在變式教學中落實數概念本質的一致性

潘麗君　張元國

［摘 要］文章結合“數的意義回顧整理”教學課例，從“計數單位”的視角對整數、分數和小數的相關知識進行回顧梳理，通過設計相應的變式練習，讓學生在具體的習題訓練中進一步理解和感悟數概念本質的一致性。

［關鍵詞］計數單位；變式教學；一致性

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0062-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“初步體會數是對數量的抽象，感悟數的概念本質上的一致性，形成數感和符號意識”。那么“數概念本質上的一致性”體現在哪里？ 《義務教育數學課程標準（2022年版）》在教學建議中又指出：“在理解整數、小數、分數意義的同時，理解整數、小數、分數基于計數單位表達的一致性。”由此可見，“計數單位”是打通整數、分數和小數一致性的核心概念。“一個基本概念或基本技能的形成，需要有一定程度的重復，這就是熟能生巧的古訓。那么，中國數學教學的‘重復訓練’，是否有什么優越的地方？一個回答是‘重復經過變式而得到發展’。變式教學成為中國數學教學的特征之一。”這段話來自2006年出版的數學家張奠宙教授撰寫的《中國數學雙基教學》。時至今日，變式教學仍然是常見的教學方式，在數學教學中發揮著它獨有的價值和作用。基于此，本文將以青島版教材五年級下冊“數的認識回顧整理”這節復習課為例，從計數單位入手，對整數、分數和小數進行梳理，通過設計相應的變式練習，讓學生在具體的習題訓練中進一步理解和感悟數本質上的一致性。

【教學過程】

一、用計數單位數數（shǔshù），感知數概念的一致性

師：數學家華羅庚說“數源于數（shǔ）”。那數是怎樣數出來的？以365為例，可以怎樣數？

生1：可以一個一個地數，1、2、3……一直數到365。

師：你是以“一”為單位來數的，還有更快的數法嗎？

生2：可以先以“十”為單位來數，10、20、30……數到360后，再接著數5個一，即361、362、363、364、365。

生3：可以先數3個百，接著數6個十，最后數5個一。

師：以“一”為單位，以“十”為單位，以“百”為單位，都是以計數單位來數數。所有的整數都可以用相應的計數單位數出來。

師：整數能借助計數單位數出來。分數和小數能數出來嗎？請舉例說明。

生4：可以“0.01”為單位來數0.64。0.01、0.02、0.03……數64個0.01就是0.64。

生5：還可以先數6個0.1是0.6，再接著數4個0.01，合起來是0.64。

師：以“0.1”為單位，可以數出一位小數；以“0.01”為單位，可以數出兩位小數……因此，小數也可以借助計數單位來數。

生6：[35]是數了3個[15]，還可以接著數[45]、[55]……數了多少個[15]就是五分之幾。分數也可以借助計數單位來數。

師：整數、小數和分數，都是借助相應的計數單位數出來的，都是在數有多少個計數單位。

原題：

（1）124 =（? ）×1+（? ? ）×2＋（ ? ）×4

（2）0.24 =（ ? ?）×2+（? ）×4

（3） [2425]=（? ? ）×[125]

