數學結構化教學中“聯結點”的動態進階織網策略

摘要 開展數學結構化教學對增強學生的深度理解、牢固記憶、有效遷移，以及促進整體建構方面有較大價值。“聯結點”在數學結構化教學中有凸顯本質和關聯紐帶的功能。有效捕捉“聯結點”并進行動態進階織網對結構化教學和整體建構學習的深度發生起著重要作用。根據數學認知螺旋式上升的特點，可通過聯動找點、點動成線、線動出面、面動構體等策略分別在整體規劃時布好“元素結構”網、課時教學時連好“線性結構”網、單元歸總時鋪好“平面結構”網、板塊梳理時建好“立體結構”網。

關? 鍵? 詞 小學數學 結構化教學 聯結點 動態進階 織網策略

引用格式 陳力.數學結構化教學中“聯結點”的動態進階織網策略[J].教學與管理，2023（32）：42-45.

數學是一門結構化特征顯著的學科，開展數學結構化教學能充分突顯學科特質，以多層關聯的認知結構網取代單一散狀的碎片知識點，進而借助結構的力量促進深度理解、牢固記憶、有效遷移。所謂數學結構化教學，是指教學中將數學學習內容作為一個整體結構來看待，弄清內在的元素組成狀況，剖析元素之間的相互關聯，通過建構性的動態進階學習不斷地搭建出線性、平面以及立體的知識和方法結構體系，并促使結構功能（1+1＞2）的產生，從而培養學生的結構化思維能力和整體建構學習力[1]。

影響數學結構化教學深度發生的因素有許多，其中一個關鍵因子就是對“聯結點”的捕捉和織網。“聯結點”是指在某個層級整體的數學知識和方法結構體系中，具有本質意義且能夠促進散狀知識點建立關聯，并能在不斷地進階發展中逐步結成網狀結構的核心元素要點。“聯結點”在結構化教學和整體建構學習中具有較高的地位：對內凸顯本質，對外起著紐帶聯結作用。為了提高數學結構化教學的有效性，數學教師要從整體上深入鉆研教材，用心尋找“聯結點”，并通過對聯結點進行分層漸進地動態織網，不斷地從一維到二維再到三維（或更多維）構造出“點、線、面、體”之間多層次的關聯結構，進而促進整體建構學習深度發生。

一、聯動找點：整體規劃時布好“元素結構”網

數學結構化教學的實施應從整體規劃開始。數學教師在教學某一整體知識前，要從大任務著眼，將整體知識進行結構性分析，弄清整體知識的組成要素及分布結構。這里的“整體”可大可小（根據需要可以分成很多層級），既可指大領域，如“圖形與幾何”領域；也可指板塊，如“計算”板塊；又可指單元，如“分數乘法”單元；當然還包括“小節”“課時”等這些中觀、微觀的整體。每一個層級的整體都由許多相對應的元素組成，在規劃時首先要從這些元素中找準“聯結點”，因為“聯結點”是維系整體結構的核心要素（本質），通過它的紐帶作用能使知識從碎片化走向結構化，實現“前有孕伏、一脈相承、不斷進階”的整體關聯效果[2]。

在整體規劃時如何有效捕捉“聯結點”，進而為各個階段的具體實施布好“元素結構”網的藍圖？可采取聯動找點的策略：首先通讀該整體知識的全部教材內容，羅列出所有知識點和方法策略，并從中尋找出起統率作用的核心思想方法和本質聯系；然后在該核心思想與共同本質的統領下規劃出不斷進階的目標與任務，通過“聯動找點”來確定每個階段知識與方法的“聯結點”（不同層級的整體知識有各自相對應的“聯結點”），并分階段螺旋上升地動態實施，從而促進學生結構化學習的有效發生（如圖1）。

例如，“圖形的測量”這一層級的整體知識，在規劃時，首先通讀所有教材，列出該整體知識的主要知識元素（按年級由低到高）：長度單位的認識，周長和面積的認識，面積單位的認識，長方形（正方形）的周長和面積，認識角的度量單位以及運用量角器測量角和畫角，三角形、平行四邊形、梯形以及組合圖形的面積，平方千米和公頃的認識，長方體（正方體）表面積、體積與容積的認識及單位，長方體（正方體）體積，圓的周長和面積，圓柱的表面積（積體）以及圓錐的體積。然后將這些知識和方法進行分類，提煉出共同的核心思想和本質聯系，并在進階規劃中找到各階段的“聯結點”，為后續的動態實施規劃一脈相承的網格藍圖（見表1）。

