不倒翁式電磁俘能器的非線性動力學特性研究1)

潘俠圭 余 寧 嚴 博

(浙江理工大學機械工程學院,杭州 310018)

引言

建設海洋強國是我國走向世界強國的必由之路.隨著物聯網技術發展,海洋環境監測的需求愈發迫切.為實現海洋環境的持續監測,通常需要在海洋中布置各類傳感器以監測海洋環境數據.然而,傳感器的長期穩定運行需要消耗大量的能量[1].因此,為低功耗傳感節點提供可持續的能源供給以保證其穩定運行是實現海洋環境監測系統萬物互聯的關鍵[2].

海洋作為地球上最大的自然生態系統之一,不僅孕育了豐富的生命,還蘊藏著豐富的可再生能源,例如,波浪能、潮汐能、太陽能、風能和熱能等[3].波浪能因其分布范圍廣、易于俘獲等特點被視為最具前景的海洋能量[4].然而,海洋波浪具有低頻、復雜且隨機等特點,因此,如何有效俘獲海洋波浪能并高效轉化為電能是波浪能俘獲的研究重點[5].近年來,研究人員設計了多種可用于俘獲低頻海洋能的小型化俘能裝置,根據機電轉化機制,主要有壓電效應[6-8]、納米摩擦發電[9-11]和電磁感應[12-14]等機制.Zou 等[15]提出一種雙穩態壓電能量采集方法,通過磁耦合的方式構建雙穩態特性,進一步提高俘能器俘獲水流能量的性能.Zhao 等[16]設計了一種機械智能波浪能俘獲系統,使用機械結構對激勵進行調控,通過納米摩擦發電與電磁感應相結合的方式實現對海洋波浪的高效俘獲.

電磁結構因其效率高、成本低和結構簡單等優點,廣泛應用于大型海洋發電站中[17].然而,傳統電磁俘能器很難匹配海浪的低頻與隨機的特性.因此,研究人員設計了擺結構[18-20]、振蕩水柱[21-22]、振蕩浮子[23]等結構以提高俘能效率.Li 等[24]基于混沌擺結構設計了一種全方向高效率的海洋波浪能俘獲系統,并將其集成在海洋觀測平臺中,實現了能量采集與自供能的海浪傳感.Yang 等[25]設計了一種基于同軸機械運動整流器和可變慣量飛輪的波浪能俘能器,以提高輸出功率和俘能效率.Cai 等[26]提出了一種雙質量擺海洋波浪能俘能器,通過調節擺的兩個質量位置實現了頻率調節,以適應低頻海浪激勵.

除了上述結構外,不倒翁作為一種古老的中國兒童玩具,在受到外部激勵后會圍繞其平衡位置發生往復擺動.受其啟發,本課題組前期建立了圓弧基準面上的不倒翁結構的動力學模型,分析了其復雜非線性行為.研究表明,不倒翁結構具有不同于傳統結構的超低頻振動特性,且其對于低頻激勵敏感的特點,為在低頻振動俘能的潛在應用提供了思路[27].Zhao 等[28]設計了一種不倒翁形狀的納米摩擦電俘能器,用于俘獲波浪能.Zhang 等[29]針對水波浪的低頻與隨機性特點,將單擺與不倒翁結構結合,設計了一種納米摩擦電俘能器.

本文針對海洋波浪能的低頻、復雜且隨機等特性,為提升海洋波浪俘能效率,通過引入不倒翁機制,設計了一種不倒翁式電磁俘能器.建立了不倒翁式電磁俘能器的動力學模型,基于諧波平衡法求得了不倒翁的擺角及電壓的頻率響應,探明了激勵對系統動力學行為的影響規律.研制了不倒翁式電磁俘能器原理樣機,搭建了試驗平臺,驗證了理論模型的正確性.

