基于不動點映射的多微網與配電網主從博弈定價策略及均衡求解方法

郝元釗,吳豫,苗福豐,劉一欣

(1.國網河南省電力公司,鄭州 450052; 2.天津大學 智能電網教育部重點實驗室,天津 300072)

0 引 言

微電網作為新型電力系統的重要組成部分,在促進分布式能源就近消納、提高系統運行可靠性和經濟性等方面發揮重要作用[1-3]。與此同時,隨著電力市場機制的不斷完善,未來微電網將作為新興的市場主體,廣泛參與到配電側電力市場的競爭中。因此,建立含多微網的配電側市場機制已成為未來新型電力系統的一大發展趨勢[4]。

針對該背景,許多研究開始關注微電網與配電網的聯合優化問題。文獻[5]針對含多微網的主動配電網優化運行問題進行建模和分析,采用雙層決策模型描述主動配電網與微電網的互動作用。文獻[6]引入基于交替方向乘子法的微網群雙層分布式調度方法,并驗證了所提方法能夠在電網和微電網聯合運行過程中起到保護微網群數據隱私的作用。文獻[7]提出基于模型預測控制的微電網多目標協調優化方法,并驗證了所提控制策略能夠在微電網日內調度中快速平抑能源和負荷的波動,降低對配電網的影響。文獻[8]提出考慮微電網靈活性的配電網絡規劃方法,建立微電網與配電網的聯合優化模型,并采用遺傳算法求解復雜非線性規劃問題。

然而,現實中微電網往往以獨立主體的形式存在,通過市場機制與配電網建立聯系,故上述聯合運行的模式并不適用。為此,有必要引入博弈論的思想[9-10],討論含多微網的配電系統定價策略。文獻[11]研究多微網與負荷聚合商之間的博弈問題,提出迭代機制求解雙方的最優策略,實現微網群整體的經濟性。文獻[12]引入微網群運營商的概念來管理不同微電網的運行和能量交易策略,并建立不同運營商之間的博弈模型。然而,上述文獻均基于微網群接入配電網相同節點的假設,所研究的方法僅適用于多微網彼此相鄰的情形;而實際工程中,微電網較多分布在電網的不同節點。近年來,有文獻開始考慮微電網接入多個配電網節點的情形,分析微電網對配電網潮流約束的影響,以確保電力交易策略的可行性。例如,文獻[13]考慮了配電網潮流約束,提出多微網集中式交易定價策略;文獻[14]對配電側多微網交易機制展開研究,采用雙層框架描述其動態博弈問題。然而,上述研究均以智能算法來解決多主體博弈問題,可能導致陷入局部最優解。此外,電力市場中常常采用邊際電價作為交易的重要信息,其等價于電力有功平衡約束的對偶變量。為了獲得準確的電價信息,需研究網絡潮流優化問題的對偶模型。然而,配電網潮流問題通常屬于非線性規劃問題,通過其對偶變量獲取節點邊際電價的過程較為復雜,故當前與微電網博弈相關的多主體博弈均衡收斂問題鮮有討論。

為此,文章引入不動點定理對多微網與配電網的協同定價策略展開研究。首先,建立含多微網的配電網二階錐最優潮流模型,并推導得到二階錐規劃問題的對偶模型,進而得到配電網節點邊際電價。其次,建立含儲能、分布式光伏和彈性負荷的微網群優化模型,并提出受價格引導的需求響應模型。最后,基于不動點理論描述含多微網的配電系統定價策略,在此基礎上提出基于外推改進的最佳響應算法求解系統的均衡狀態,并利用壓縮映射定理證明所提算法的收斂性。

1 配電網與多微網的主從博弈關系

在市場環境下,微電網根據所接入配電網公布的交易價格進行需求決策,而配電網則根據微網群上報的策略進行定價決策,該價格-需求閉環本質上構成了Stackelberg博弈問題,其整體框架如圖1所示。具體而言,配電網為博弈中的領導者,其根據當前用電需求情況制定電價策略,并傳遞給微網群;考慮市場中具有M個微電網,共同作為博弈中的跟隨者,依照交易價格進行各自的優化運行決策,并將交易策略調整反饋給上級配電網。需指出,為聚焦配電網與微電網之間的互動關系,文中未考慮微電網之間的互動。

圖1 配電網與多微網的主從博弈關系

2 配電網優化運行建模

配電網作為博弈的領導者,其主要目標是優化運行成本,同時制定交易價格。考慮輻射狀配電網絡,采用如下distflow模型對其進行建模:

(1)

(2)

?mn∈L,?n∈N,?t∈T(μn,t)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

上述模型中,目標函數包含了發電機運行成本、上級電網購電成本以及負荷削減懲罰費用。約束條件中,式(2)～(3)為節點潮流平衡約束,式(4)為線路電壓降等式約束,式(5)為功率等式對應的二階錐松弛約束,式(6)～(7)為平衡節點功率平衡約束,式(8)～(9)為線路電流和節點電壓幅值約束,式(10)定義了平衡節點的電壓幅值,式(11)～(12)為線路功率限制約束,式(13)～(14)為發電機有功和無功出力約束,式(15)～(16)定義線路功率的范圍。

