高斯色噪聲背景下基于權向量的連續波信號檢測

代 振,吳吉偉,尹美方

(海軍士官學校,安徽 蚌埠,233000)

0 引言

連續波(continuous wave,CW)信號作為一種比較簡單的發射信號波形,在雷達、聲吶以及聲自導魚雷中受到了廣泛應用[1-3]。在高斯白噪聲背景下,檢測CW 信號的最佳檢測器為匹配濾波器(matched filter,MF)[4]。然而在實際檢測過程中,背景通常是有色的。高斯色噪聲背景下的最佳檢測器則為廣義匹配濾波器(generalized matched filter,GMF)。GMF 的思路是通過一定的變換,將色噪聲背景下的信號檢測問題轉化為白噪聲背景下的檢測問題,從而應用MF 完成檢測[5]。

GMF 的核心在于對色噪聲進行預白處理。常見的預白化方法主要包括Karhunen-Loève 變換法、Cholesky 分解法以及增強現實(augmented reality,AR)預白化法等[6-8]。但除AR 預白化法外,其他預白化法都要求色噪聲的協方差矩陣是先驗已知的,這在實際過程中通常難以滿足。AR 預白化法雖然可以根據接收信號實時估計色噪聲的協方差矩陣,但也存在定階困難和計算量大等問題[9]。

為此,文中提出一種基于權向量的信號檢測方法,該方法在大數據記錄下(采樣點數足夠多時)檢測CW 信號時,無需進行預白處理,并且檢測性能和GMF 相當。

1 信號檢測模型

考慮如下檢測模型

式中:xn是接收信號;sn是待檢測信號;wn是零均值的平穩高斯色噪聲,其協方差矩陣為Cw,是對稱正定toeplitz 矩陣。

易知X是N維高斯隨機矢量,在假設H0和H1下其概率分布為

對于上述信號檢測模型,根據經典的統計信號檢測理論可知,其最佳檢測器為GMF,對應的檢驗統計量為[10]

2 基于權向量的信號檢測

2.1 檢驗統計量構造

由式(3)可以看出,GGMF是接收信號矢量X的線性組合,是一個線性檢測器。因此基于權向量構造一個線性檢驗統計量,即

式中,β=[β0,β1,···,βN-1]T為權向量。

2.2 檢測性能分析

由于Gβ也是X的線性組合,易知Gβ是一維高斯隨機變量,其概率分布為

由式(5)可知,在不同假設下Gβ的均值不等而方差相等。可以證明,以Gβ作為檢驗統計量時,其虛警概率Pf與檢測概率Pd總滿足[10]

由式(6)可以看出,在給定虛警概率時,信號的檢測概率完全由檢測指數d2決定,其計算公式為

式中,E(G/Hj)與Var(G/Hj)分別是假設Hj(j=0,1)下檢驗統計量G的均值與方差。

結合式(5)和式(7)可得G=Gβ=βTX時的檢測指數為

2.3 N-P 準則下的最優權向量

在雷達、聲吶以及聲自導魚雷中,通常采用NP 準則作為最佳判決準則,即給定虛警概率,使得檢測概率最大。由式(6)可知在虛警概率一定時,檢測概率是檢測指數d2的單調遞增函數,因此使得d2取最大值時的權向量就是N-P 準則下的最優權向量。下面推導最優權向量的表達式。

在式(8)兩端同時對權向量 β求導可得

由于常系數對信號檢測沒有影響,為方便起見,可直接取最優權向量為,將其代入式(4)可得最優檢驗統計量為

對比式(3)和式(11)可以發現,根據最優權向量構造的最優檢驗統計量Gm和GGMF的表達式完全一樣,這與GMF 是高斯色噪聲背景下最佳線性檢測器的結論一致。

顯然,GMF 的檢測性能同樣可由式(12)確定的檢測指數決定。

3 CW 信號檢測

當待檢測信號sn為CW 信號時,可寫為

式中:fc為歸一化后的信號頻率;A、θ分別為CW信號的幅值與相位。對于單次檢測而言,幅值A與相位 θ通常未知,但其值是確定的,因此可視為確知信號檢測。

3.1 權向量選擇

如果是在高斯白噪聲背景下檢測CW 信號,其最佳檢測器為MF,檢驗統計量為

對比式(14)和式(3)可以發現,GMF 相比于MF 多出一個因子。由于Cw是色噪聲的協方差矩陣,所以的存在相當于對色噪聲先進行了預白處理,然后再進行MF 檢測。這也是GMF 被稱為廣義匹配濾波的原因。

