一種改進灰狼優化算法

陳建東　聶斌　雷銀香

摘? 要：針對原始灰狼優化算法（GWO）易陷入局部最優和全局搜索能力較弱的問題，提出一種改進灰狼優化算法（Improved Grey Wolf Optimization， IGWO）。該算法首先通過引入非線性收斂因子來調整控制參數，進一步平衡GWO的全局搜索和局部開發能力。其次，在灰狼位置更新的過程中結合布谷鳥優化算法的搜索機制，幫助灰狼種群陷入停滯時跳出局部最優。最后，在6個基準測試函數進行仿真實驗，結果表明IGWO能提升GWO的性能。

關鍵詞：灰狼優化算法；非線性收斂因子；布谷鳥搜索；基準測試函數

中圖分類號：TP18? 文獻標識碼：A? ? ? 文章編號：2096-4706（2023）19-0094-05

An Improved Gray Wolf Optimization

CHEN Jiandong， NIE Bin， LEI Yinxiang

（College of Computer Science， Jiangxi University of Chinese Medicine， Nanchang? 330004， China）

Abstract： An Improved Grey Wolf Optimization （IGWO） is proposed to solve the problem that the original Grey Wolf Optimization （GWO） is easy to fall into local optimal and has weak global searching ability. Firstly， this algorithm introduces the nonlinear convergence factor to adjust the control parameter to further balance the global search and local development capabilities of GWO. Secondly， the search mechanism of Cuckoo Optimization algorithm is combined in the process of Grey Wolf position updating to help the Grey Wolf population to jump out of the local optimal. Finally， the simulation experiments on 6 benchmark test functions show that IGWO can improve the performance of GWO.

Keywords： Gray Wolf Optimization; nonlinear convergence factor; Cuckoo Search; benchmark test function

0? 引? 言

群智能優化算法是基于自然界動物群體行為的模擬而提出的一類優化算法。主要應用于函數優化和全局尋優問題。它具有自適應學習、全局搜索能力和解決高維問題的能力。因此，群智能算法在以下5大領域得到廣泛應用[1]：

1）工程優化：群智能算法用于尋找工程問題的最優解，如結構優化、網絡優化、資源分配等。2）數學建模：群智能算法用于解決復雜的數學模型，如非線性方程組、動態系統建模等。3）機器學習：群智能算法可用于訓練神經網絡、支持向量機等機器學習模型。4）圖像處理：群智能算法可用于圖像分類、圖像識別、圖像去噪等任務。5）計算機視覺：群智能算法可用于目標跟蹤、目標識別等計算機視覺任務。群智能算法在許多其他領域也得到了應用，如特征選擇、預測分析等。總的來說，群智能算法是一種非常強大的優化算法，可以解決多種復雜問題。

灰狼優化算法（GWO）是由Mirjalili等人[2]在2014年提出的一種群智能優化算法，它模擬了灰狼對其他動物的捕獵行為，來尋找全局最優解。灰狼優化算法具有較強的隨機性和多樣性、簡單易實現和高效穩定的特點。因此，作為一種有潛力的優化算法，GWO已被廣泛應用于各種領域問題。如Fouad等人[3]提出基于GWO的sink節點定位方法，所提出的方法使平均能耗和活動節點數量最小化，并縮短了構建簡化拓撲所需的時間。Mosavi等人[4]利用GWO來優化多層感知器神經網絡的參數對Sonar數據集進行分類，實驗表明該算法在大多數情況下性能優于或與其他算法相當。劉勇等人[5]針對風電波動降低電網對其消納水平的問題，設計了一種采用GWO改進的自適應噪聲的完備集成經驗模態分解的混合儲能系統功率分配策略，將該策略同其他風電平抑策略進行對比，驗證了有效性和優越性。馮麟皓等人[6]針對車間的調度問題，提出了混合交叉搜索策略的灰狼算法，通過MK數據集測試比，驗證了算法在多目標車間調度問題的優越性。

然而，同其他群體智能算法相比，GWO依然存在易陷入局部最優，收斂速度較慢等問題。針對這些問題，研究人員進行了大量的改進。Wang等人[7]提出了一種具有進化和淘汰機制的改進灰狼算法（IGWO），實驗表明改進后的算法不僅能提高GWO的優化精度而且使算法具有跳出局部最優的能力。Luo[8]提出了一個更現實的模型來模擬自然界中灰狼的領導等級和群體狩獵機制。實驗結果表明，改進后的算法在收斂速度和解的質量方面明顯優于原有算法。Teng等人[9]提出了一種結合粒子群優化的灰狼優化算法（PSO_GWO），仿真結果表明，該算法能較好地搜索全局最優解，具有較好的魯棒性。Nadimi[10]等人基于維度學習的狩獵（DLH）搜索策略，提出了一種改進的灰狼優化算法，實驗結果和統計測試表明，該算法具有很強的競爭力。Elsisi[11]通過引入基于對立的學習（OBL）和準OB （QOBL），改進了GWO的探索和利用方式，增強了原始GWO的搜索性能，防止算法陷入局部最優。