(17)

上述變換將模型由二次規劃問題轉換為二階錐規劃問題。根據凸優化理論,該變換不引入松弛,屬于緊的[9]。特別地,本文采用節點邊際電價(locational marginal price,LMP)作為售電價格。根據電力市場相關知識可知,LMP等價于有功功率平衡約束的拉格朗日乘子[15],即λn,t。

3 含儲能及彈性需求的微電網群建模

微電網群作為跟隨者,根據配電網給定的價格進行獨立優化。本文考慮微電網由燃氣輪機、光伏發電單元、儲能單元及彈性負荷組成。假設配電網中接入M個微電網,對于任意微電網i(i=1,2,…,M),其優化運行模型可表示如下:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

Emin≤Ei,t≤Emax, ?i∈NMG

(25)

微電網運行的目標函數中包含向上級電網的購電成本、燃氣機組發電成本、儲能充放電成本以及光伏削減懲罰費用。值得注意的是,目標函數中包含了節點電價變量λi,t,需由配電網給定?？尚杏蛑?約束式(19)為微電網i的功率平衡約束;約束式(20)限制了光伏輸出功率范圍;式(21)定義了燃氣機組發電功率的范圍;式(22)～(23)為儲能單元的充放電功率約束,式(24)定義了儲能電量時序約束,式(25)定義了儲能荷電狀態的限制范圍。

圖2 微網彈性需求模型

(26)

4 多微網系統定價策略及求解方法

4.1 定價策略的不動點映射描述

圖3描述了LMP與微電網的互動關系,配電網通過定價策略影響用電情況,而微電網的交易計劃也會反作用于電價策略,構成一個有向閉環調節。

圖3 雙層博弈框架

為此,本文引入不動點映射來描述上述過程:首先,電價到需求的映射可表示為:

(27)

(28)

{λi,t}=MB[MA({λi,t})]

(29)

綜上,本文研究的定價策略可描述為上述不動點映射問題。根據文獻[16],由式(26)定義的彈性需求為有界閉區間,且電價到需求的映射為連續,當需求到電價的映射亦滿足連續性假設時,則主從博弈最終將達到均衡狀態。有關不動點存在性分析見文獻[15-17],限于篇幅不再贅述。

4.2 含二階錐約束的配電市場出清價格計算方法

在圖3所示的雙層主從博弈框架中,配電網需根據響應情況對所有微電網接入節點制定價格策略。由第2節所建立的最優潮流模型為二階錐規劃問題,獲得邊際價格需要求解原二階錐優化的對偶模型,具有一定復雜性。為此,本文給出配電網優化問題的對偶問題如下:

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

當求解上層配電網主導者的定價策略時,需由下層微網群跟隨者給定需求策略后進行對偶并求解。觀察上述表達式可知,配電網distflow模型的對偶模型仍是二階錐凸優化模型,采用mosek等商業求解器等可直接有效進行求解,即獲得電網的邊際電價。研究表明,當且僅當配電網二階錐問題(1)～(16)滿足強對偶性質,方能通過求解上述對偶模型獲得準確的LMP電價。需指出,本文所建立的模型符合文獻[18]中引理1所要求的基本條件;根據文中定理可知,本文模型滿足二階錐的強對偶性質,故可通過求解如上對偶問題獲得準確的邊際電價成本。

4.3 主從博弈均衡狀態的求解方法

本節介紹求解配電網與微網群主從博弈均衡的改進最佳響應方法。為了方便算法描述,首先定義如下變量的向量形式為:

λ={λi,t,?i∈NMG,?t∈T}

(44)

(45)

(46)

所提改進最佳響應算法的具體步驟如下所示:

1)步驟一:設置不動點迭代次數k=0和收斂允許誤差ξ。在可行域內給定一組配電網的價格變量初值λ0并開始算法迭代;

4)步驟四:判斷如下收斂性條件:

①若上述條件滿足則算法迭代終止,得到主從博弈的均衡解并輸出;

②若上述條件不滿足,則引入外推技術對當前迭代的價格變量進行更新:

λ(k+1)←τ(k)·λ(k)+(1-τ(k))·λ(k+1)

并令k=k+1,返回步驟二,迭代直至算法收斂。

需要說明的是,與常規最佳響應算法相比,所提改進算法增加了步驟四中的外推更新技術。根據文獻[19],上述策略能夠促進算法收斂,且當問題滿足壓縮映射時,算法具有強收斂性。為了說明所提算法的收斂性,首先給出壓縮映射定理。

1)定理1:當映射函數F(x)在其可行域內連續且可微,且其一階導數滿足|F′(x)|<1,則F(x)屬于壓縮映射。

2)證明:對于任意可行域內x1和x2,x1≠x2,由微分中值定理可知,存在ψ0使得:

|F(x1)-F(x2)|=|F′(ψ0)(x1-x2)|<

1·|x1-x2|

(47)

