一種具有機動目標加速度補償的制導律設計

王重陽，王敏，李慧，許振領，蘇振強

（中國人民解放軍63892 部隊，河南 洛陽 471003）

現代戰爭中，巡航導彈、反艦導彈等精確制導武器的大量應用使地面與海面目標所受到的威脅日益嚴重。目前主要通過防空導彈對巡航導彈、反艦導彈進行有效攔截，而采取大機動突防是巡航導彈、反艦導彈突破防空導彈防御區的有效手段。防空導彈普遍采用比例導引等傳統的制導律，其制導指令在攔截點附近都存在過載指令較大的現象，特別是攔截大機動目標，比例導引往往存在滯后性，在即將攔截的時刻需用過載指令大而造成脫靶量較大。

文獻[1-11]主要采用微分幾何、最優控制、滑模變結構控制等控制理論針對機動目標進行制導律設計，與比例導引相比面對機動目標制導效果有了較好的改善，但用到控制理論較深，制導律形式較為復雜。文獻[12-18]這些經典的末制導律設計思想主要采用各種濾波算法對機動目標的加速度進行估計，根據估計的目標機動加速度對制導律進行補償，但其濾波算法計算過程較為復雜。

采用經典的PID 控制方法推導出對固定目標與機動目標的零化視線角速率制導律[19-20]，并采用經典的擴展卡爾曼濾波方法估計出機動目標的機動加速度，對所設計的制導律進行目標機動加速度補償。并通過計算機仿真驗證了目標機動加速度的估計精度，提高了攔截機動目標的制導性能。

1 具有目標機動加速度補償的末制導律設計

經典的PID 控制器最主要的優點是根據目標狀態與實際狀態之間的誤差去實時消除這個誤差，而并不是依靠輸入與輸出之間的關系。所以，這也是經典的PID 控制器被廣泛采用的主要原因。

基于經典PID 控制器的誤差反饋控制思想可以設計零化視線角速率的制導律。首先，針對固定目標設計，如圖1 所示，以縱向平面為例，建立導彈打擊固定目標的相對運動方程。

圖1 導彈打擊固定目標彈目相對運動關系

對式（1）彈目相對運動方程中第二式求導并化簡可得：

從而，設輸入量u=-aMq，輸出量y=，得出系統的傳遞函數即為被控對象的傳遞函數，如式（4）所示：

零化視線角速率控制思想是在攔截目標時刻彈目視線角速率為零，設定目標初速值v0=0，利用誤差反饋控制的方法，設定的目標值與系統實際狀態之間的誤差e=v0-y，根據該誤差來決定控制力u，系統在該控制力的作用下，最終輸出達到設定值v0=0。反饋控制過程如圖2 所示。

圖2 經典誤差反饋控制

系統閉環傳遞函數為：

由y=，u=-aMq，v0=0，可得:

式（7）表明，攔截固定目標的零化視線角速率制導律就是比例導引制導律。

同理，對于大機動目標，也可以采用基于經典的PID 控制器誤差反饋控制的思想，設計零化視線角速率的制導律。以縱向平面為例，如圖3 所示，建立導彈攔截大機動目標的相對運動方程。

圖3 導彈攔截機動目標彈目相對運動關系

對式（8）彈目相對運動方程中第二式求導，并按照前面理論將導彈軸向加速度與側向加速度和目標軸向加速度與側向加速度都投影到垂直與彈目視線方向，化簡可得:

式（9）與式（3）相比多了目標垂直于彈目視線上的加速度，根據針對固定目標的零化視線角速率制導律的設計方法，設輸入量u=aTq-aMq，輸出量y=設定期望值v0=0，可以將輸入控制量表示為u=ke=k(v0-y)，與式（6）相同。從而，攔截大機動目標的零化視線角速率制導律為：

由于大機動目標在末段巡航速度VT變化不大，所以目標垂直于視線方向上的加速度可簡化為aTq=aTcos(θT-q)，所示式（10）可寫為：

從式（11）可以看到，目標側向加速度aT為導引頭無法提供的信息量，所以需要準確估計aT，如果可以將aT估計得較為準確，該制導律攔截大機動目標就相當于比例導引制導律攔截固定目標。