變式1：你會用圖形表示0.24、[2425]、124嗎？試試看。

出示學生作品（如圖1）：

師：說一說你們是怎么畫的。

生7：0.24就是把一個正方形平均分成100份，一個小格表示0.01，涂24個小格就是0.24。

生8：[2425]就是把一個正方形平均分成25份，涂24個小格。

生9：一個小方格表示1，先涂一個百就是100個小方格，再涂2個十就是20個小方格，再涂4個一就是4個小方格。這樣就得到124。

師：畫圖表示數的意義與數數有共同之處嗎？

生10：它們都需要看有多少個計數單位。數數是數出計數單位，畫圖是畫出計數單位。

變式2：在○里填上“＞”、“＜”或“=”。

4260 ○ 5001 ； [35]? ○? [47]；? 1.1 ○? 1.09

生11：4260＜5001。我比較的是千位上的數，4＜5，所以4260＜5001。

師：為什么比較最高位上的數？

生11：最高位上的計數單位最大，4260有4個千，5001有5個千，不管其他數位上的數是多少，4個千小于5個千，所以4260＜5001。

生12：[35]＞[47]。 我先通分，[35=2135] ，[47]=[2035]，21個[135]大于20個[135]，所以[35]＞[47]。

生13：1.1＞1.09，個位上的數都是1，就比較十分位上的數，1＞0，所以1.1＞1.09。

師：在整數、分數和小數的大小比較中，實質上比的是什么？

生14：比的是計數單位的大小和計數單位的數量。

師：在數的大小比較中，依舊要看計數單位和數計數單位的個數。

【設計意圖】原題是用算式呈現數是對多少個計數單位的表達，而變式1改變題型，讓學生用畫圖的方法表示數的意義，這種數形結合的形式直觀可視地考查了學生對三種數的表達一致性的理解；變式2也是改變題型，讓學生通過對數的大小比較進一步體驗數的表達的一致性。

二、理解十進位值制，感受數概念的一致性

師：在剛才數數的過程中，我們知道滿十要向前一位進一，這就是十進制。十進制只用10個數字符號，即0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，就可以表示所有的數。整數和小數都是十進制的，下面結合練習來感受。

原題：觀察圖2，你能寫出哪些數？

變式1：如圖3，有4顆珠子，可以任意擺放到計數器上。

（1）你可以擺出哪些數？

（2）擺出的最大的數是（? ? ?），擺出的最小的數是（? ? ? ?）。

（3）說一說40、4、0.4、0.04中的“4”的意義。

師：為什么把珠子放在最左邊，得到的這個數就最大？

生1：因為在計數器上，計數單位從右向左越來越大，所以把珠子放在計數器的最左邊，表示的數就最大。

師：說一說40、4、0.4、0.04中的“4”的意義。

生2：40中的“4”在十位上，表示4個十；0.4中的“4”在十分位上，表示4個0.1……

師：都是“4”，為什么表示的意義不同？

生3：因為所在的數位不同，計數單位也不同，表示的意義就不同。

師：同一個數字在不同的數位上，表示的值不同，這就是位值制。我們現在常用的計數法就是十進位值制。

生5：不用寫計數單位，只需要寫出計數單位的數量就行，比較簡單方便。

生6：計數單位的位置是固定的，整數的數位是從右向左依次是個位、十位、百位……小數部分從左向右依次是十分位、百分位、千分位……所以表示的數有順序。

師：有了十進位值制，只需要在數位上用0～9十個數字表示計數單位的數量即可。

【設計意圖】原題是引導學生理解“相同數量的珠子，因所在的數位不同，即計數單位不同，表示的數就不同”。變式1是通過任意擺放4顆珠子得到不同數，促進學生進一步思考、感知位值制。變式2是把十進位值制與古埃及的十進累加制對比，凸顯十進位值制的優勢，即簡單、方便、有序。

三、梳理三種數的聯系，感悟數概念的一致性

師：整數、小數和分數這三種數之間有什么聯系呢？先想一想，整數與分數之間可以互化嗎？可舉例說明。

生1：1 = [1 1 ]= [22] = [33]……

師：對，1可以寫成分母是1、2、3……的假分數，那么其他的非零自然數也能化成分母是1、2、3……的假分數嗎？請試著填一填。

原題： 2 = [（? ? ? ）1] =[? （? ? ? ）2] = [（? ? ? ）3]

4 = [（? ? ? ） 1] = [（? ? ? ）2] = [（? ? ? ）3]

變式：

5 = [（? ? ? ）3] = [（? ? ? ）5] = [10（? ? ? ）] = [20（? ? ? ）] = [（? ? ? ?）（? ? ? ?）]

師：所有的非零自然數都可以看作分母是1、2、3……的假分數。分子是分母倍數的假分數可以化成整數。繼續思考，整數和小數可以互化嗎？分數和小數呢？

生2：3.6 = [3610]，0.26 = [26100]，小數可以化成分母是10、100、1000……的分數； [35]= 0.6，[13]= 0.333……，分數可以化成小數。

