高中生解三角形問題的學習現(xiàn)狀與對策

■山東省日照第一中學 張 蕾

解三角形問題是高中數(shù)學的重難點課題，不僅涉及最基礎的正弦、余弦和三角形面積公式等內(nèi)容，還蘊含著數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學思想，因此研究解三角形數(shù)學問題對提升高中生的數(shù)學核心素養(yǎng)具有重要意義。解三角形問題在高中數(shù)學教學中占據(jù)著重要的地位，但是目前部分高中生在正弦、余弦定理的理解和運用上存在疑惑，且不同年級的學生對解三角形的認知與運用水平存在差距。教師應當引導學生推導正弦、余弦定理，并加強解三角形題目的訓練，提高學生的理解和運用能力。數(shù)學學習不只面向高考，教師還要重視對學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培育，使數(shù)學核心素養(yǎng)成為學生擁有的基本素質(zhì)。

一、解三角形的理論基礎

（一）解三角形問題的概念界定

解三角形問題是數(shù)學運算中的基礎問題和常見問題。對任意一個三角形而言，假設它的三個角分別是A、B、C，與三個角相對應的三條邊是a、b、c，如果知道其中某些邊和某些角的數(shù)值，就可以運用相關(guān)公式計算得出其他邊或其他角的數(shù)值。解三角形常用到的定理有正弦定理、余弦定理、三角形面積公式，這也是高中數(shù)學的核心定理。遇到解三角形的問題時，學生通常會先畫出三角形，然后在邊和角上標出已知量，根據(jù)數(shù)學定理解出所求量。比如，在解三角形中遇到三角函數(shù)問題時，先畫出三角函數(shù)圖像，并且將已知量標在上面，運用此種方法可以將復雜的問題簡單化，提高學生的處理速度。解三角形問題是高中數(shù)學的必修內(nèi)容，可以鍛煉學生的推理能力和運算能力，常常會與三角函數(shù)和平面向量綜合起來考查。在解決實際數(shù)學問題的過程中，解三角形問題常常包含在測量、航海等實際問題中。

（二）解三角形問題在高中數(shù)學中的地位

解三角形問題是《普通高中數(shù)學課程標準》中明確要求學生掌握的內(nèi)容，目的在于教會學生運用公式和推理方法解決實際問題。如果學生未能深入掌握解三角形問題的精髓，而且在學習習慣上沒有主動性，那么就難以全面掌握解三角形的真諦。從歷年的高考數(shù)學試題來看，解三角形問題每年都在考查，分值小到5分，大到17分，是高中數(shù)學知識的一個交叉點，能夠綜合考查學生的理解和運用能力，因此解三角形問題越來越成為高考的熱點。高中數(shù)學知識是互通的，尤其在高考綜合類試題中，多個知識點相融是非常常見的，如果學生未能全面掌握解三角形知識，那么就無法解決綜合類試題，這對其自身是非常不利的。

（三）關(guān)于解三角形問題的調(diào)查

解三角形問題是高中數(shù)學的基礎內(nèi)容，但是學生在學習過程中通常會遇到定理理解問題和綜合運用問題，甚至有的學生還會產(chǎn)生態(tài)度問題、數(shù)學學習習慣問題等，這些問題嚴重阻礙了高中數(shù)學教學工作的順利推進。對定理和公式的理解是每個學生必須掌握的能力，但是目前仍然有學生搞不清定理的推理過程，究其原因，有的學生的學習態(tài)度有問題，數(shù)學學習過程中粗心、馬虎；有的學生學習主動性不強，思維沒有真正打開，訓練得太少，想問題時思維不靈活，由此導致解題能力弱；還有的學生記憶公式和定理很快，但是一遇到綜合類問題就不清楚考查的是哪些知識點，對題意的理解還需要加強，三角形知識還需要再鞏固。數(shù)學解題過程也是數(shù)學思維得到鍛煉的過程，在數(shù)學教學中，許多教師特別強調(diào)數(shù)學思維能力和數(shù)學核心素養(yǎng)的培育，但是學生的反饋有限，解題意識和解題能力還有很大的上升空間。