雖然上述研究人員都對GWO進行了改進，但GWO仍然存在全局搜索與局部搜索不平衡、全局搜索能力較弱的問題。因此，本文通入引入相應的策略對原始GWO進行改進，該算法首先通過引入非線性收斂因子來調整控制參數a，進一步平衡GWO的全局搜索和局部開發能力。其次，在灰狼位置更新的過程中結合布谷鳥優化算法的搜索機制，幫助灰狼種群陷入停滯時跳出局部最優，增強算法的全局尋優能力。在8個基準測試函數的仿真實驗表明，改進后算法能提升GWO的性能，表明了改進的有效性。

1? 灰狼優化算法

受到狼的狩獵行為的啟發，Mirjalili等人[2]提出了灰狼優化算法（Grey Wolf Optimization， GWO）。GWO模擬了灰狼的社會等級和狩獵行為，并將灰狼視為食物鏈頂端的頂級掠食者。在GWO算法中，狼群中的每只灰狼都代表著種群中的一個潛在解決方案，而領頭的α狼則是最佳解決方案。排名第二的β狼和負責偵察、警戒、包圍和守衛的δ狼分別代表最佳和次優解決方案。其他候選解決方案是排名較低的ω狼的位置。GWO算法由以下三個步驟組成：

1）初始化灰狼種群位置：在灰狼算法中采用隨機產生種群的方法，即：

（1）

式（1）中，X為灰狼位置，i ∈ {1，2，3，…，N}和j ∈ {1，2，3，…，pop}，N為灰狼個數，pop為種群維數；ub，lb分別是搜索上界和下界。

2）種群搜索。灰狼通過式（2）和式（3）追蹤獵物：

（2）

（3）

其中，D表示灰狼與獵物的距離；t為迭代次數；A，C為系數向量，分別用于調節灰狼移動的方向和修正獵物位置；X和Xp為灰狼位置和獵物位置。A，C的計算如下：

（4）

（5）

其中，r1，r2為（0，1）之間的隨機值，a為控制參數，由下式計算：

（6）

其中，T是最大迭代次數，a在[0，2]范圍內取值，隨著迭代次數增加線性遞減。

（3）種群位置更新。通過計算灰狼優化算法的目標函數值，得到最優解、優解和次優解設為α狼、β狼和δ狼，其他灰狼ω的位置向α狼、β狼、δ狼移

動，完成對獵物的包圍，由α狼、β狼和δ狼的位置共同決定，移動公式如式（7）～式（9）所示。重復上述過程，直到滿足算法終止條件，最后輸出最優解。

（7）

（8）

（9）

其中，C1，C2，C3分別用式（5）計算，A1，A2，A3分別用式（4）計算，Xα，Xβ，Xδ是根據α，β，δ狼的位置生成的新位置，式（9）為ω狼個體新位置更新公式。

2? 灰狼優化算法的改進

2.1? 引入非線性收斂因子

由GWO的公式可知，其全局探索能力和局部開發能力由參數A決定。當A＜1時，狼群跟隨α狼去獵殺獵物；當A＞1時，狼群散開去尋找獵物。然而這種變化是線性遞減的，這種線性變化控制了全局搜索的前半段迭代和局部優化的后半段迭代，阻礙了全局探索與局部開發之間的平衡。為進一步平衡GWO的全局搜索和局部開發能力，引入了一個非線性的收斂因子來控制搜索過程，其表現形式如下：

（10）

其中，ainitial代表a的初值，取值為1，afinal代表a的終值，取值為0。t和T分別為當前迭代次數和最大迭代次數。隨著迭代次數的增加，在早期，下降速度較慢，使得收斂因子a在較長時間內保持較高的值，從而提高了搜索效率。隨著迭代的進行，下降的速度越來越快，導致a在更長的時間內保持較低的值，從而提高了搜索精度，使得算法前期和后期的搜索能力得到較好的平衡。

2.2? 結合布谷鳥優化算法更新灰狼位置

由于原始灰狼優化算法中的α狼并不總是朝向全局最優解移動，因此容易陷入局部最優。灰狼群體總是向全局最優的前三個解靠近，其全局搜索能力相對較弱，在求解復雜的優化問題時表現就非常不理想，比如在具有多峰的基準測試函數或一些固定維數復雜函數上的求解。這是因為原算法中的搜索策略單一，導致算法難以找到全局最優解。因此，對灰狼優化算法的搜索策略進行改進，以提高其全局搜索能力和降低陷入局部最優的風險，是十分必要的。而布谷鳥算法的優勢在于它能夠有效地避免局部最優解，以及具有較快的收斂速度和較高的全局搜索能力。因此通過使用布谷鳥算法的搜索機制來改進灰狼種群的搜索方式能有效解決灰狼優化算法中容易陷入局部最優的問題。

布谷鳥優化算法 （Cuckoo Search Algorithm， CSA）是一種基于布谷鳥覓食行為的優化算法。它是由Yang[11]在2009年提出的。布谷鳥算法的工作原理是模擬布谷鳥的覓食行為。布谷鳥會在覓食地隨機地扔下蛋，如果蛋在覓食地里找到了食物，那么布谷鳥會留下該蛋；如果沒有找到食物，布谷鳥會隨機地選擇一個地方再扔下一個蛋，直到找到食物為止。