但是,對于色噪聲背景下的CW 信號檢測,如果直接應用GMF,綜合式(11)和式(12)可知,無論是檢驗統計量計算還是檢測性能分析,都不可避免地涉及到。然而,Cw一般不是先驗已知的,通常需要進行實時估計得到,這將大大增加檢測的計算量。為此考慮選擇合適的權向量,以避免預白處理,也就是避免計算。

顯然,一個最簡單的方法是繼續用MF 在色噪聲背景下檢測CW 信號,這意味著直接取權向量為

式(15)表達式雖然簡單,但色噪聲下的檢測性能并不是最優的,需要進一步分析。

3.2 色噪聲背景下MF 性能分析

由于MF 等價于權向量取為β=S,將其代入式(8)可得MF 的檢測指數為

定義MF 和GMF 的檢測指數之比為ηd,可知其表達式為

顯然 ηd＜1,但如果 ηd越接近于1,表明MF 的檢測性能越接近于GMF。

下面證明,當接收信號足夠長,即在大數據記錄下 ηd是等于1 的。

首先,對于CW 信號有

其次,根據文獻[10]可知,在大數據記錄下有

對于CW 信號而言,其周期譜圖只在fi=fc和fi=1-fc(實際上對應的頻率是 -fc)處有非零值,而在其他頻率處的周期譜圖值均為零,并且有I(fc)=I(1-fc)。同時由于P(f)是偶函數,故有P(fc)=P(1-fc)=P(-fc)。將二者代入式(19)可得

根據Parseval 定理,確知信號的時域能量等于其頻域能量,故有

將式(18)、(20)和(21)代入式(17)可得

表明在大數據記錄下,MF 和GMF 的檢測指數相等,即MF 和GMF 的檢測性能是一樣的。

4 仿真分析

假設高斯色噪聲背景wn可以用M階AR 模型來擬合,即

式中:ak為AR 模型系數;un是均值為0、方差為1 的高斯白噪聲。

取采樣頻率為1 600 Hz,CW 信號歸一化頻率為0.15。采用4 階AR 模型來模擬高斯色噪聲,AR 模型參數取[-0.38,0.36,0.16,0.17]。采樣點數為N,仿真結果如下。

圖1 給出了 ηd與采樣點數N的關系?？梢悦黠@看出,當采樣點數N較小時,ηd取值與1 相差較大;隨著N的增加,ηd取值也迅速增加;當N>300時,ηd取值較為平穩,接近于1。

圖1 N-ηd曲線Fig.1 Curve of N-ηd

約束虛警概率為Pf=10-3,取采樣點數N分別為50、100、500,統一進行20 000 次蒙特卡洛實驗,MF 與GMF 的檢測性能對比見圖2。圖中橫坐標為信噪比,記為SSNR,且SSNR=10log(A2/σ2w)。

圖2 MF 與GMF 檢測性能對比Fig.2 Comparison of detection performance for MF and GMF

從圖2 首先可以看出,當采樣點數比較少時(N=50),GMF 的檢測性能優于MF,前者比后者高出1 dB 左右,這與GMF 是高斯色噪聲背景下的最優檢測器一致。同時還可以看出,隨著采樣點數的增加,MF 的檢測性能逐漸逼近GMF,當采樣點數較大時(N=500),MF 與GMF 的檢測性能曲線幾近完全重合,這與文中的結論一致。

5 結束語

針對高斯色噪聲背景下的信號檢測問題,提出了一種基于權向量的檢驗統計量構造方法,推導了N-P 準則下的最優權向量,證明根據最優權向量確定的檢測器與GMF 一致。將權向量應用到CW 信號檢測中,證明了大數據記錄下MF 和GMF的檢測性能是等價的,仿真結果證明所提方法在檢測CW 信號時可以避免預白化處理,明顯提高檢測效率。但是,檢測調頻信號時,仍然要進行預白化處理,下一步可針對色噪聲背景下調頻信號的檢測,研究相應權向量的選擇。