二、解三角形問題的學習現(xiàn)狀分析

（一）高中生對正弦、余弦定理的理解與運用存在問題

在高中數(shù)學教學與測試過程中發(fā)現(xiàn)，許多學生都知道正弦公式是a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R，但是當遇到運用正弦公式將角轉(zhuǎn)化為邊時，有的學生不會運用，這說明學生對正弦公式的轉(zhuǎn)化和換算掌握得不準確。在余弦公式cosA=（b2+c2-a2）/2bc的運用過程中發(fā)現(xiàn)，有的學生只是簡單地記憶了余弦定理的內(nèi)容，但是一遇到根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化類題目時，就不能準確完成題目要求的內(nèi)容，說明這類學生還未真正理解余弦定理。從歷年的高考數(shù)學真題中不難發(fā)現(xiàn)，解三角形知識常常與三角函數(shù)和平面幾何結(jié)合起來考查，但是由于正弦、余弦公式變換形式多樣，許多學生未能掌握基本公式的多種變換形式，只掌握了最簡單的定理公式。究其原因，有的學生學習習慣不好，在數(shù)學課堂上的主動性不強，對教師所講解的知識不去深入探究，而是固守課堂內(nèi)容或書本知識，時間久了就會發(fā)現(xiàn)這些學生的學習能力在下降。

（二）高中生對解三角形的綜合運用存在問題

在綜合類題目中，解三角形與立體幾何、平面向量、三角函數(shù)會同時出現(xiàn)，考查學生的綜合運用能力。在教學過程中發(fā)現(xiàn)，許多學生一旦遇到綜合運用類的題目就犯難，大題的第一小問都能回答上來，但是第二小問就不能夠完整地處理。比如，高考試題“三角形ABC中，D是BC上的點，且AD平分角BAC，BD=2DC，求sinB/sinA的值”，在這個題目的求解過程中發(fā)現(xiàn)，有的學生不能根據(jù)已有條件寫出對應的關(guān)系式，有的學生不能根據(jù)BD=2DC的關(guān)系寫出相應角的關(guān)系。在遇到一些綜合類解三角形問題時，一些學生就暴露出計算能力不足的問題，這是因為學生缺乏數(shù)學整體思維，其實在解三角形的題目中，有時候不需要知道某個元素的具體值，只要把它推演為最簡化的式子即可，有些學生正是缺乏整體性思維，才在解三角形問題探究中陷入迷宮。

（三）不同年級的學生對解三角形的理解與運用存在差距

在高中數(shù)學教學過程中發(fā)現(xiàn)，不同年級的學生對解三角形問題的理解存在差距，高一、高二年級的學生對定理的理解和記憶要比高三年級的學生強很多，但是高一、高二年級學生對定理的運用卻遠不如高三年級的學生。這一問題產(chǎn)生的原因與高中數(shù)學教學安排緊密相關(guān)，高一、高二年級學生入學后首次接觸解三角形知識，還不具備整體代入思想和分類討論思想，而且接觸的解三角形題目較少，所以容易在解三角形問題上產(chǎn)生錯誤。高三學生接觸解三角形問題的時間較長，因此對某些定理和公式存在記憶混淆，這是在所難免的，但是高三學生卻能夠解答出解三角形類的題目，這是因為高三學生訓練得多，遇到的題目類型多，解題能力自然要比高一和高二學生略高一籌。

三、高中生解三角形問題的對策研究

（一）引導學生自主推導正弦、余弦定理

教師是解三角形問題的引導者和助推者，為了幫助學生更好地理解正弦和余弦定理，教師可以引導學生自主推導正弦定理和余弦定理，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學知識的形成過程、探究體驗數(shù)學的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造歷程，為學生參與知識的“再創(chuàng)造”打下基礎。教師要善于運用最直白、最簡潔的話語來演示公式推導過程，讓更多學生聽得懂、能理解。

眾所周知，三角形的形狀有三種，分別是直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。首先，直角三角形，在直角三角形中學生曾經(jīng)學過三條邊的關(guān)系是a2+b2=c2，還有sinA=a/c,sinB=b/c，sinC=c/c，將sinA=a/c,sinB=b/c，sinC=c/c中的c提取出來，就可以得出c=a/sinA,c=b/sinB,c=c/sinC，此時就可以得到直角三角形的正弦定理。

其次，在銳角三角形中也是如此，沿著銳角三角形的頂點向下作垂線，與底邊垂直，在銳角三角形中學生曾經(jīng)學過CD=asinB，CD=bsinA，由此可以得出a/sinA=b/sinB，所以就有了a/sinA=b/sinB=c/sinC。如圖1所示。