1 不倒翁式電磁俘能器的結構設計

圖1 為不倒翁式電磁俘能器的設計示意圖,主要由不倒翁結構、線圈、Halbach 磁鐵陣列、兩塊永磁體(PMA,PMB)和封裝外殼組成.不倒翁結構底部為一個半圓形金屬塊,頂部為Halbach 磁鐵陣列,兩部分通過樹脂連接件相連,形成一個整體.不倒翁結構整體質心位于半圓形金屬塊上.封裝外殼包含底座與上蓋兩部分,采用3D 打印技術一體化成型.其中,底座設計有圓弧軌道面,用于放置不倒翁結構,其余部分采用鏤空設計,以降低整體質量.線圈通過銷與上蓋固定,PMA和PMB分別固定在不倒翁結構擺動方向兩側的底座上.PMA和PMB與Halbach 磁鐵陣列相互排斥,以提供非線性磁力,在減少不倒翁擺動過程中與底座之間的碰撞的同時,可提升不倒翁擺角回復速度.Halbach 磁鐵陣列由5 塊矩形永磁體構成,用于增強單側磁場強度,在安裝時需要將強磁場一側貼近線圈.俘能器可漂浮于海面,在海浪作用下,位于俘能器內部的不倒翁會發生擺動,使得Halbach 陣列與線圈間產生相對運動,產生感應電壓,從而有效俘獲低頻海洋波浪能量.同時,俘能器底部設計有安裝孔,可以安裝錨鏈或繩索,通過錨定的方式將俘能器固定在海面,避免由于風浪的影響導致裝置發生傾覆.

圖1 不倒翁式電磁俘能器的設計示意圖Fig.1 Schematic diagram of the tumbler-inspired electromagnetic energy harvester

2 理論建模

2.1 非線性磁力模型

為研究俘能器的動力學行為,需要確定不倒翁擺動過程中的非線性磁力及受力情況,Halbach 磁鐵陣列與PMA和PMB間的幾何關系見圖2.

圖2 不倒翁式電磁俘能器的理論模型Fig.2 Theoretical model of the tumbler-inspired electromagnetic energy harvester

根據文獻[30],PMA與Halbach 磁鐵陣列最左側磁鐵之間的磁力表示為

式中,Br1與Br2為剩磁強度,μ0為真空磁導率.

根據幾何關系可得

同理可得PMB與Halbach 磁鐵陣列最右側磁鐵之間的磁力,可用多項式進行擬合,如下

式中,k1,k2,k3為等效非線性磁力的剛度系數,如表1所示.

表1 非線性磁力的剛度系數Table 1 Stiffness coefficients of nonlinear magnetic force

2.2 控制方程

圖2 為不倒翁式電磁俘能器的理論模型.假設不倒翁在圓弧面上為純滾動,即 φR=rθ.不倒翁的擺角為 α,根據幾何關系可得,其中,k=R/r為底座圓弧底面與不倒翁底部金屬塊之間的半徑比.系統的動能可寫為

式中,m為不倒翁結構的質量,r為不倒翁底部半圓形金屬塊半徑,R為底座圓弧軌道面半徑,e為不倒翁結構的偏心距,Jc為不倒翁結構的轉動慣量.系統的重力勢能可以表示為

式中,g=9.8 m/s2.根據拉格朗日方程和基爾霍夫定律可得不倒翁式電磁俘能器的控制方程為

式中,c為阻尼系數,Cm與Ce為機電耦合系數[31],等效質量Me與非線性項f1(α),f2(α),f3(α)可表示為

為了簡化計算,將f1(α),f2(α),f3(α)用泰勒級數展開,式(11)可表示為

2.3 俘能器的幅頻響應關系

式(12)和式(15)為非線性耦合系統,本文采用諧波平衡法推導了系統的頻域響應關系.當俘能器進入到穩態響應時的穩態解可寫為

式中,x,y,p,q為關于時間t緩慢變化的系數.將式(21)和式(22)代入式(12)中,則 sin(ωt)和 cos(ωt)的常數項分別為

由于系統進入穩態響應時,隨時間變化的系數可以忽略.因此,式(23)和式(24)等于0,由此可以用x,y表示p,q,即

對式(26)進行化簡,并忽略如 cos(5ωt),sin(5ωt),cos(3ωt)和 sin(3ωt)等高次諧波項,則 cos(ωt),sin(ωt)的系數分別為

將 cos(ωt)和 sin(ωt)的系數平方相加可得

2.4 數值解

為了驗證該解析解的正確性,本節基于機電耦合方程式(11)和式(12)進行了數值分析,以驗證幅頻響應關系的正確性,相應的參數見表2.

