抽象思維、發展辯證眼光的重要途徑。合理選取和使用學習素材能有效助推學生尋得圖形背后的秘密，習得透過現象看本質的能力。

層次一：多元表征，去“飾”留“形”

在特征提煉環節，筆者提供了形狀、顏色、大小以及擺放方向各不相同的材料（見表2）供學生觀察思考，讓學生根據觀察“邊”和“角”的經驗，準確提煉出這些看似不同的長方形、正方形的共同特征。

層次二：素材整合，求“同”存“異”

在上述探究活動結束后，筆者將素材（如圖4）整理后再次展現在學生眼前。經過進一步的觀察、分析、比較，學生對長方形和正方形有了更準確的認識。

比較：觀察這些剛才驗證過的長方形和正方形，你有什么發現？

追問：為什么正方形始終是方方正正的，而長方形卻有高矮胖瘦之分？

本次觀察任務，以舊素材、新視角去分析長方形和正方形的特征，讓學生進一步認識到影響長方形、正方形形狀的仍舊是它們的邊和角，即長方形的形狀同時受到長和寬的影響，所以長方形會有不同的形狀，而正方形無論邊長是多少，它的四條邊始終相等。

2.精準表達——用“證據”說話，外顯演繹推理

演繹推理強調推理過程的嚴謹性，用規范的數學語言描述內在的思維邏輯是演繹推理得以發展的關鍵。

（1）“演”：關注過程——從合情走向合理

本環節若直接用語言描述，并不利于學生理解與接納。為此，筆者給學生提供了彩色水筆和若干正方形、長方形卡片，讓學生在邊演示邊解說的過程中清晰地呈現演繹推理的過程。

【教學片段1】如圖5所示，論證正方形的4個角都是直角

生：（大前提）首先通過對折發現正方形的4個角完全重合，可以得到正方形的4個角相等。（小前提）其次借助三角尺比照，發現其中一個角是直角。（結論）由此可以得到正方形的4個角都是直角。

【教學片段2】論證正方形的4條邊都相等

生1：如圖6所示，（大前提）通過上下對折發現紅色的這組對邊相等，左右對折發現藍色的這組對邊相等。（小前提）沿對角線對折發現紅色和藍色這兩條鄰邊也相等。（結論）因此，正方形的4條邊都相等。

生2：如圖7所示，（大前提）第一次沿對角線對折發現紅色這組鄰邊相等，藍色這組鄰邊也相等。（小前提）第二次沿對角線對折發現紅色和藍色這兩條鄰邊也相等。（結論）因此，正方形的4條邊都相等。

以上學生給出的3種驗證方法其實都蘊含著“三段論”形式的演繹推理，即2個前提加1個結論。在說理時，教師應引導學生用邏輯語言來完整地表述推理過程，感悟“三段論”推理的模型。

（2）“繹”：抽出精髓——從對立走向統一

在演繹推理的過程中，不僅要讓學生明確“證據”的可靠性，更應讓其關注到“證據”背后的關聯，從二元對立的思維中走出來，整體把握圖形之間的關系，使得部分與整體的關系教學得以突破。

本課先由推理簡單的關系入手，借助“形”來引發學生的認知沖突，通過“理”幫助學生擺脫刻板印象，讓演繹自然發生。

【教學片段3】探究凹四邊形是不是四邊形

師（出示圖8）：看看這個圖形，你們的疑問消除了嗎？它到底是不是四邊形？

生1：不是。因為它只有3個角。

生2：不是。因為它的第4個角在外面。

生3：是。因為它有4個角和4條直邊。

師：四邊形有4個角和4條直邊，這個圖形也有4個角、4條直邊，符合四邊形的所有特征，所以它也是四邊形。

上述三位學生的推理過程實際都是省略形式的演繹推理，推理時把“四邊形有4個角和4條直邊”這個大家一致認可的大前提隱去了。盡管學生的表述并不屬于嚴謹形式的“三段論”，但他們的推理過程是嚴密且富有邏輯的。教師可以有意識地帶領學生做總結，為其進行更復雜的演繹推理打下堅實基礎。

直觀地展示圖形間的關聯是破除對立思維、展開深度推理的有效途徑。因此筆者讓4個頂點“動”起來，呈現由普通凸四邊形到長方形，再到長邊縮短的長方形，乃至正方形的變化過程（如圖9）。

通過動態演示，學生能夠直觀地看到“邊帶動角”“角帶動邊”的過程，初步感知三個圖形的關聯。此時，借助問題“長方形是不是四邊形？”“正方形是不是長方形？”，引發學生的思辨。在演繹推理中，學生的思維從直觀過渡到抽象：因為四邊形有4條直邊和4個角，長方形也有4條直邊和4個角，所以長方形是四邊形；因為長方形的4個角都是直角且兩組對邊相等，正方形也有4個直角且對邊相等，所以正方形是長方形。每一次都把推理依據與結論的過程說清楚，就能加深學生對四邊形、長方形和正方形這三者本質的認識，幫助學生搭建起關系結構，養成“對立統一”的辯證思維。

3.見微知著——擴“證據”體系，伸展演繹推理

演繹推理的價值不僅在于得到一個科學的結論，還在于使學生掌握這種思維能力。恰當的溝通與聯系，不但能凸顯不同事物之間的相似性，還能使思想方法得以遷移。

師：這些留下來的四邊形中，有你熟悉的“老朋友”嗎？

生：有。梯形、長方形、正方形、菱形、平行四邊形。

師：其實這些有特殊名稱的四邊形，除了有4個角和4條直邊，各自還有特點，我們仍然可以從角和邊入手對它們進行更深入的研究。

師：以后我們還會學習前面提到的平行四邊形、菱形和梯形，在研究它們時同樣可以從邊、角入手。這些圖形與我們今天學過的圖形存在著密切的聯系，同樣可以用關聯的視角去推理驗證。

平面圖形的特征提煉過程存在相似性，甚至圖形關系的推理過程也存在相似性。借助語言外顯圖形內在的聯系，能為新知識與新結論的獲取指明方向和思路，能讓學生的思維完成從此類到彼類的跨越，進而讓演繹推理的遷移有跡可循。

綜上，教師在日常教學中應不斷挖掘教材背后的演繹推理，幫助學生養成抽象辯證的“數學眼光”，形成注重邏輯的“數學語言”，達成嚴謹審慎的“數學思維”，讓核心素養真正落地。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 成婕妤.小學生數學演繹推理能力發展研究[D].上海：上海師范大學，2022.

[2] 祁倩倩.立足實踐操作，發展演繹推理能力：以“證明”的教學為例[J].數學教學通訊，2023（5）：48-50.

[3] 郝連明.數學演繹推理能力測評研究：以八年級學生為例[J].數學教育學報，2022，31（4）：14-20.

[4] 姚建亞.鄉村小學“關系推理”能力培養的“三缺失”及“三應對”[J].數學大世界（上旬），2022（3）：86-88.

[5] 陳灼欽.培養小學生數學推理能力的教學實踐[J].福建教育，2022（5）：17-19.

（責編 吳美玲）