因此,F(x)屬于壓縮映射函數。

(48)

則所提算法具有收斂性。不失一般性,假設負荷的增量完全由發電機所承擔[16],則根據邊際節點電價的定義,其等價于該節點單位負荷增加所引起的電源邊際成本增加量,具體如下:

(49)

因此,映射關系MA的偏導為:

(50)

由式(26)易知,映射關系MB的導數為:

(51)

5 算例分析

5.1 測試系統參數設置

仿真采用改進的IEEE-33節點配電網進行測試[20],其拓撲如圖4所示。

圖4 含多微網的改進IEEE-33節點配電系統

配電網中負荷預測系數如圖5所示,微電網中光伏出力和彈性需求基準值分別如圖6和圖7所示。算法參數中,迭代允許誤差設置為ξ=10-5。根據文獻[19],算法外推步中更新系數取值應隨迭代次數增加而遞減,故本文取τ(k)=1/(1+k)0.8。

圖5 配電網負荷系數預測

圖6 微電網中光伏出力預測值

5.2 測試結果分析

為驗證所提算法的優越性,對比常規最佳響應算法和本文所提改進最佳響應算法求解同一博弈問題的性能。為方便對比,首先定義每次迭代的最大誤差系數:

圖8給出使用常規最佳響應算法和改進最佳響應算法求解相同博弈問題的最大誤差迭代曲線。如圖8所示,在相同允許誤差的前提下,改進最佳響應算法僅經歷7次迭代即可收斂,算法的求解時間為105.936 s;而使用常規最佳響應算法求解相同問題則需11次迭代,算法總計算時間為146.220 s。上述結果表明,所提出改進最佳響應算法針對本例具有更高的求解效率。

為了說明迭代過程中關鍵信息變量的變化情況,圖9以微電網2、3和4為例,分別給出在時刻t=6、t=12和t=18時彈性負荷隨迭代的動態變化過程。由圖9可知,隨著迭代次數的增加,彈性負荷快速進行調整,微電網在不同時刻的需求曲線均經歷5次迭代以后逐漸趨向平穩,最終經歷7次迭代后達到博弈均衡狀態。

圖9 需求響應迭代過程

作為對照,圖10給出對應時刻微電網2、3和4節點邊際電價隨迭代的變化曲線。顯然,節點電價同樣經歷幾次迭代后快速趨于平穩直至收斂,也說明了算法求解的有效性。通過對比圖9和圖10還可以發現,相同微電網節點的需求響應負荷與節點邊際電價隨著迭代大致呈現相反的變化趨勢,經歷幾次博弈后最終兩者均不再變化(達到博弈均衡狀態),符合配電網與微電網的主從博弈過程。

圖10 邊際電價迭代過程

為進一步分析主從博弈的均衡狀態,以微電網3為例給出節點22的電價和需求分布,具體如圖11所示。

圖11 均衡狀態下節點邊際電價與需求分布(微網3)

需指出,圖11中左側縱軸為彈性負荷和微電網購電功率的坐標值范圍,右側縱軸為節點邊際價格的坐標值范圍。根據圖11中均衡狀態下的結果可知:1)在1—6及18—24時段,由于微電網光伏就地供應能力不足,微電網需從配電網購電,故傳輸功率為正,節點電價處于較高水平;2)在7—17時段,微電網光伏出力充足,向配電網輸送電能,故傳輸功率為負,節點電價相對而言較低;3)由彈性負荷的分布曲線可知,其在1—6及18—24時段較低,在7—17時段處于較高水平,即在均衡狀態下與電價的趨勢相反。此外,彈性負荷隨電價的變化受到彈性函數斜率影響,圖11中變化的最大幅度約為0.1 MW,基本符合實際情況。

最后,表1中給出配電網和微網群主體的成本變化規律,其中微電網2和3向配電網售電產生收益,故運行成本為負數。表1中結果表明,隨著迭代次數的增加,各個主體的成本不斷增加(或收益不斷減少),當迭代次數為5之后成本變化不顯著,直至迭代7次后達到博弈均衡狀態。該結果同時也表明,主從博弈過程使得各主體成本增加,故達到的均衡狀態并非全局最優解,而是各主體博弈的穩定狀態。

表1 配電網與微電網均衡狀態運行成本

6 結束語

本文提出了配電網與多微網主從博弈均衡狀態的雙層框架和求解算法。配電網作為上層領導者,根據微電網響應制定節點邊際電價;微電網作為下層跟隨者,根據電價信息調整自身交易方案,最終構成主從博弈問題。為了求解所提主從博弈的均衡狀態,本文提出了改進最佳響應算法。仿真算例表明所提算法相比于常規算法具有更快的收斂速率,在達到相同精度前提下,所需迭代次數和計算時間更短。此外,本文方法所求得的解滿足主從博弈的均衡狀態,符合實際博弈結果,驗證了方法的有效性。

此外,微電網與微電網之間的互動使得多主體博弈模型更加復雜,相關博弈均衡機理和收斂性證明值得繼續深入開展研究。