表2 俘能器的幾何和材料參數Table 2 Geometric and material properties of the harvester

圖3 為不倒翁擺角和感應電壓的解析解和數值解對比圖,其中,激勵幅值A=0.4g.可以看出,不倒翁擺角和相應的感應電壓的解析解和數值解吻合較好,這也證明了理論建模的有效性與正確性.擺角和感應電壓在低頻區出現硬化特性,這表明系統在非線性磁力的影響下呈現較強的非線性特征.同時,俘能器在0～3 Hz 的范圍內可獲得較高的輸出電壓,表明系統具有較好的低頻適應能力.

圖3 不倒翁式電磁俘能器擺角與感應電壓解析解與數值解對比Fig.3 Comparison between theoretical solution and numerical solution of the swing angle and the voltage of the tumbler-inspired electromagnetic energy harvester

3 非線性動力學行為

上一節研究發現系統在低頻區存在明顯的硬化現象,為此,本節著重分析激勵頻率和幅值對俘能器動力學行為的影響規律.

3.1 激勵頻率對俘能器動力學行為的影響規律

本小節中激勵幅值為A=0.3g.圖4 為俘能器擺角與電壓隨激勵頻率的分岔圖.可以看出: 當激勵頻率在1～2 Hz 范圍時,俘能器可能呈現周期運動或準周期運動;在2.1～3 Hz 范圍時,俘能器可能呈現混沌運動;隨著激勵頻率的進一步增大,俘能器完全進入周期性運動.由于電壓與不倒翁擺角之間存在機電耦合關系,因此,電壓變化趨勢與擺角大致相同,在同一頻率下電壓與擺角的動力學行為相似.

圖4 擺角響應和電壓隨激勵頻率的分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of the swing angle and voltage with respect to the excitation frequency

為進一步分析俘能器在不同激勵頻率下的動力學行為,選取了3 組不同激勵頻率(f=2.5,4,10 Hz)進行分析.同時為了更好地表征俘能器的能量采集性能,便于理解不同激勵條件下俘能器的動力學行為,在后續分析中,時域響應與傅里葉頻譜采用電壓響應,而相軌跡與龐加萊截面采用電流與電荷之間關系.圖5 為激勵頻率f=2.5 Hz 時俘能器擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜圖.此時,俘能器的擺角與電壓曲線呈現出明顯的混沌運動特征,最大電壓達到2 V,相應的相軌跡與龐加萊截面出現了奇異的吸引子,表明此時系統進入了混沌運動.從頻譜圖中可以看出,擺角和電壓響應除了2.5 Hz 的基頻響應外,還有3 倍次超諧波響應以及1～5 Hz 范圍內連續且幅值較低的頻帶,也證明俘能器在此激勵頻率下呈現混沌運動.

圖5 激勵頻率在2.5 Hz 時俘能器的擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜Fig.5 Time-domain histories,phase orbit,Poincare map and Fourier spectrum of the swing angle and voltage for the excitation frequency is 2.5 Hz

隨后增大激勵頻率至f=4 Hz,俘能器擺角和電壓的響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜圖如圖6 所示.此時,俘能器擺角與電壓響應曲線都呈現出明顯的周期性.同時,與f=2.5 Hz 時相比,俘能器擺角與電壓迅速減小,在此激勵頻率下最大擺角為5°,最大電壓為0.5 V.傅里葉頻譜圖顯示,無論是擺角還是電壓響應,都只存在一個4 Hz 的基頻響應.此外,俘能器擺角與電壓的相軌跡與龐加萊截面也證明系統此時已經進入周期運動狀態.