二、點動成線：課時教學時連好“線性結構”網

在整體規劃中找到“聯結點”后，接著需要在分階段的系列結構化教學中圍繞“聯結點”開展織網活動。在單課時新授教學中如何落實結構化教學思想？其實許多課不通過整合重組，就按原教材的課時內容也能有效地開展結構化教學，關鍵是要將這節課看成整體中的一分子，弄清該分子在整體中的地位以及各分子之間的本質聯系，以本質關聯為紐帶開展本課時的教學，就能促進學生有效地進行整體建構學習，進而發展學生的結構化思維和遷移性學習能力。

由于課時教學屬于微觀層級的整體，包含的知識點相對比較單一，聯結維度以“線性”為主。所以該階段“聯結點”的織網策略主要體現在“點動成線”上，就是將本節課的核心元素點與之前以及今后的關聯處進行連點串線，使它們前后一脈相承，通過尋找聯結喚醒“昨天”、溝通“今天”、遷移“明天”，從而連出一個以本質關聯為紐帶的“線性結構”網。其教學基本流程如圖2（根據實際情況會有一些變式流程）：

例如，在教學“三位數乘兩位數”一課時，采取動態進階呈現材料的方式，先出示“12×4”讓學生回憶豎式算法，明白此時是算“一層”，得到的是多少個“一”。然后出示“12×14”讓學生遷移出此時是算“兩層”，在前面的基礎上多了用十位上的“1”去乘第一個乘數這一步，得到的是多少個“十”。通過整體喚醒找到了進階的“聯結點”：算得的結果是幾個“一”就和個位對齊→算得的結果是幾個“十”就和十位對齊。接著出示“312×14”讓學生進行本質溝通，學生發現和前面已學的“兩位數乘兩位數”在本質上是一致的，還是算“兩層”，只是每一步算的時候多了“和百位乘”這一點，因此完全可以將前面的方法遷移應用到“三位數乘兩位數”中來。在計算之后讓學生通過交換乘數位置進行豎式驗算，即“14×312”，在進行了結構辨析后，學生發現此時需要算“三層”，即增加了用百位上的數去乘第一個乘數，得到的是多少個“百”，從而將這個新的“聯結點”內化到已有的聯結體系中去。在新知學習后出示“235×22”讓學生進行豎式計算，追問豎式中的兩個“470”意思是否一樣？通過一系列的結構化題組訓練，深化鞏固。最后，讓學生進行整體反思，將聯結點“點動成線”，帶領學生連好“線性結構”：要算“幾層”是由豎式中下面這個乘數來決定，第一層用個位去乘，得到幾個“一”，第二層用十位去乘，得到幾個“十”，第三層用百位去乘，得到幾個“百”……這就是整數筆算乘法這一層級整體知識“聯結點”的線性結構體系[3]。這種內聯溝通式的結構化學習，抓住相同點進行結構化遷移，抓住不同點進行結構化辨析，可以有力提升學生的整體建構學習能力。

三、線動出面：單元歸總時鋪好“平面結構”網

前面談到的結構化課時教學由于知識學習相對單一，追求橫向或縱向的一維線性關聯就能體現結構化思想了。而單元學習之后進行歸總時，知識面比較豐富了，需要從縱橫交錯兩個維度去探尋知識和方法之間的內在關聯性[4]。因此，單元整體層面的結構化教學要著力帶領學生鋪好“平面結構”網，使學生對本單元的知識以及與它相關聯的內容有一個“面”上的整體認知。

鋪設“平面結構”網主要在單元歸總階段進行，可采取“線動出面”的策略：首先將本單元縱向發展的“聯結點”串成線，同時將與本單元關聯密切的相關知識或方法的“聯結點”連成線，然后以縱橫兩條線為主軸，進行“聯結點”之間的交錯運動織網，通過結構辨析、異同比較、內聯溝通等方式，動態織成一張基于本單元又不局限于單元內的知識與方法的“平面結構”網，從而使單元結構化學習實現階段性的完善與收關[5]。