在布谷鳥算法中，覓食地就是搜索空間，蛋就是搜索點，食物就是目標函數的最優解。每次布谷鳥算法執行一次搜索操作，就相當于布谷鳥扔下一個蛋，并評估該蛋是否是當前最優解。

通過結合布谷鳥的搜索機制，新的灰狼種群的搜索公式如下：

（11）

其中，Xbest為迭代過程中最好的灰狼位置，α為步長控制因子，Levy（λ）為服從萊維分布的隨機步長，使用Mantegna算法進行模擬。由式（12）計算：

（12）

式（12）中，，，?μ由式（13）決定：

（13）

式（13）中，β通常取值為1.5。

最后，通過這樣的更新過程，耦合灰狼優化算法可以更快地尋找到全局最優解，并且比單獨使用灰狼優化算法和布谷鳥優算法具有更高的優化效率和更好的全局搜索能力。此外，由于耦合灰狼優化算法的參數更新方式不僅依賴于當前種群中的個體，還考慮了前一代種群的信息，因此它具有更高的穩定性。

2.3? 算法流程

結合上述改進，IGWO的算法步驟如下：

1）算法相關參數初始化，設定種群規模N，最大迭代次數T，搜索范圍上界ub，下界lb。

2）根據原始GWO算法中隨機初始化種群。

3）計算個體適應度值，記錄排名前三的灰狼位置Xα，Xβ，Xδ，然后結合式（3）（9）和（10）得出平均適應度值。

4）如果當前灰狼適應度值小于平均適應度值則按照原有公式進行位置更新；否則，保存當前位置根據式（11）進行位置更新。最后進行適應度比較，保留適應度更高的灰狼個體位置。

5）判斷當前迭代次數是否達到設置的值，若達到則輸出最優灰狼個體適應度值和位置，否則返回3）。

3? 實驗與討論

3.1? 實驗設計與分析

為了驗證IGWO的有效性，實驗選取已發表文獻中的8個基準測試函數測試IGWO的性能，并與原始灰狼優化算法GWO、融合粒子群的灰狼優化算法算法[9]（PSOGWO）進行對比。基準測試函數信息如表1所示，其中F1～F6在30維中運行，F7～F8運行固定維度，每個算法均獨立運行50次，實驗結果如表2所示。

實驗采用最優值（Best）、平均值（Mean）和標準差（Std）來評估IGWO的性能，同時為了展示三種算法的收斂性能，繪制了三種算法在30維的收斂曲線圖，如圖1所示，其中縱坐標代表適應度值以10為底的對數。

3.2? 實驗結果與分析

由表2可知：

1）在單峰測試函數F1～F2上，IGWO在最優值、平均值和標準差上相比其他算法均有著更好的表現。其中相比原始GWO和改進算法有著大幅度的領先，說明改進提升了尋優精度和穩定性。

2）在多峰測試函數F3～F4上，IGWO在最優值、平均值和標準差上有著最優值，領先GWO10個數量級。說明改進后在復雜的多峰測試函數上提升了其穩定性和全局尋優能力。

3）在固定維度測試函數F5～F6上，PSOGWO和 IGWO在F5上都取得了近似最優值，IGWO在平均值和標準差上取得了最好的結果。IGWO在F6上在平均值和標準差上依然是最優。

在所有圖像中可以發現，隨著迭代次數的增加，IGWO相比其他算法收斂速度更快，并且在相同迭代次數的情況下有著更高的精度。其中在F3中，其他算法都陷入了局部最優，只有IGWO收斂于全局最優，表明IGWO有著更強的跳出局部最優的能力。

因此，綜合上述分析，在6個基測試函數上的尋優對比實驗表明IGWO總體尋優精度更高、穩定性更好和具備跳出局部最優的能力，相比GWO在三個指標數據上有著大幅度的提升。表明改進能進一步提升GWO的性能，改進是有效的。

4? 結? 論

本文通過對GWO的分析，針對其不足之處提出一種改進灰狼優化算法（IGWO），首先通過引入非線性收斂因子，有效解決了算法全局搜索和局部開發能力不平衡的問題；其次通過耦合布谷鳥優化算法的搜索機制，使得算法具備跳出局部最優的能力的同時提升其全局尋優能力。最后，在8個基準測試函數上的實驗驗證了IGWO的性能。

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作者簡介：陳建東（1997－），男，漢族，江西贛州人，碩士研究生，研究方向：數據挖掘；通訊作者：聶斌（1972－），男，漢族，江西吉安人，教授，碩導，博士研究生，研究方向：數據挖掘、中醫藥信息學、中藥學;雷銀香（1989—），女，漢族，江西井岡山人，講師，碩士，研究方向：信息安全。

收稿日期：2023-03-09

基金項目：江西中醫藥大學星火傳承培養計劃（2252000111/4004）；江西省教育廳科學技術項目（GJJ2200925）;江西省中醫藥管理局科技計劃項目（2020B0412）