圖6 激勵頻率在4 Hz 時俘能器擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜Fig.6 Time-domain histories,phase orbit,Poincare map and Fourier spectrum of the swing angle and voltage for the excitation frequency is 4 Hz

激勵頻率繼續增大至f=10 Hz 時,俘能器擺角與電壓的響應、相軌跡與龐加萊截面、傅里葉頻譜圖如圖7 所示.此時,俘能器的運動仍為周期運動.俘能器的擺角和電壓相應頻譜圖中僅有10 Hz 基頻響應一個峰.此外,俘能器的擺角與電壓響應曲線和相軌跡均表明此時系統為規律的周期運動.由此可得,俘能器在不同的激勵頻率下呈現復雜的動力學行為.在低頻區域內,位于俘能器的不倒翁結構的共振現象使其更容易發生大幅混沌運動,此時俘能器更容易進入混沌運動,同時也可以獲得較高的俘能性能.

圖7 激勵頻率在10 Hz 時俘能器擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜Fig.7 Time-domain histories,phase orbit,Poincare map and Fourier spectrum of the swing angle and voltage for the excitation frequency is 10 Hz

3.2 激勵幅值對俘能器動力學行為的影響規律

本節分析了激勵幅值對俘能器動力學行為的影響規律,其中,激勵頻率為f=2.5 Hz.圖8 為俘能器的擺角與電壓響應隨激勵幅值的分岔圖.可以看出,隨著激勵幅值的增大,擺角和電壓都隨之增大,由于永磁體(PMA,PMB)與Halbach 磁鐵陣列形成的磁斥力對不倒翁擺角的限制,最大擺角被限制在50°.與此同時,在不同激勵幅值條件下,俘能器呈現復雜的動力學行為.與圖4 相比,隨著激勵幅值的變化,俘能器出現混沌的區域更大,即當激勵幅值在0.22g～0.35g或0.6g～1g時,俘能器可能出現混沌運動.而在其他范圍時,俘能器可能處于周期運動或準周期運動.

圖8 擺角響應和電壓隨激勵幅值的分岔圖Fig.8 Bifurcation diagrams of the swing angle and voltage with respect to the excitation amplitude

為了分析俘能器在不同激勵幅值下的動力學行為,討論了俘能器在3 組不同激勵幅值條件下(A=0.35g,0.5g,0.8g)的動力學行為,如圖9～圖11 所示.圖9 為A=0.35g時俘能器的擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜圖.此時,俘能器擺角和電壓呈現明顯的混沌運動特征.從頻譜圖中可以看出,俘能器擺角與電壓除了2.5 Hz 的基頻響應外,還存在3 倍次超諧波響應以及連續的幅值較低的頻帶.此外,相應擺角與電壓的相軌跡和龐加萊截面中出現了奇異的吸引子,表明俘能器在此激勵幅值條件下為混沌運動.當激勵幅值增加到0.5g時,俘能器的擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜圖如圖10 所示.此時,俘能器的擺角與電壓響應呈現出明顯的周期性特征,俘能器擺角與電壓的頻譜圖僅有2.5 Hz 的基頻響應.此外,相軌跡和龐加萊截面均表明系統此時已重新回到周期運動狀態.而當幅值進一步增加時至A=0.8g時,俘能器的擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面、傅里葉頻譜圖如圖11 所示.擺角與電壓的響應曲線再次變得雜亂,頻譜圖中出現了連續的無規律的幅值較低的頻帶,相應的相軌跡與龐加萊截面中再次出現了奇異的吸引子,這表明系統再次進入了混沌運動.總之,在低頻范圍內俘能器不是一定會呈現混動運動,隨著激勵幅值的增大,系統會發生周期運動與混沌運動交替出現的情況.由于系統發生混沌運動時具有較大的擺角,產生的感應電壓也較大,因此系統在混沌運動時俘能效果較好.

