非線性振動(dòng)系統(tǒng)的多項(xiàng)式向量方法1)

金棟平

(南京航空航天大學(xué)航空航天結(jié)構(gòu)力學(xué)及控制全國(guó)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京 210016)

引言

非線性振動(dòng)系統(tǒng)近似解法主要有基于派生系統(tǒng)解特征而衍生出的方法,如平均法等,以及基于攝動(dòng)展開(kāi)的方法,如Lindstedt-Poincaré方法、KBM 法、多尺度法和源于濾波的方法,如諧波平衡法等[1-5].學(xué)者們采用上述方法成功揭示了工程非線性振動(dòng)中的復(fù)雜動(dòng)力學(xué)行為,如滯后非線性中的分岔[6]、相軌線跳躍現(xiàn)象[7],并用于非線性隔振器設(shè)計(jì)[8]等.現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)和系統(tǒng)大多帶有柔性附件、振動(dòng)控制器[9],使得受控動(dòng)力學(xué)模型表現(xiàn)為很高維數(shù)之特征.借助動(dòng)力學(xué)等效等模型進(jìn)行降階,可以大大降低動(dòng)力學(xué)模型的維數(shù)[10-11],使得由周期單元組成的復(fù)雜結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)能夠進(jìn)行半解析和半數(shù)值分析[12-13].然而,當(dāng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)的維數(shù)較高時(shí),上述攝動(dòng)方法、多尺度方法等需逐步、依次求解微分方程組,加上計(jì)算機(jī)符號(hào)軟件可以不支持海量指數(shù)的提取[14-15]等運(yùn)算,需要人工參與,以致工作量巨大、計(jì)算效率低.

本文針對(duì)高維非線性振動(dòng)系統(tǒng)的近似求解問(wèn)題,通過(guò)常數(shù)矩陣和多項(xiàng)式向量函數(shù)的乘法,將非線性部分表示成為矩陣和向量積形式,以致冪次近似解均滿足一組非齊次狀態(tài)方程,進(jìn)而根據(jù)一階非齊次方程組的求解方法,一次性地獲得全部的解析解.由于帶有小參數(shù)的多項(xiàng)式向量函數(shù)之間的乘法運(yùn)算可以借助Toeplitz 矩陣表示成矩陣之間的乘法運(yùn)算,借助計(jì)算機(jī)符號(hào)軟件等工具可以實(shí)現(xiàn)計(jì)算過(guò)程的程序化.最后,通過(guò)一個(gè)四維彈簧擺振動(dòng)的算例,展示了多項(xiàng)式向量方法在解決高維非線性振動(dòng)時(shí)的可行性.

1 多項(xiàng)式向量

研究n維非線性振動(dòng)系統(tǒng),狀態(tài)方程為

一般地,可以將方程(1)寫(xiě)成多項(xiàng)式向量形式

其中,k次齊次多項(xiàng)式向量函數(shù)為

式中,ei=[0 0···1···0 0]T表示第i列元素為1 的單位向量,mi為非負(fù)整數(shù).

若采用攝動(dòng)法,將

代入方程(4)并比較方程兩邊 ε同次冪系數(shù),得

2 多項(xiàng)式乘法

定義T階滯后算子

該算子由單位矩陣IT=[e1e2···eT]通過(guò)消去第一列并在最后一列添加零列向量形成,在次對(duì)角線上的元素為1、其余均為0.此外,左下角元素為1;對(duì)r≥0,.例如

利用上述滯后算子,可以將多項(xiàng)式相乘轉(zhuǎn)換成Toeplitz 型下三角矩陣的乘法形式.將小參數(shù)視為變量,令

則

因而

即x1(L4)x2(L4)第1 列元素χ(q)正是兩個(gè)多項(xiàng)式相乘后的 εq次冪的系數(shù).根據(jù)方程式(5),第k次齊次多項(xiàng)式函數(shù)的 εq次冪的系數(shù)為

式中,T=q+1.依據(jù)式(16),即可確定方程式(7)～式(10)中任意次冪系數(shù)的多項(xiàng)式函數(shù),繼而依次求出各階近似解.

