一致性：探尋數的概念教學的創新路徑

姚莉莉

［摘 要］數的概念教學是數與代數領域中的重要教學內容，主要涉及整數、小數和分數，教學中應注重滲透一致性，這是小學數學核心知識教學的基本追求。文章以分數的概念教學為例，指出分數的概念教學應當整體把握教學內容，打通數的概念的關聯、強調數的一致性，培養學生的數感，發展學生的符號意識，落實核心素養。

［關鍵詞］一致性；數的概念；分數的意義

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）23-0075-03

《義務教育數學課程標準（2022年版）》中明確指出，在“數與運算”教學中，要讓學生感悟數的概念本質上的一致性，體會數的運算在本質上的一致性。數的概念是運算和數量關系的基礎，數的概念教學是整個“數與代數”領域的根基，只有讓學生感悟數的概念的一致性，才能促進學生數感、符號意識、運算能力的發展，有效落實核心素養。

一、源起：基于真實學情的問題現狀分析

在日常教學中，如果教師忽視了數的概念一致性，不注重基礎內容教學，就像房子沒有打好地基，在后續的教學中會遇到很多問題。如學生在解決“求一個數的幾分之幾是多少”和“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”等問題時，難免出現理解障礙。有的教師則會簡單用“單位‘1’已知用乘法、單位‘1’未知用除法”的口訣解釋，短期內看效果似乎不錯，學生能快速解決此類問題。至于為什么單位“1”已知用乘法、單位“1”未知用除法，學生不明白。

數的概念是基礎，運算和數量關系是進階，因此，無論是概念教學還是計算教學，都應注重算理和算法的雙線教學。在實際教學中，教師或許遇到過這樣的情況：在根據教材單獨教學分數乘法或分數除法時，學生都能結合具體情境，通過畫一畫、涂一涂等操作活動，理解具體的算理和算法，但當問題以綜合題組出現，學生卻不能準確解決問題。

這時，我們不妨打破學段間的壁壘，將復雜抽象的新知和學生熟練掌握的舊知聯系起來，做到新舊融合。比如，一個數是另一個數的幾倍，反過來說就是另一個數是這個數的幾分之幾，讓學生體會“倍”和“幾分之幾”都是用來描述兩個量之間的關系（如圖1），感悟數的一致性。

基于對上述現狀的思考，筆者嘗試對分數的意義進行再教學，強調分數同整數、小數一樣，都是由計數單位不斷累加而得到的。

二、再設計：基于數的概念一致性的教學實踐

“分數的意義”的教學目標是讓學生初步理解分數的意義和分數單位，知道把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數叫分數，表示這樣一份的數叫分數單位。通過折一折、分一分、比一比的學習活動，經歷度量分數的過程，體會分數不僅可以分出來，還可以數出來。初步理解假分數的意義，從而把握數的本質，感悟分數、整數、小數的一致性。因此，筆者在“分數的意義”單元第一課時的基礎上進行教學。

1.真實情境引發認知沖突——初步經歷度量分數

師：怎樣找到粉紙條的[14]呢？

生1：我先對折一次，再對折一次，打開后發現平均分成了4份，從而找到粉紙條的[14]。

生2：我是比出來的，粉紙條比黃紙條多出來一部分，恰好是粉紙條的[14]。

師：通過折一折、比一比，我們找到了粉紙條的[14]，用粉紙條的[14]為單位來測量，發現黃紙條有3個這樣的[14]，是[34]根粉紙條長。在剛才的測量過程中，都是把誰平均分？