圖9 激勵幅值在A=0.35g 時俘能器的擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜Fig.9 Time-domain histories,phase orbit,Poincare map and Fourier spectrum of the swing angle and voltage for the excitation amplitude is 0.35g

圖10 激勵幅值在A=0.5g 時俘能器的擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面和傅里葉頻譜Fig.10 Time-domain histories,phase orbit,Poincare map and Fourier spectrum of the swing angle and voltage for the excitation amplitude is 0.5g

圖11 激勵幅值在A=0.8g 時俘能器擺角和電壓響應、相軌跡與龐加萊截面、傅里葉頻譜Fig.11 Time-domain histories,phase orbit,Poincare map and Fourier spectrum of the swing angle and voltage for the excitation amplitude is 0.8g

4 試驗驗證

為了驗證不倒翁式電磁俘能器動力學行為理論分析的正確性,根據表2 所示結構參數制作樣機,并搭建實驗平臺進行試驗驗證.如圖12 所示,試驗平臺主要由計算機、振動控制器、功率放大器、振動臺、示波器和不倒翁式電磁俘能器組成.試驗時通過計算機設置激勵條件,由振動控制器發出激勵信號,經過功率放大器輸出至振動臺,振動臺按照預設的激勵信號運行,使用示波器實時測量并記錄俘能器輸出電壓信號.

圖12 試驗平臺照片Fig.12 Photograph of the experimental platform

圖13 為俘能器在0.5～3 Hz 低頻范圍內的平均輸出功率.俘能器的平均功率隨著頻率的升高先增大后降低,在2.5 Hz 時俘能器的電學輸出效果最佳,此時平均功率達到70 mW,表明該俘能器在低頻激勵條件下具有良好的能量采集性能.

圖13 俘能器的平均功率Fig.13 Average power of the harvester

圖14 為激勵幅值A=0.3g,激勵頻率分別為f=2.5,4,10 Hz 時的不倒翁式電磁俘能器的電壓響應與傅里葉頻譜圖的實驗結果.如圖14(a)所示,當f=2.5 Hz 時,俘能器的電壓波形雜亂無章.頻譜圖中可以看到電壓響應除了2.5 Hz 的基頻響應外,還存在連續的幅值較低的頻帶,與圖5 中的仿真結果基本一致.此時,俘能器進入了混沌運動狀態.隨后增大頻率至f=4 Hz 俘能器的電壓響應與傅里葉頻譜圖如圖14(b)所示.相較于f=2.5 Hz 時俘能器的電壓峰值有所降低,電壓波形重新具有明顯的周期運動.此外,從頻譜圖中可以看到除了4 Hz 的基頻響應外,還出現了2 倍(8 Hz)和3 倍(12 Hz)的超諧波響應,這與仿真結果基本一致.圖14(c)為激勵頻率f=10 Hz 時俘能器的電壓響應與傅里葉頻譜圖.此時,相較于前兩種激勵頻率,俘能器的電壓峰值繼續減小,系統周期性增強,從傅里葉頻譜圖中可以看到僅有10 Hz 的基頻響應,表明系統處于周期運動.在高頻區域特別是系統處于周期運動時,實驗結果與仿真結果較為一致,但在低頻區域,由于系統處于混沌運動,實驗與仿真結果之間存在一定誤差,但總體上看實驗與仿真結果基本吻合.

圖14 不同激勵頻率時實驗電壓響應與傅里葉頻譜Fig.14 Experimental time-domain history and Fourier spectrum of voltage under different excitation frequencies

5 結論

本文提出了一種不倒翁式電磁俘能器,基于拉格朗日方程建立了其控制方程,利用諧波平衡法推導了不倒翁擺角與俘獲電壓的頻率響應關系.研究了激勵幅值和頻率對系統動力學行為的影響規律.結果表明,在不同激勵條件下,不倒翁式電磁俘能器具有復雜的非線性動力學行為.通過實驗驗證了理論的正確性,為不倒翁機制在低頻海洋波浪俘能上的應用提供了新思路.主要結論如下:

(1)非線性磁力的引入,使得系統呈現剛度硬化特性,提升了俘能器的低頻俘能性能;

(2)隨著激勵頻率的增大,系統由混沌運動變為準周期運動及周期運動,低頻條件下系統更容易發生混沌運動,并且俘能效果較好;

(3)隨著激勵幅值的增大,系統會發生周期運動與混沌運動之間的轉換.總體上看,大激勵更容易造成俘能器系統的混沌運動,以提升俘能效果.