順應理解 整體架構
——以蘇科版數學八（上）“一次函數”單元教學設計為例

■張萬潔

初中課堂教學模式大多是以教材內容分課時講授為主。以課時為單位進行教學設計容易讓教學內容碎片化，在解決問題過程中學生容易產生思維斷裂，不利于對知識形成整體認知。而單元教學設計嘗試將本質相同或有內在關聯的內容安排在一個課時進行整體設計，突出知識體系的邏輯性和整體性，保證了教學的連續性，有利于學生數學能力和數學核心素養的培養。本文以蘇科版數學八年級上冊“一次函數”為例，與大家一起探討單元教學的設計。

一、教學目標

1.探索實際問題中的數量關系和變化規律，了解常量、變量和函數的概念，體會“變化和對應”的思想；了解函數的三種表示法（表達式法、列表法、圖像法）；能結合圖像分析簡單的函數對應關系。

2.理解一次函數的概念，能夠畫出一次函數的圖像，根據一次函數的圖像和表達式理解函數的性質（數形結合的思想）。

3.經歷“把實際問題抽象為函數”的過程，應用函數的概念和性質解決具體問題，感受函數模型思想，學會運用函數思想，站在新的高度和角度審視和反思問題；利用函數思想認識和刻畫客觀世界中的運動變化特征，提升數學建模等核心素養。

二、教學過程

1.揭示本質，單值對應

情境1：播放奧運會男子百米飛人決賽的視頻。

師：在百米測試中，當時間t確定時，速度V是否確定？唯一確定嗎？

生1：可以唯一確定。比如，當t=14s時，V≈7.1m/s。

情境2：給出百米測試的得分表。

表1 百米測試得分表

師：當時間t確定時，得分d是否確定？唯一確定嗎？

生2：可以唯一確定。比如小明，男，當用時14.0s時，得8分。

情境3：圖1 是百米測試那天的氣溫變化圖。

圖1

師：在這個變化過程中，當時間t確定時，溫度T是否確定？唯一確定嗎？

生3：也可以唯一確定。比如，在上午11點時，溫度為12℃。

師（追問）：以上三種情境剛好對應函數的三種表示形式，它們有什么共同點？

生4：當時間t確定時，無論是速度、得分，還是溫度，都唯一確定。

【設計意圖】筆者通過創設情境，讓學生了解函數的三種表示形式，并通過設置問題引導學生思考變量和因變量的唯一對應關系，揭示函數概念的本質。筆者認為，函數概念及思想應該滲透在函數學習的每一個過程中，讓學生在潛移默化中構建函數思想。

2.畫圖探究，細化過程

師：以一次函數y=2x為例，怎樣畫出它的圖像？你是怎么想的？說說你的想法。

教師對學生進行分組，小組經討論，共同得出所經歷的步驟：列表、描點、連線。

生5：我們小組首先進行取點，在取點過程中發現取的點是雜亂無章的，所以我們通過列表的方法（如表2），按照從小到大的順序取了5個點。然后建立直角坐標系，在坐標系中描出這5點，最后順次連接。

表2

師：對于以上過程，大家有什么補充建議嗎？

生6：我們小組認為圖像是一條直線，兩端應該無限延伸。因為自變量的取值范圍是一切實數，所以在列表的時候，表格兩邊都要加“…”（如表3），并且要在圖上寫出函數表達式（如圖2）。

圖2

表3

【設計意圖】筆者以一次函數為例，讓學生體驗函數圖像的繪制過程。在探索一次函數圖像的過程中，讓學生感受函數同時兼有的三種表示形式。列表、描點、連線是研究函數圖像的一般方法。學生通過小組合作的形式，在繪制函數圖像的過程中，發現問題，解決問題，加深了對函數圖像的理解，進一步揭示了函數概念的本質。

3.數形結合，變換圖像

師：再次嘗試畫出一次函數y=2x+4 的圖像，你有什么新發現？

生7：圖像畫出后，我發現，y=2x+4 的圖像也是一條直線，并且與y=2x的圖像平行。

師：我們如何驗證呢？

學生通過思考、合作探究，對特殊的一次函數進行證明，證明如下：

如圖3 所示，已知在y=2x+4 上有兩個特殊點A（0，4）、B（-2，0），在y=2x取點C（2，4），過點C作垂直于x軸的直線，交x軸于點D（2，0），易證△AOB≌△CDO，從而得到AB//CO，則直線y=2x+4與y=2x平行。

圖3

師：那么，對于任意的兩條直線y=kx與y=kx+b，當b≠0 時，兩直線是否平行呢？請同學們給出證明。

生8：同理，在y=kx+b取兩個特殊點，在y=kx取縱坐標為b的點，過點C作垂直于x軸的直線，交x軸于點D，易證△AOB≌△CDO，從而得到AB//CO。

【設計意圖】筆者讓學生先從易于證明平行的兩條直線出發，再到k值相同的任意兩條直線，讓學生理解k值相同的兩條直線平行的具體原因，體會由特殊到一般的證明過程，有利于學生數學邏輯思維能力的培養。

4.建構模型，滲透素養

師：說出圖4中x、y的實際意義。

圖4

生9：如果x表示時間，y表示與出發地的距離，則可以理解為：小明以250m/min的速度勻速騎自行車，8min 后到達某地，休息6min 后，以200m/min 的速度勻速返回，10min后返回出發地。

師：如果以上述行程問題為例，你還能提出哪些問題？

生10：如果2min 后爸爸以100m/min 的速度步行出發去追小明，幾分鐘后能追上他？

【設計意圖】筆者給出函數圖像，讓學生自行賦予函數以實際意義，以“行程問題”讓學生嘗試提出、解決問題，體驗函數建模的完整過程，有助于學生形成良好的思維能力，有利于培養學生的數學核心素養。

5.明晰路徑，構建體系

編題1：已知一次函數y=-4x+20，至少提出一個與此函數相關的問題。

編題2：一輛汽車從甲地出發駛向乙地，汽車以60km/h的速度行駛了xh，試根據上述情境提出問題，并用一次函數相關知識求解。

【設計意圖】學生在編題過程中需要把各種相關知識重新組織、整理，能有效鞏固和拓展所學知識，提升對所學知識的理解和認識，同時還能拓展思考問題的維度，強化知識間的內在聯系，從而完成一次函數知識體系的構建。

三、教學反思

數學單元整體設計注重層次性、探究性、開放性和應用性等特性，筆者通過單元整體設計教學，在原有教學方法的基礎上進行優化和創新，把握學生現有認知水平以及可能出現的思維障礙，喚醒學生的問題意識，以問題滲透的方式，啟發深度思維，開展深度學習，促進了學生抽象思維和整體思維的形成，有助于學生對知識的整體把握，以及知識水平的提高。