例如，學習“長方形（正方形）的面積”這一單元后，帶領學生進行單元層級整體歸總活動。首先對本單元的知識脈絡進行縱向梳理，本單元先后學習了什么是面積、面積單位、長方形（正方形）的面積計算、面積單位的換算等知識，將它們的“聯結點”進行連線：面積是測量“一整片的大小”→需要用“二維平面量標”來衡量→測量長方形（正方形）的面積要“用單位正方形去密鋪并計數”→不同大小的面積需要用與之相適應的單位來刻畫（細分與換算）。為了使學生深刻理解本單元的內容，要對它的關聯知識“長方形（正方形）的周長”也進行“聯結點”的回顧串線：周長是測量“一周線的長短”→需要用“一維線性量標”來衡量→測量長方形（正方形）的周長要“用單位線段去密連并計數”→不同長短的周長需用與之相適應的單位來刻畫（細分與換算）。這樣，織成縱橫兩條線后，讓學生進行縱橫對應比較辨析，發現它們的相同之處是核心思想方法（定標準、去測量、得結果）和本質（統一計量單位個數的累加或細分）是一致的，不同之處是線與面、一維與二維的區別。在此基礎上引領學生著力打通縱橫之間的內在關聯：長方形的面積（二維）為什么可以用長和寬（一維）相乘得到？兩個長度單位相乘為什么就成了面積單位呢？通過探討后得出：長方形的面積（數值）=密鋪的單位正方形的個數=每行的個數×行數=長的數值×寬的數值=長×寬，這是一種簡算，實質還是求面積單位的個數。通過縱橫多次聯動鋪面，最終將長方形（正方形）面積單元的聯結點織成了一張融匯貫通的“平面結構”網（如圖3）。

四、面動構體：板塊梳理時建好“立體結構”網

當某一板塊的知識和方法學完之后進行整理復習時，它包含的內容就更豐富了，彼此的聯系也更加多向了。因此，結構化教學的板塊層級整體梳理階段，在前面兩個階段織網的基礎上可以從立體的三維（或更多維）視角進一步展開內聯溝通活動，通過立體求聯，構建一個統整的數學板塊知識與方法的關聯結構系統[6]。

構建“立體結構”網可采取“面動構體”的策略：首先對教學板塊的內容進行梳理，將整體規劃時列出的“聯結點”串成線、鋪成面，然后進行面與面之間的聯動組合，從不同的維度（視角）進行結構辨析，尋找它們之間的內在聯系，弄清不同之處，提煉出共同的本質，在核心思想和共同本質的統領下，通過“面動成體”組建成多維關聯的立體結構體系網，從而使學生的整體建構學習向深度和高度發展。

例如，小學階段的“計算”板塊教學，當學生學習了所有的計算類型后，帶領學生開展計算本質的統整活動。首先從計算類型視角可以分成加法、減法、乘法、除法四個方法“面”，其“聯結點”分別是“合起來→加法”“分出去→減法”“同數連加→乘法”“同數連減→除法”，將這些“聯結點”鋪成面并進行聯動組合。接著從數的類型視角可以分成整數、小數、分數三個知識“面”，將這些知識“面”與計算方法的四個“面”進行多維聯動組合，梳理它們的不同之處和共同本質。組合1是“整數、小數、分數加減法運算”，通過提煉可以得出：“法不同”——整數加減是“末位對齊”，小數加減是“小數點對齊”，分數加減是“分母相同”；“理相同”——運算方法的實質都是“相同計數單位個數的加減”。組合2是“整數、小數、分數乘除法運算”，通過內聯溝通可以發現共同本質是：先將原計數單位相乘或相除得到新的計數單位，再將計數單位個數相乘或相除得到新的計數單位的個數。最后進行小學階段各種數的計算本質大統整：整數、小數、分數的加減乘除運算都是計算計數單位的個數，都是相同計數單位的個數累加（加法、乘法）或減少（減法、除法），其中加法是源頭。通過多次的點、線、面的聯動組建，最終織起了小學階段計算板塊的立體結構網（如圖4）。

總之，數學結構化教學是研究如何“聯結”的藝術，本文只是從動態進階的視角探究如何進行“聯結點”的織網策略。文中對象的范圍劃分是為了研究的需要，不一定很合理，層級階段的確定也是相對而言的，教師根據具體情況可進行調整和變式運用。另外，在現實教學中還可以從其他路徑對該主題展開深入探討，這也是我們今后要努力的方向。

參考文獻

[1] 陳力.數學結構化教學深度發生的策略探究[J].小學數學教育，2021（Z3）：7-9.

[2] 席愛勇.元素關聯：小學數學結構化學習的核心[J].中小學教師培訓，2018（11）：53-57.

[3] 周麗珠.基于板塊視角探討深度教學：以計算教學板塊為例[J].小學數學教育，2022（Z1）：40-41.

[4] 朱俊華，吳玉國.基于單元整體的小學數學結構化教學[J].中小學教師培訓，2019（09）：60-63.

[5] 陸泉萍.求聯驅動：催化數學理解的自然進階[J].數學學習與研究，2021（08）：120-122.

[6] 許衛兵.小學數學整體建構教學[M].上海：上海教育出版社，2021.

［責任編輯：陳國慶］

*該文為浙江省重點課題 “指向整體建構的數學結構化教學研究”（Z2021030）核心內容