圖1

最后，在鈍角三角形中，沿著一邊角作垂直與底邊的高線，學生曾經(jīng)學過在鈍角三角形中CD=asin∠CBD=asin∠ABC，CD=bsinA。由此可以得出a/sinA=b/sin∠ABC，推導出a/sinA=b/sinB=c/sinC。如此反復，通過畫圖引導學生推理正弦定理和余弦定理，幫助學生理解公式的推導過程，能夠加深學生對公式的記憶。

（二）加強對解三角形問題題目的訓練

由于解三角形問題常常會與其他數(shù)學知識點綜合起來考查，因此教師在教學過程中應當加強其他數(shù)學知識點的訓練，如加強對三角函數(shù)、平面向量、立體幾何的復習，不斷提醒學生，鞏固學生的數(shù)學基礎知識。在解三角形問題的過程中，有時遇到的題目很長，學生需要耐心地讀完，必要的情況下要在草稿紙上多演算幾遍，不能因為題目太長就馬虎大意，要端正學習態(tài)度，認真審題，多動手找一找、畫一畫。

加強學生的解題能力需要學生做典型性的題目，在這個過程中，教師可以將歷年的高考真題打包，由學生獨立完成，并給予學生必要的指導。比如在數(shù)學題目計算過程中，教師可以提示學生下一步該用什么方法，哪些地方需要再回過頭檢驗一遍，教師在學生做題過程中對一些細節(jié)多提示，學生就會樹立起解題的信心。分類討論思維是學生在解三角形中必須具備的能力，在數(shù)學課堂中，無論在課堂講解還是課后鞏固環(huán)節(jié)，教師都要有意識地滲透分類討論思想并加以強調(diào)。比如，教師根據(jù)已有的題目進行變式，讓學生找到不同試題的突破口，再由學生獨自完成，學生遇到難點可以提問教師，如此反復訓練，分類討論思想就會逐漸形成。

整體代入解題技巧在解三角形題目中經(jīng)常會遇到，許多學生對整體代入解題技巧掌握得不夠牢固，運用時不是很靈活，那么教師在教學過程中要特別強調(diào)公式之間的聯(lián)系，耐心演示和推導，學生再進行多次練習，就會有所收獲。比如，教師在教學過程中要提示學生觀察一下化簡后的式子與題目中的式子有什么關(guān)系，還要提示學生有什么其他發(fā)現(xiàn)，如此灌輸整體代入思想，學生就會有所進步。在解三角形問題的過程中，教師要重視對學生進行題目訓練，同時選擇有代表性的題目來講解，并且多鼓勵學生，激發(fā)學生的學習自信心。

（三）針對不同年級學生采取不同的教學方式

不同年級的學生對解三角形問題有不同程度的理解，由于這種差異，教師應該因材施教，即不同的年級采取不同的教學方式。高一學生剛學習解三角形的知識，在講課之前，教師要考慮學生原有的認知結(jié)構(gòu)，并根據(jù)其認知結(jié)構(gòu)提前準備一段引導性材料。例如，講解正弦定理前引入直角三角形，讓學生自己動手操作，找規(guī)律，之后教師歸納正弦定理。再如，講解完正弦定理后就練習正弦定理的知識，講解完余弦定理后便練習余弦定理的知識，講解完三角形知識后，將所學的解三角形知識同化或順應學生的原有認知結(jié)構(gòu)，從而得到新的認知結(jié)構(gòu)。

高二學生已經(jīng)學習過解三角形知識，所以教師應該更加側(cè)重鞏固解三角形的基礎知識，幫助學生回憶已有的解三角形知識，并特意強調(diào)正弦定理公式，避免有的學生因為正弦定理公式記憶錯誤而出錯。

高三學生已經(jīng)熟悉解三角形知識，并且熟練掌握了解三角形知識的能力。教師需要進一步加大解三角形知識的訓練，讓學生采取不同的方法解題，找到最優(yōu)的解題方法，使學生更好地對解三角形問題進行分析和轉(zhuǎn)化。

四、結(jié)語

解三角形問題在高中數(shù)學中起到承上啟下、拓展延伸的作用，是高中數(shù)學的核心知識，學習和訓練解三角形可以提高學生的數(shù)學邏輯思維和數(shù)學核心素養(yǎng)。學生在解三角形的問題中容易產(chǎn)生定理性錯誤和運算性錯誤，加強學生對定理、概念的理解，靈活采取不同的訓練方式是解決數(shù)學問題的主要策略。除此之外，針對不同學生的不同錯誤類型，教師應當采取不同的糾錯策略，以幫助學生規(guī)避錯誤，使學生對解三角形問題的理解更深入、全面。