2 目標機動加速度估計

機動目標跟蹤的最基本問題是建立機動目標模型。而建立機動目標模型一般既需要滿足實際機動情況又要便于數學計算處理。近些年來，許多學者根據機動模型不同特點，采用不同的方法建立了多種機動目標的數學模型。其中常見的有：常速與常加速模型、時間相關模型、半馬爾科夫模型、“當前”統計模型等。

“當前”統計模型的主要思想：當目標正以某一加速度進行機動時，下一時刻的加速度取值是有限的，且只能在“當前”加速度的鄰域內。由于“當前”統計模型對機動目標加速描述更為準確并且模型描述也不復雜，因此對目標機動加速度信息的估計采用“當前”統計模型[6]。當目標“當前”加速度為正時，概率密度函數為：

由瑞利分布的統計特性可知，只需得到參數μ就可以確定其分布特性，從而得出機動目標加速度方差為：

縱向平面的設計與航向平面的設計過程相同，故以一個平面為例展開設計，建立導彈攔截目標的系統模型：

建立導引頭觀測模型：

設狀態變量為X=[R,q,θT,αT,θM]Τ，導引頭觀測值為Y=，將系統模型改寫為狀態空間描述的形式，如下：

為了便于計算機處理，要將系統方程與觀測方程進行離散化，首先將X(t)與Y(t)進行泰勒展開，假定卡爾曼濾波的一次計算周期時間為Δt，令t=k，t+Δt=k+1 代入式（16）并整理即可得到離散化后的系統狀態方程。

擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filtering,EKF)是將非線性函數φ(·)圍繞標稱狀態濾波值(k/k)進行泰勒展開，并略去二次及以上高階項后得到非線性系統的線性化模型。

利用擴展卡爾曼濾波對離散化后的系統狀態方程進行線性化得到式（17）。

有了離散化與線性化后的系統方程，就可以采用卡爾曼濾波對目標機動加速度aT進行估計。

其中，式（18）第四步估計的狀態向量X(k+1/k+1)的第四個分量即為目標機動加速度aT。通過計算機程序即可解算出目標機動加速度aT用于具有機動目標加速度估計的制導律式（11）中。

3 計算機仿真分析

以防空導彈攔截機動目標為例驗證該制導律的性能。防空導彈末制導初始速度800 m/s，末制導初始時刻位置坐標（0，100，0）。目標為速度300 m/s 的亞音速空面導彈，初始位置坐標為（8 000，500，900），目標機動方式為空間螺旋機動，機動角頻率為0.5π rad/s，仿真步長10 ms。

采用比例導引制導律對機動目標進行攔截，仿真結果如圖4、圖5 所示。

圖4 比例導引三維彈道

圖5 比例導引下導彈的復合過載

采用具有目標機動加速度補償的制導律對機動目標進行攔截，仿真結果如圖6-9 所示。

圖6 設計的制導律的三維彈道

圖7 鉛垂方向目標加速度估計

圖8 水平方向目標加速度估計

在仿真過程中，比例導引的制導方式仿真時間為7.52 s，脫靶量為8.41 m；具有目標機動加速度補償的制導律仿真時間為7.74 s，脫靶量為1.72 m。

對比圖5 與圖9 結果表明，采用比例導引制導律防空導彈攔截末段過載接近20 g，而采用具有目標機動加速度補償的制導律前段過載大末端過載收斂到11 g，這樣給導彈末段留有較大的機動能力，從而致使脫靶量要小于比例導引。

圖9 采用所設計制導律情況下導彈的復合過載

由圖7 與圖8 結果表明，采用擴展卡爾曼濾波的方法對目標機動加速度的估計最大誤差為6%，估計精度較高。驗證了具有目標機動加速度補償的制導律對大機動目標的有效性。

4 結論

基于反饋控制的思想設計了可攔截大機動目標末制導律，設計采用經典PID 控制中誤差反饋的方法推導出了結構簡單實用的攔截大機動目標末制導律。這種制導律需要已知目標機動加速度，通過建立機動目標的“當前”統計模型與彈目相對運動方程，并且對模型進行離散化、線性化，利用擴展卡爾曼濾波的方法估計出目標機動加速度信息。在目標機動加速估計精確度較高的情況下，這種具有目標機動信息補償的末制導律對大機動目標的攔截相當于比例導引制導律對固定目標攔截。通過計算機仿真證明，該制導律能比較有效解決攔截大機動目標脫靶量較大的問題。