類似地,有

可見(jiàn),非線性振動(dòng)系統(tǒng)中齊次多項(xiàng)式乘法運(yùn)算可以轉(zhuǎn)換成一系列Toeplitz 矩陣的乘法運(yùn)算,以致原本繁瑣的逐個(gè)攝動(dòng)求解轉(zhuǎn)變?yōu)橐幌盗芯仃囆问降姆驱R次方程求解問(wèn)題.這樣做的好處就是,對(duì)于高維非線性振動(dòng)系統(tǒng),借助計(jì)算機(jī)符號(hào)軟件對(duì)于多項(xiàng)式向量函數(shù)和矩陣運(yùn)算的優(yōu)勢(shì),通過(guò)多項(xiàng)式矩陣乘法的運(yùn)算,無(wú)需對(duì)二階微分方程逐個(gè)求解,從而一次性地獲得形式上結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)潔的全部近似解.值得注意的是,直接攝動(dòng)法得到的解在t∈[0,1/ε]內(nèi)有很好的近似.

3 算例

(1)算例1

首先,考慮二維平方非線性振動(dòng)系統(tǒng)

根據(jù)式(16),有

故

因而,一次近似解為x=x(0)+εx(1),該結(jié)果與文獻(xiàn)[4]直接攝動(dòng)法給出的結(jié)果相同.可以繼續(xù)求滿足初始條件的二次冪方程的解,即

可見(jiàn),借助Maple 等計(jì)算機(jī)符號(hào)軟件工具,上述建立在多項(xiàng)式向量求解方法上的矩陣運(yùn)算程序很容易編寫(xiě)和執(zhí)行.注意到,式(28)中出現(xiàn)了九期項(xiàng)tsint.下面研究更高維數(shù)的非線性振動(dòng)問(wèn)題.

(2)算例2

考慮靜平衡位置附近彈簧擺的面內(nèi)微振動(dòng),此時(shí)近似到二階的非線性振動(dòng)方程為

寫(xiě)成狀態(tài)方程形式,令x=x1,=x2,y=x3,=x4,有

根據(jù)式(16),對(duì)于二次近似解,有

為簡(jiǎn)潔起見(jiàn),取 ω=1,有

將式(30)和式(32)代入式(36),得到二次冪方程的解析表達(dá)式.為簡(jiǎn)潔起見(jiàn),取 α=1,β=2,則

因而,二次近似解為x=x(0)+εx(1)+ε2x(2).注意到,式(37)中出現(xiàn)了九期項(xiàng)tsint和tcost.

圖1 近似解析解與數(shù)值結(jié)果對(duì)比(=[0.01 0 0.01 0]T)Fig.1 Comparison of the proposed method and simulation results for the differential small parameters (=[0.01 0 0.01 0]T)

圖1 近似解析解與數(shù)值結(jié)果對(duì)比(=[0.01 0 0.01 0]T)(續(xù))Fig.1 Comparison of the proposed method and simulation results for the differential small parameters (=[0.01 0 0.01 0]T)(continued)

圖2 近似解與數(shù)值結(jié)果對(duì)比(=[0.1 0 0.1 0]T)Fig.2 Comparison of the proposed method and simulation results for the differential small parameters (=[0.1 0 0.1 0]T)

4 結(jié)論

對(duì)于齊次多項(xiàng)式作為非線性的高維振動(dòng)系統(tǒng),可以通過(guò)多項(xiàng)式向量將非線性部分表示成常數(shù)矩陣和多項(xiàng)式向量之積,進(jìn)而將非線性振動(dòng)系統(tǒng)表示成一系列矩陣和向量的乘積形式.在采用基于攝動(dòng)展開(kāi)的方法時(shí),小參數(shù)作為冪級(jí)數(shù)出現(xiàn),因而可以采用Toeplitz 矩陣實(shí)現(xiàn)冪次近似解作為元素的多項(xiàng)式之間的乘法運(yùn)算.因此,非線性振動(dòng)系統(tǒng)的解完全由矩陣和多項(xiàng)式向量之間的乘法運(yùn)算獲得,從而有望解決高維非線性振動(dòng)系統(tǒng)的求解難題.