生3：2.0 = 2，2.00 = 2，根據小數的基本性質，像這樣的小數可以化簡為整數。整數有時也可以根據需要改寫成小數。

師：根據需要，整數和分數、整數和小數、分數和小數之間可以相互轉化。除此之外，它們之間還有聯系嗎？

……

師：我們認識了那么多的整數，從幾個、幾十、幾百、幾千到幾萬……你認為整數中最小的計數單位是幾？

生4：整數中最小的計數單位是1。

師：對，所有的整數都可以看作是從1開始累加的，如26是由26個一累加的，703是由703個一累加的……

師：大家在三年級時認識了分數，什么時候需要分數？

生5：當把一個物體平均分成兩份、三份或更多份，每一份就不能用整數表示時，產生了分數。

師：把1平均分7份，其中的一份是[17]，5份是[57]……繼續下去，我們就可以得到分母是7的所有分數。如果把1平均分9份呢？

生6：我們就可以得到分母是9的所有分數。

師：同理可得，分數是把1平均分得到的。

師：有時為了方便，又把十進分數（[110]、[5100]、[23100]……）用小數表示。小數的計數單位就是十分之一、百分之一、千分之一……所以小數也是把1平均分得到的。

師：還可以進一步總結整數、分數和小數的關系。所有的數都是從1開始，把1累加就得到整數，把1平均分若干份就得到分數，其中十進分數又可以寫成小數。因此，有人說“1是萬數之首”。（出示圖5）

原題：（1）470是由（? ? ）個1組成的；

（2）[58]可以看作是把1平均分成（? ? ）份，表示這樣的（? ? ）份；

（3）0.672也就是[（? ? ? ? ?）（? ? ? ? ?）] ，即把1平均分成（? ? ）份，表示這樣的（? ?）份。

變式：在圖6上畫點表示0.3、1[13]、3、[45]。

【設計意圖】整數、分數和小數的聯系可從兩方面來理解，一是三者之間可以互相轉化；二是三者之間有內在聯系，即“1”累加產生整數，把“1”平均分產生分數，十進制分數又可以記作小數。原題是讓學生理解基礎的“1”的累加和平均分；變式題是讓學生在數軸上先找計數單位再找點，經歷“1”的累加和平均分的過程，從而進一步體驗計數單位是數概念中的關鍵。

【教后反思】

一、于變式教學中統整數概念

教師先讓學生在最熟悉的數數中對“多少個計數單位”有了最初的感知；再讓學生在數的組成中加深認識，如0.24=（0.1）×2+（0.01）×4；然后在畫圖表示中，學生順其自然地想到要數“多少個計數單位”后再涂色，如0.24需要數2個0.1、4個0.01；最后，在數的大小比較中，學生通過交流明確比的是“計數單位及計數單位的個數”。學生的思維在各種形式的變式練習中穿梭，于變化中體驗不變，學生對數的認識上升到“由復雜到簡單”的回歸，學生能夠逐步建立數概念的本質模型，即整數、分數和小數都是計數單位的累加。

二、于變式教學中理解數概念

十進位值制在計數制的發展中具有重要意義，為加深學生的理解，通過對“計數單位的有序排列和無序排列”練習進行變式，體現了計數單位有序排列的便捷性和高效性，即“不用寫計數單位，只要寫出計數單位的數量就行”，進而促使學生理解“每個數位上的數字表示的是相應計數單位的個數”，感受整數和小數基于十進位值制的一致性。

三、于變式教學中關聯數概念

復習課不是知識的重復練習，而是要在“溫故”的基礎上能夠“知新”，使知識系統化。首先，教師在梳理整數、分數聯系的基礎上舉一反三，使學生能夠融會貫通，厘清整數和小數、小數和分數的聯系，建立三種數之間的轉化關系網；其次，教師借助“1”關聯整數、分數和小數三者的關系，讓學生從基礎的填空到在數軸上找點找數，進一步感受計數單位的重要性，感悟數概念之間基于計數單位的聯系。至此，學生學會用整體的、聯系的眼光看問題，數學核心素養得以發展。

（責編 金 鈴）