生3：都是以粉紙條作為標準平均分。

2.變式突破建構分數意義——初步感知假分數

活動要求2（出示圖3）：以粉紙條為標準，藍紙條和綠紙條分別有多長？

師：這3張長度不同的紙條都是以誰為標準進行測量的？

生1：都是以粉紙條為標準。

師：在測量紙條的過程中，你有什么發現？

生2：藍紙條和綠紙條都比作為標準的粉紙條要長。

生3：有幾個幾分之一就是幾分之幾。

師：分數單位不斷累加就能度量出所有分母相同的不同分數。這些數也可以在數軸上表示出來。以1為標準，仔細觀察這些分數，你有什么發現？

生4：有的分數比1大，有的分數比1小。

3.多元表征豐富分數內涵——進一步認識假分數

師（出示一個圓）：如果以這個圓作為標準，平均分成5份，每份是多少呢？

生1：[15] 。

師：其中的2份占這個圓的幾分之幾？3份呢？4份呢？5份呢？

生2：2份占圓的[25]，3份是[35]，4份是[45]，5份是[55]。

師：[55]里有幾個[15]？

生3：有5個[15]。

師：5個[15]是[55]，也就是1。你能接著往下數嗎？

生4：再往下數需要再添一個圓。

生5：6個[15]是[65]，7個[15]是[75]，8個[15]是[85]，9個[15]是[95]。

師：再加一個[15]就是幾呢？

生6：再加一個[15]就是[105]，也就是2。

師：你能給它們分分類嗎？

生7：分子比分母小的歸為一類，分子比分母大的歸為一類。

師：分子比分母小的分數叫真分數。分子比分母大的或者分子和分母相同的分數叫假分數。

師：仔細看數軸，真分數在哪里？假分數呢？

生8：真分數在1的左邊，假分數在1的右邊，1也是假分數。

師：真分數和假分數有什么特點呢？

生9：真分數比1小，假分數大于或等于1。

三、感悟：對數的概念一致性教學的反思

為什么學生對分數的分數單位的理解不似整數、小數般熟練？從蘇教版教材編排來看，分數單位的地位和作用不夠凸顯，學生首次接觸分數單位后，第二課時就進入“求一個數是另一個數的幾分之幾的實際問題”的學習中，對分數單位的認識缺少連續性和系統性，盡管在后續學習分數加減法時強調了“分數單位相同時才能直接相加減”，但仍不如“分母相同，分子相加減”的口訣深入人心。久而久之，分數單位的概念和作用逐漸被學生淡忘。

再從分數的讀寫角度看，[45讀作]五分之四，從讀寫方式上也只強調分數 “分”的屬性，即平均分成5份，取其中的4份，而不特別強調有4個[15]。

1.強調數的概念的一致性：計數單位的累加

建構數的概念的前提是要理解數的建構方式，所有的數都是通過計數單位的不斷累加而來。認識整數時，我們先認識了1（個），10根小棒捆成一捆，就是10（十），10個十是100（百）……強調十進制。在教學分數概念時，我們也要強調數的概念的一致性，將同樣的認知方法遷移到認識分數中，按照計數單位累加的計數規則建構分數。將本課的核心確定為當標準1不能直接測量時，如何在標準中找到合適的分數單位進行測量。學生在找、量、數的過程中感悟分數單位的計數屬性，體會數的概念的一致性。

核心素養時代的課堂教學對教師提出了更高的要求，教師不能只做教材的“搬運工”，而應將每一節課放到大單元、大領域中進行整體布局，打通知識的前后脈絡。在單元復習中，教師通過引導學生回憶整數、小數的計數單位和計數方法，讓學生感知分數的寫法雖然和整數、小數不一樣，但建構規則是一樣的，都是基于相同計數單位的不斷累加。通過溝通整數、小數和分數的聯系，強調數的概念的一致性，感悟數的概念的本質。

2.強調教學內容的一致性：多元表征聚焦分數本質

除了教學常用中的折一折、比一比、分一分等操作活動，筆者還設計了數分數的活動，學生在觀察、思考、猜測、驗證的活動中，逐步提煉出真分數、假分數的概念，進一步認識分數。學生在不同形式、不同內容、不同對象的數分數中，感悟真分數和假分數的概念及內涵。對于分數而言，這些不同的表示形式是具有共性的，即相同分數的不同表示形式，不管是具體的實物還是抽象的圖形，都可以表示出幾分之一，進而不斷累加得到不同的分數，當超過1時就產生了假分數。

不同形式、不同大小的數都能在數軸上體現出來，數的概念的建立離不開數軸。筆者設計了兩個不同層次的觀察數軸的活動：第一次把度量紙條過程中產生的分數寫到數軸上，感悟分數是通過相同計數單位的不斷累加得到的，它可以用來表示比1小的數，也可以表示比1大的數；第二次把圓片平均分并用分數表示，將對應的分數寫到數軸上，學生通過數軸上不同分數所在的位置就能理解真分數都比1小，假分數大于等于1。讓學生直觀感受到分數也是數的一種，它具有和整數、小數相同性質的表達方式和計數規則。學生在不同圖形、不同活動、不同手段的教學中感受數的一致性。

3.強調學習方法的一致性：逐步養成“三會”核心素養

《義務教育數學課程標準（2022年版）》明確指出，通過義務教育階段的數學學習，學生逐步會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界（簡稱“三會”）。引導學生思考如何表示紙條的長度，當不能再用以往經驗解決問題時，啟發學生動手操作、觀察比較如何找到更合適的方式準確表達測量對象的長度，并掌握數學結論和方法。

要培養具有創新精神的學生，教師應當設計能讓學生經歷再創造的活動，讓學生在自主探究、不斷思考、辨證反思的過程中發展素養，在探究數學本質的過程中感悟數學的抽象性和嚴謹性，感悟數學之美。

在以核心素養為教育導向的背景下，數學課程內容應當立足學生核心素養的發展，注重課程內容結構化，即對教學內容進行結構化整合，構建發展學生核心素養的路徑，體現數學學科的育人價值。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 鞏子坤，史寧中，張丹.義務教育數學課程標準修訂的新視角：數的概念與運算的一致性[J].課程·教材·教法，2022（6）：45-51，56.

[3] 葛麗霞.聚焦“一致性”? 落實新課標：《分數加減法》單元整體教學實踐[J].現代教育，2022（7）：50-54.

[4] 劉正松.“整體性”與“一致性”：核心知識教學的基本追求：兼評 “分數的意義和性質”單元系列課[J].教育研究與評論（小學教育教學），2022（4）：94-96.

[5] 趙莉，吳正憲，史寧中.小學數學教學數的認識與運算一致性的研究與實踐：以“數與運算”總復習為例[J].課程·教材·教法，2022（8）：122-129.

（責編 黃 露）